STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN
SANITIZED HISTORICAL SOURCE SNAPSHOT — not a new execution or proof validation.
Public credit: @ykbballer91; AI-assisted research log; text CC BY 4.0.
Source: research/phase4/completion_report.txt
Original SHA-256: 69d077d97f5a82be2d8087c973011fa41e7ed2f3012a7691820ec051c4d7ed09
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RH PHASE IV 完了報告（2026-09-29）

今回の限定探索を終了しました。RHはOPENのままです。到達レベルは0です。既知構造を整理し、具体的な修復案を反証しましたが、actual zero-bearing space上の新しい正の算術的pairingは構成できませんでした。

Phase IIIの研究ファイル、state、active track、主証明グラフを変更していません。Phase IVだけの独立stateと研究ログを作成しました。追加指示のcontinuous-scale-flow研究も別ファイルで処理しています。未監査の結果をPhase IIIへ合流していません。

最初に4候補を比較しました。Arakelov/intersection、explicit-formula intersection、adelic quotient、product-formula/starです。explicit-formula intersectionは、求める符号条件が既知のRH同値条件のままであるため初期段階で終了しました。残る3候補に対して具体的構成と反証を行いました。

1. Arakelov/height
Spec Z上では算術divisorのdegree-zero quotientが消えることを確認しました。算術曲面のHodge indexをそのままSpec Zへ適用する案は、対象の次数が合いません。別の算術曲面・Jacobian上ではNéron–Tate heightの正性とpolarized endomorphismのnorm identityが存在します。しかし、その空間をRiemann zetaの全零点を担う空間と同定する比較定理は得られませんでした。

2. Product formula/star
実際のadèle空間で自己双対Haar測度から正内積を構成し、scaling generatorの閉作用素としての随伴関係 Theta*=1-Theta を確認しました。これはambient空間上の真の恒等式ですが、スペクトルは連続であり、全zeta零点の実現にはなっていません。
Fourierをstarとして内積をtwistする候補は、実際のpole-free adelic testで負になりました。具体的testのFourier変換は元の-1倍、twisted normは-585/(32 sqrt(2))です。同じtestのTate積分は(2s-1)xi(s)となり、Gamma因子やEuler因子を別物へ変更していません。この反例はFourier-star候補への反例であり、Weil positivityやRHの反例ではありません。

3. Adelic quotientとcompletion
全零点を保持する既存の算術的test quotientでは、指定されたambient weighted L2の算術rangeが稠密です。このrangeを消す非負形式が可閉なら、その形式は恒等的に零になることを証明しました。したがって、同じL2と同じ算術relationsを保ったまま、bounded metricをunbounded closed formに変更するだけでは零点を救えません。
より強い指数重みのtopologyならMellin評価を保持できますが、scalingはunitaryでなくなります。他のtopologyや未知の算術的metric全般を否定したわけではありません。

ほかに、随伴とinvolutionを混同した2x2恒等式、pole/degreeを除いたsynthetic correspondence、PSD trace formのradical quotientがJordan情報を失う例を検査しました。いずれも一般的な対称性・保存則・形式的な正性だけでは足りないという限定的な反証です。

3 major attemptsで新しいpositive bridgeが得られなかったため、指定のstrategy reviewを実行し、この巡を終了しました。未証明のpositivityを別名で仮定する第4巡には進みません。再開に必要なのは、算術cycle/Green/Hodge dataから出発し、全local termsと全零点情報を保持する別の具体的なpositive comparisonです。

検証は一次資料の指定箇所照合、独立担当による反証監査、exact Fraction演算、非認証の高精度数値診断を組み合わせました。新しいproof-critical positive identityがないため大量のLean形式化は追加していません。主証明グラフの変更は0件です。

主要成果物:
research/phase4_arithmetic_polarization.md
research/phase4_pairing_matrix.md
proofs/audits/phase4_pairing_adversarial.md
research/phase4_state.json
research/phase4/notes/
research/phase4/experiments/pairing_checks.json

これはPhase IVの今回の実行報告です。以前のPhase I〜IIIの詳細報告を上書き・再解釈するものではありません。


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- research/phase4/notes