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Arithmetic restoring force — scalar 符号・曲率の独立監査

2026-09-30 JST。Track A の限定監査。標準の完成 ξ を固定する。新しい作用素・位相・計量を導入せず、旧ファイルを変更しない。以下の解析的反例と RH 同値条件を区別する。RH の証明・反証、新規性の主張はない。

S1. 規約・正確な完成対数微分

\xi(s)=\frac12s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s),\quad s=\frac12+a+it,\quad X(z)=\xi(\tfrac12+z).

$$X$$ は実係数の偶整関数。零点以外で

U(a,t)=\log|\xi(\tfrac12+a+it)|,\qquad q(s)=\xi'(s)/\xi(s)

と置く。実数値 U に複素 log の枝の選択は不要である。

q(s)=\frac1s+\frac1{s-1}-\frac12\log\pi +\frac12\psi(s/2)+\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}, \tag{S1}

q'(s)=-\frac1{s^2}-\frac1{(s-1)^2}+\frac14\psi_1(s/2) +\frac{\zeta''(s)}{\zeta(s)}-\left(\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\right)^2. \tag{S2}

個別項の極がある 0,1,負の偶数では、完成 ξ に従って相殺した極限を取る。個別の prime 部分・Gamma 部分を落とした式とは区別する。

U_a=\Re q,\quad U_t=-\Im q,\quad U_{aa}=\Re q',\quad U_{tt}=-\Re q',\quad U_{at}=-\Im q'. \tag{S3}

従って U は零点以外で調和的。二変数 Hessian の固有値は $\pm|q'|$ であり、水平凸性と二変数の凸性も同一ではない。

完成関数の定義・反射規約は DLMF 25.4、対数微分と水平微分の関係は Matiyasevich–Saidak–Zvengrowski, Lemma 2.1 と §3 に一致する。一次論文 v1

S2. 対称性が与えるもの

q(1-s)=-q(s),\qquad q(\overline s)=\overline{q(s)},\qquad U(-a,t)=U(a,t)=U(a,-t).

特に $\xi(1/2+it)\ne0$ なら $\Re q(1/2+it)=0$ 。これは 中心で一階微分がゼロという恒等式で、二階微分の正性、全水平線での最小性、全零点の中心線所属は導かない。

ξ の零点 $\rho$ の重複度を $m\ge1$ とすると

q(s)=\frac m{s-\rho}+\frac{h'(s)}{h(s)},\qquad \xi(s)=(s-\rho)^mh(s),\quad h(\rho)\ne0. \tag{S4}

零点では q は pole であり、 $$q=0$$ という有限の equilibrium 条件ではない。 $|\xi|^2$ の微分が零点で消えることと、log-potential がそこで滑らかであることも異なる。

S3. 全域の「復元方向」一階符号は既知の RH 同値条件

正確な命題は

\boxed{a\Re q(\tfrac12+a+it)>0 \quad\text{for every }a\ne0,t\in\mathbb R \text{ such that }\xi(\tfrac12+a+it)\ne0.} \tag{S5}

(S5) ⇔ RH。 a=0 も strict >0 の対象に含めると、S2 によって誤った命題になる。

RH ⇒ (S5)：正の ordinate γ を重複度込みで並べる。対称 Hadamard product と $\sum_{\gamma>0}\gamma^{-2}<\infty$ により

X(z)=X(0)\prod_{\gamma>0}\left(1+\frac{z^2}{\gamma^2}\right),

\Re q(\tfrac12+a+it) =\sum_{\gamma>0}\left[ \frac{a}{a^2+(t-\gamma)^2}+\frac{a}{a^2+(t+\gamma)^2} \right]. \tag{S6}

零点を避ける compact sets で微分でき、実部の和は絶対収束する。各項の符号は a と一致し、零点は存在するので strict となる。単純零点の仮定は不要。

(S5) ⇒ RH：もし $\rho=\beta+i\gamma$ 、 $\beta>1/2$ が零点なら、十分小さい ε>0 に対し $s=\rho-\epsilon$ は依然 $\Re s>1/2$ で零点でない。(S4) より $\Re q(s)=-m/\epsilon+O(1)<0$ となり矛盾。左半分の零点には $s=\rho+\epsilon$ を使うか、反射を使えばよい。零点そのものを定義域から除外しても、この局所的矛盾は残る。

これは新しい算術入力ではない。Sondow–Dumitrescu, Theorem 1 / Corollary 1 は zero-free 半平面の水平単調性と RH 同値性を示す。一次論文 Lagarias (1999), Introduction (1.4)–(1.5) にも $\Re(\xi'/\xi)>0$ の同値条件が明記される。ここで引用するのはこの導入部分だけで、同論文の後続の別の定理を採用していない。著者公開原稿

S4. 実際に無条件でいえる領域

全零点 $\rho=\beta+i\gamma$ を使う、共役対でまとめた対数微分から

\Re q(\sigma+it)=\sum_\rho \frac{\sigma-\beta}{(\sigma-\beta)^2+(t-\gamma)^2}. \tag{S7}

実部の和は零点以外で絶対収束する。 $0<\beta<1$ なので

\Re q(\sigma+it)>0\ (\sigma\ge1),\qquad \Re q(\sigma+it)<0\ (\sigma\le0)

は無条件。一般に「すべての零点の実部より右」という half-plane 条件があれば同じ結論になる。ある一点の近傍だけに零点がないことから、この符号を導くのではない。

これらの領域と式は上記 Matiyasevich–Saidak–Zvengrowski §2, Theorem 1.1 の証明 / Corollary 2.5 とも一致する。臨界帯内部の全点へ拡張する段階を既証明扱いしない。

t=0 には別の無条件の正性がある。標準の正の偶 theta kernel Φ を用いた

X(a)=\int_{\mathbb R}\Phi(v)e^{av}dv>0

は全実 a で成り立つ。正規化した tilted measure $d\nu_a=\Phi(v)e^{av}dv/X(a)$ により

\frac{d^2}{da^2}\log X(a)=\operatorname{Var}_{\nu_a}(v)>0. \tag{S8}

核は一点集中ではなく、全指数 moment が有限なので strict。偶性から $a\,d\log X(a)/da>0$ for a≠0。

従って $V=-\log|\xi|$ を potential とした場合、t=0 で中心は strict 最大であり、 $-\partial_aV=U_a$ は外向きになる。これが $-\log|\xi|$ を全域で復元 potential と呼ぶ案への actual analytic 反例。反対に $V=+\log|\xi|$ の force $$-U_a$$ が全域で内向きという条件は (S5) そのもので、未証明の RH 同値条件である。

S5. 曲率：中心、水平全域、二変数を区別

$F(t)=\xi(1/2+it)$ は実数値の実整関数。F(t)≠0 での中心水平曲率は

\kappa(t)=U_{aa}(0,t) =-\frac{d^2}{dt^2}\log|F(t)| =\frac{F'(t)^2-F(t)F''(t)}{F(t)^2}. \tag{S9}

分子は古典的な第一 Laguerre expression。RH 下では (S6) から

\kappa(t)=\sum_{\gamma>0} \left((t-\gamma)^{-2}+(t+\gamma)^{-2}\right)>0

（t が ordinate でない場合）。従って中心曲率の符号変化を「必ず見つかる」と予告してはならない。Laguerre difference を使う既存研究は Csordas–Ruttan–Varga (1991)。ここでは publisher abstract の式と用途を確認し、同論文の全証明を再監査したとは扱わない。一次出版情報・abstract

一方、log|ξ| の全水平凸性は無条件に偽。既知の臨界線上零点 $\rho=1/2+i\gamma$ を一つ取り、その重複度を m≥1 とする。十分小さい a≠0 に対し

U(a,\gamma)=m\log|a|+\log|h(\rho+a)|,\qquad U_{aa}(a,\gamma)=-m/a^2+O(1)<0. \tag{S10}

臨界線上零点の既知の存在だけを使い、RH や単純性を仮定しない。既知の零点事実：DLMF 25.10 S8 の正曲率と S10 の負曲率は異なる t、または中心と非中心での比較。中心曲率がどこか負だと証明したわけではない。

二変数の joint convexity は S3 の調和性でさらに制限される。U または −U が非空 open region 上で凸なら Hessian の trace zero と半正定値性から q'=0 がその region で成り立ち、解析接続により ξ は exponential となって実際の零点と矛盾する。これは水平一変数の凸性とは別の障害である。

|ξ|² の凸性へ反例を転用しない。 全 t に対する $a\mapsto|\xi(1/2+a+it)|^2$ の全域凸性は、実際には RH 同値。RH 下の有限対称 Hadamard product では各対の modulus squared が

\frac{(a^2+(t-\gamma)^2)(a^2+(t+\gamma)^2)}{\gamma^4}

で、全積は a² の非負係数多項式となる。局所一様極限と微分で凸性が従う。逆に偶・非負の凸 profile が ±a₀≠0 でゼロなら、その間全部でゼロになり整関数の孤立零点性に反する。既知 Jensen/Pólya 型条件であり、上記 2012 論文 §2, Corollary 2.5 後の説明にも記載される。

S6. 全中心点での strict local minimum だけでは足りない模型

ROOT 提案を独立検算した次の模型を、actual ξ と分離して記録する：

F_{\rm syn}(w)=\cos(10w)P(w),\quad P(w)=((w-1)^2+1/16)((w+1)^2+1/16),\quad X_{\rm syn}(z)=F_{\rm syn}(-iz).

実・偶・order 1 であり、F_syn は $w=\pm1\pm i/4$ に非実零点を持つ。従って X_syn の off-axis quartet は $z=\pm1/4\pm i$ にある。

実 t では P(t)>0。F_syn(t)≠0 なら

-\frac{d^2}{dt^2}\log|F_{\rm syn}(t)| =100\sec^2(10t)-(\log P)''(t)\ge100-64=36.

ここで $\bigl(\log((t-c)^2+b^2)\bigr)'' =2(b^2-(t-c)^2)/((t-c)^2+b^2)^2\le2/b^2=32$ 、b=1/4 を二因子に使った。したがって 全ての正則な中心点で log modulus は水平 strict local minimum でも、off-axis zero は存在する。これは一般的な中心曲率から全零点へ進む推論への厳密反例。標準 Euler/Gamma、正の theta kernel、実際の ξ を保持する模型とは主張しない。actual ξ の中心曲率条件だけと RH の関係をこの模型だけで決着させない。

S7. prime log derivative の actual 符号反転

σ>1 では絶対収束して

\Re\frac{\zeta'}{\zeta}(\sigma+it) =-\sum_{n\ge2}\frac{\Lambda(n)}{n^\sigma}\cos(t\log n). \tag{S11}

係数 Λ(n)≥0 は和全体の一定符号を意味しない。数値計算なしで、同じ σ=4 に両符号があることを示せる。

t=0 では厳密に負。 $t_*=\pi/\log2$ では n=2 項は $\log2/16$ 、残りの絶対値は

\sum_{n\ge3}\frac{\log n}{n^4} \le\frac{\log3}{81}+\int_3^\infty\frac{\log x}{x^4}dx =\frac{\log3}{81}+\frac1{27}\left(\frac{\log3}{3}+\frac19\right) <\frac{41}{1215}.

$\log2>2/3$ 、 $\log3<6/5$ を用いた。前者は log の標準積分下界、後者は $e^{6/5}>1+6/5+(6/5)^2/2+(6/5)^3/6>3$ から従う。従って

\boxed{\Re\frac{\zeta'}{\zeta}(4+it_*)> \frac1{24}-\frac{41}{1215}=\frac{77}{9720}>0.} \tag{S12}

Λ(n)≤log n と decreasing integrand の integral bound だけなので認証数値への依存はない。これは ζ'/ζ の prime 部分の符号固定への actual counterexample。S1 の他の完成項を足した ξ'/ξ の σ≥1 における正性とは矛盾しない。

S8. 停止判定

命題	判定
symmetry ⇒中心一階微分ゼロ	無条件・正しい
log	ξ
−log	ξ
log	ξ
中心曲率 κ の positivity ⇒一般の全零点排除	S6 の解析模型が反例
	ξ
正の Λ 係数 ⇒prime drift の固定符号	S12 の actual ζ 値で偽

数値 grid の通過、中心付近の正曲率、既知の零点なし領域での符号は、S5 の全点量化を供給しない。新しい独立した算術復元評価はこの限定監査から得られていない。