STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN SANITIZED HISTORICAL SOURCE SNAPSHOT — not a new execution or proof validation. Public credit: @ykbballer91; AI-assisted research log; text CC BY 4.0. Source: research/weighted_prime_halfspace/completion_report.txt Original SHA-256: f53b372da8da75d05fc5015a3f38a94f047d4da4a671688a409e47921000520a Internal source paths are provenance identifiers; see data/source-manifest.json for public paths. WEIGHTED PRIME HALF-SPACE / BOOLEAN PARITY CORRELATION 完了報告 2026年9月30日 結論 今回指定された三つの探索系統を完了し、終了条件に従って閉じました。RH は未解決です。新しい固定べきの改善、平方根級相殺、独立な RH 証明材料は得られていません。 今回の success ladder では Level 0 です。既知の exact identities と failure mechanisms を精密化しましたが、Level 1 が要求する「actual prime weights に固有の新しい exact structural identity」は得ていません。前回の Arithmetic Comma Track とは Level 1 の定義が異なるため、前回の水準を持ち越していません。 最重要の結論 平方自由生成族 S_z(X)=Σ_{n≤X} μ(n)^2 z^{ω(n)} を優先して調べました。z=−1 では Mertens 和になります。その Dirichlet series は実部 s>1 で F(s,z)=Π_p(1+z p^{−s})=ζ(s)^z G(s,z) と書け、z=−1 では G(s,−1)=1 が素数因子ごとに厳密に成立します。 Selberg–Delange の局所漸近項には 1/Γ(z−j) が掛かります。z=−1 では全ての j≥0 について、この因子が0になります。従って、先頭項だけでなく全ての局所漸近係数が消えます。 この消失は既知であり、原典にも明記されていました。しかし、有限 X の和が0になるわけではありません。M(X) の全体が remainder に残ります。そこを小さくする独立な評価は、今回得られませんでした。 この点が「bulk parity cancellation」という直感の正しい範囲です。漸近主項の係数は消えます。しかし finite Boolean states の bulk が厳密に対応して消え、低次元の境界だけになるという幾何学的定理は得られていません。 1. 保持した実際の算術対象 各 p≤X に0/1変数を置き、W=Σ ε_p log p、parity=(−1)^{Σ ε_p}、cutoff=W≤log X としました。この頂点集合は n≤X の squarefree integers と一対一です。 uniform Boolean coefficient は 2^{−π(X)} M(X) です。正規化後の小ささを成果と数えず、全ての bound を counting scale の M(X) へ戻しました。rectangular cutoff、独立座標 cutoff、random signs への置換はしていません。 2. Track A：高階有限差分 τ_a f(u)=f(u−a)、J(u)=1_{u≥0} の規約で、正しい表示は M(X)=[Π_{p≤X}(I−τ_logp)J](log X) です。H_L(u)=1_{u≤L} を0で評価する表記を使うなら、translation の符号を反転する必要があります。最初にこの符号を修正・固定しました。 primeを一個ずつ加える recurrence、および block 全体を一度に加える signed subset recurrence は厳密に成立します。しかし successive subtraction は一般に contraction ではありません。 smooth function への m階差分は、m階導関数の box integral になります。positive box spline が出ますが、Mertens に対応する量はその高階導関数です。正の kernel 自体を目的量と同一視できません。 平滑化幅 h を入れる直接評価は h^{−m} と m−1 階の mollifier derivative を支払います。m=π(X) が増大するため、通常の fixed-order smoothness bound では利得になりません。 actual prime logs では subset sums が全て異なるので、全変動は正確に2^mです。標準 L∞ operator norm も2^mで、一般の収縮はありません。「内部が消えて境界だけ」という説明だけでは、小さい値は導けません。 3. 一般の Boolean threshold の sharp bound 任意の downset に対し、counting parity の最大絶対値は binom(m−1, floor((m−1)/2)) 以下で、equal-weight threshold が等号を達成します。正規化後では m^{−1/2} 程度ですが、counting scale では2^m/√mの規模です。m=π(X) としても、M(X) の自明界を改善しません。 normalized layer densities の単調性から直接証明し、既知の Kozlov の convex-hull theorem と照合しました。これは新しい算術固有結果ではありません。 さらに equal-weight threshold の margin を保つ微小な rationally independent perturbation でも、同じ大きな parity discrepancy が残ります。従って distinct subset sums や irrationality だけでこの bound を改善することはできません。 Littlewood–Offord は unsigned shell count、noise は復元時のρ^{−m}、influenceは正規化係数をそれぞれ追跡しました。martingaleやprime順序の平均も、同じ最終値を返す以上、それだけでは新しい cancellation を与えません。 4. 大素数・小素数の分解 Y=√X とすると、一つの n≤X はYより大きい素因数を高々一つだけ持ちます。そのため、 M(X)=A_{≤Y}(X)−Σ_{Y0の O(X^{1−δ}) ではありません。定数のK依存を無視してKをXと共に増やすことはしていません。 しかも使用した定理は、ζ(s)^ρ の係数τ_ρの既存漸近に依存しており、ρ=−1ではτ_{−1}=μです。従ってこの適用を「異なる独立機構でPNTを再証明した」とは数えません。 zが−1に近づくと、先頭係数は−(z+1)+O((z+1)^2)となります。端点を含む加法誤差の一様性は確認しましたが、消える先頭項で割った相対誤差の一様性とは違います。 通常の Erdős–Kac 型CLTへ parity周波数πを代入することもできません。標準化した座標では、その周波数がXと共に増大するためです。一方でπを扱える強いmod-Poisson定理も存在するので、「どの分布定理もπを扱えない」とはしていません。平方自由条件と、交代和に必要な絶対誤差を別々に監査しました。 局所的なs=1の零点から小さいremainderは出ないという推論の反例も作りました。s=1で正則かつ値0のDirichlet seriesでも、係数和がX^β、1/2<β<1、となる模型があります。これはactual Euler productを保たないため、RHの反例ではありません。局所情報だけの論理的不足を示す診断です。 6. Track C：exponential tilt 有限素数集合上で、Zσ=Π(1+p^{−σ})、Pσ(S)=e^{−σW(S)}/Zσ と置くと、 M(X)=Zσ Eσ[parity × e^{σW} × 1_{W≤log X}] は厳密に成立します。prime coordinatesは独立ですが、cutoffを含むreadoutは独立積ではありません。 parityの単独expectationは積で計算できます。しかしこれをreadout expectationとの積へ置き換えると誤ります。X=3、σ=1では、その積からの復元値は+1/2なのにactual M(3)=−1です。共分散項は−3/2で、無視すると符号まで逆になります。 平均Wをlog Xへ合わせるsaddleは、0