STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

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Prime complex：matching・homology・Hodge の独立監査

2026-09-30。旧ファイルは変更しない。RH は未解決。以下は prime complex の指定された機構だけを検査し、RH や Mertens の符号相殺一般に対する不可能性を主張しない。

判定： prime (2) の matching の unmatched faces は、odd squarefree (n\in(X/2,X]) に正確に対応する。その総数は reduced Betti 数の総和にも等しく、 $2X/\pi^2+O(\sqrt X)$ 。従って acyclic Morse critical cells または通常の正定値 inner product による reduced Hodge kernel の総次元を平方根規模にする案は不可能。Mertens 関数はその偶奇の差であり、この相殺は否定も証明もされない。

独立に cone-collapse と chain basis を導出した後、既刊論文と照合した。上の homotopy・Betti formula 自体は既知であり、新規性はない。一次資料は Björner, A cell complex in number theory, arXiv:1101.5704v1：p.2 Eq.(1.1)–(1.2) は Euler の符号、p.5 Theorem 3.1 は個々の Betti 数、pp.5–6 Theorem 3.4 は総和。後者にはここで必要なものより強い誤差評価がある。

PC1. 複体と符号

実数 (X\ge2) に対し

\Delta_X=\{\sigma_n=\{p:p\mid n\}: n\le X\text{ squarefree}\}

と定義する。整数 (1) は empty face に対応し、augmented chain complex の次数は

\deg\sigma_n=\omega(n)-1, \quad \widetilde C_{-1}=\mathbb R\,[\varnothing].

素数を増加順に orientation 付け、 $\partial[p_1,\ldots,p_k]=\sum_{i=1}^k(-1)^{i-1}[p_1,\ldots,\widehat p_i,\ldots,p_k]$ とする。特に $\partial[p]=[\varnothing]$ 。

\widetilde\chi(\Delta_X) =\sum_{n\le X\atop n\text{ sf}}(-1)^{\omega(n)-1} =-\sum_{n\le X}\mu(n)=-M(X). \tag{PC1.1}

従って homological degree による supertrace は $$-M(X)$$ 。cardinality $\omega(n)$ を grading に採るなら全符号が一つ反転し、supertrace は (M(X))。この二つを混ぜない。普通の Euler characteristic は $$1-M(X)$$ である。

PC2. Toggle-(2) matching の acyclicity

odd squarefree (m\le X/2) を $m\leftrightarrow2m$ と対にする。全ての even face は一意に対を持ち、unmatched は

\mathcal C_X=\{n:X/2<n\le X,\ n\text{ odd squarefree}\}. \tag{PC2.1}

下向きの face-incidence arrows のうち matched edge だけを逆向きにすると、上向き arrow は (2) を追加するものだけ。各下向き arrow は odd prime を除き、その個数を厳密に減らす。(2) を除く arrow は全て matched なので、下向きには存在しない。従って有向 cycle はなく、matching は acyclic。

これは augmented matching であり、empty face と vertex (2) も対にしている。通常の nonaugmented discrete Morse convention ではこの一対を使わず、基点となる vertex (2) が追加の critical (0)-cell になる。reduced と ordinary の critical count の差 (1) を落とさない。

PC3. 全 homology を捉えることの独立証明

PC3.1. Cone collapse

$A=\operatorname{star}_{\Delta_X}(2)$ は

A=\{\sigma_m:m\le X/2,\ m\text{ odd sf}\} \ \cup\ \{\sigma_{2m}:2m\le X,\ m\text{ odd sf}\}

であり、vertex (2) を頂点とする nonempty contractible cone。

(A) の外の simplex は正確に (PC2.1) である。(n\in\mathcal C_X) の任意の proper face の積 (d) は、ある odd prime (p\ge3) を除くので $d\le n/3\le X/3<X/2$ 。従って boundary 全体が (A) に入る。外の simplex 同士は inclusion を持たない。

finite CW subcomplex (A) の包含は cofibration。contractible な (A) を一点へ潰す quotient map は homotopy equivalence であり、各外 simplex はその boundary を基点へ潰される。従って

\boxed{\Delta_X\simeq \bigvee_{n\in\mathcal C_X}S^{\omega(n)-1}.} \tag{PC3.1}

degree (0) の場合は (S^0) を含む pointed wedge と読む。これは孤立した vertices も正しく数える。

PC3.2. Augmented chain normal form と filtration

odd squarefree (n) に対し、無限 full simplex で

b_n=[2,\sigma_n],\qquad z_n=\partial b_n =\sigma_n-2*\partial\sigma_n

を定義する。(z_n) の偶数 face の積は (2n/p<n)（(p\mid n) は odd）。従って (n\le X) なら (z_n\in\widetilde C_*(\Delta_X)) であり、(b_n) 自体がまだ複体にない場合にも (z_n) は定義できる。

自然な odd basis $\sigma_n$ を (z_n) に置き換え、even basis (b_n) は変えない。leading coefficient が (1)、他の項は全てより小さい積なので、これは 整数上でも unimodular な filtered basis change。この基底では

\partial b_n=z_n,\qquad\partial z_n=0.

従って (n\le X/2) は二項 acyclic summand、(X/2<n\le X) は一項 homology summand となる。特に

\widetilde\beta_k(\Delta_X) =\#\{n\in\mathcal C_X:\omega(n)=k+1\}. \tag{PC3.2}

torsion はない。積 (X) による filtration の reduced barcode は、各 odd squarefree (n) について degree $\omega(n)-1$ の interval $$[n,2n)$$ 。(n=1) は degree (-1) の interval $$[1,2)$$ であり、今回 (X\ge2) では残らない。

この basis change は一般に orthogonal ではない。従って自然な simplex inner product の Laplacian の非零 spectrum が (0,1) だけになるとは言えない。chain isomorphism、barcode、kernel の次元と unitary spectral equivalence は別の statement である。

PC4. 総 Betti 数の線形増大：初等的な全 (X) 証明

(A(Y)=#{n\le Y:n\text{ odd squarefree}}) とする。 $\mu^2(n)=\sum_{d^2\mid n}\mu(d)$ により

A(Y)=\sum_{d\le\sqrt Y\atop d\text{ odd}}\mu(d) \left(\frac{Y}{2d^2}+O(1)\right).

この有限和の誤差は (O(\sqrt Y))。無限級数への tail も (Y\sum_{d>\sqrt Y}d^{-2}=O(\sqrt Y)) なので

A(Y)=\frac Y2\prod_{p\ne2}(1-p^{-2})+O(\sqrt Y) =\frac{4Y}{\pi^2}+O(\sqrt Y).

従って

\boxed{B(X):=\sum_k\widetilde\beta_k(\Delta_X) =A(X)-A(X/2)=\frac{2X}{\pi^2}+O(\sqrt X).} \tag{PC4.1}

この証明は PNT、RH、Mertens の符号相殺を使わない。

acyclic face matching が与える Morse chain complex は critical cells を基底に持ち、元の homology を保つ。従って各次数で critical cell 数は Betti 数以上、総数は (B(X)) 以上。toggle-(2) は reduced convention で等号を達成する。よって critical 総数 (O(X^{1/2+\epsilon})) を全 $\epsilon>0$ について求める案は、例えば固定 $0<\epsilon<1/2$ ですでに不可能である。

PC5. 正定値 Hodge theory が与えるものと与えないもの

有限 augmented chain groups に任意の正定値 inner products を入れ、 $\mathcal L=\partial\partial^*+\partial^*\partial$ と置く。

\langle\mathcal L v,v\rangle=\|\partial v\|^2+\|\partial^*v\|^2\ge0, \quad \ker\mathcal L_k\simeq\widetilde H_k(\Delta_X;\mathbb R).

従って重みの選択にかかわらず

\dim\ker\mathcal L=B(X)\sim2X/\pi^2. \tag{PC5.1}

ordinary chain complex なら通常の (H_0) の基点分が加わり、総次元は (B(X)+1)。

homological grading で有限次元 heat supertrace は

\operatorname{Str}(e^{-\tau\mathcal L}) =\sum_k(-1)^k\widetilde\beta_k(\Delta_X) =-M(X)\quad(\tau\ge0). \tag{PC5.2}

正の eigenvalues の parity pairing により supertrace では相殺する。一方 ordinary trace は $\operatorname{Tr}(e^{-\tau\mathcal L})\ge B(X)$ なので、正性による絶対値化だけでは平方根規模に届かない。

signed identity 自体は

M(X)=\sum_{n\in\mathcal C_X}(-1)^{\omega(n)}. \tag{PC5.3}

odd squarefree の低い部分とその (2) 倍が相殺するという直接の Möbius identity と同じである。linear-sized な二つの parity subspaces の差を小さくする追加の算術評価を、Hodge 正性や dimension の小ささから得たことにはならない。別の nonlocal parity map の存在一般を否定する結論でもない。

PC6. Acyclicity 不要の face-incidence matching 障害

さらに広い class として、face の prime insertion/removal edge だけを使う任意の matching を考える。cycle を許しても以下は変わらない。

prime (p\in(X/2,X]) の singleton face $\{p\}$ は上方 coface を持たず、augmented Hasse diagram における唯一の隣接は empty face。empty face は高々一度しか対に使えない。従って

\#\mathrm{unmatched}\ge\pi(X)-\pi(X/2)-1 \sim\frac{X}{2\log X}. \tag{PC6.1}

最後の漸近だけは PNT を使う。一次参照の Björner Theorem 2.3(b), Remark 2.4(ii) も prime count をこの規約で採用している。nonaugmented matching なら右辺の (-1) は不要。

固定 $\delta>0$ に対し $X/(\log X)$ は (X^{1-\delta}) より大きくなるため、any face-incidence matching で unmatched 総数 (O(X^{1-\delta})) を達成することもできない。PC4 の線形下界は acyclicity を必要とするが、このより弱い下界には不要である。対象は incidence matching であり、任意の整数ペアリングや chain basis の非局所線形変換ではない。

PC7. Large-prime decomposition の collision と recursion

(p>\sqrt X) なら、(n\le X) はこの範囲の prime を高々一つしか含まない。しかし (n=pm) から parent (m) への map は injective ではない。最小の例として (X=5) では faces $\{3\},\{5\}$ が両方とも empty face を唯一の parent に持つ。各整数の large prime が一意であることは matching の衝突回避を意味しない。

topological decomposition 自体は正しい。small-prime core (K_0) を (p\le\sqrt X) だけを使う faces とすると

\Delta_X=K_0\ \cup\! \bigcup_{\sqrt X<p\le X}p*\Delta_{X/p}.

各 base $\Delta_{X/p}$ は (K_0) に入るが、これらは互いに重なり、empty face を必ず共有する。別々の cone の elementary cancellation を、共通 parent を再使用して simultaneous matching と呼ぶことはできない。

一般の prime (p) に対する deletion/link identity は

\Delta_X=D_p(X)\cup p*D_p(X/p),\qquad \widetilde\chi(\Delta_X) =\widetilde\chi(D_p(X))-\widetilde\chi(D_p(X/p)),

ただし (D_p(Y)) は (p\nmid n) の faces だけの複体。これは

M(X)=M_p(X)-M_p(X/p),\qquad M_p(Y)=\sum_{n\le Y,\ p\nmid n}\mu(n)

という既知の符号付き分割そのもの。cone が contractible という事実だけから、union の homology が小さいとは従わず、attachment と connecting maps が残る。

同様に unique large-prime factor による正確な数論的分割は

M(X)=\sum_{n\le X\atop P^+(n)\le\sqrt X}\mu(n) -\sum_{\sqrt X<p\le X}M(X/p), \tag{PC7.1}

(n=1) は第一和に入れる。各 (X/p<\sqrt X) の寄与を Mertens 値として再投入するので、これだけで新しい cancellation bound を得たことにはならない。再帰式としての正しさと、符号を保持した定量制御は別の義務である。

PC8. 終了判定と監査範囲

候補・statement	判定	残る意味
toggle-(2) の acyclicity と unmatched set	PASS	actual finite complex の厳密な構成
全 reduced Betti 数が unmatched count に一致	PASS、既知	wedge と integral filtered chain basis の双方で確認
critical 総数・Hodge kernel 総次元の平方根化	不可能	総次元は $2X/\pi^2+O(\sqrt X)$
cycle を許す incidence matching の polynomial saving	不可能	singleton primes だけで $\gg X/\log X$
large prime の一意性から parent の injectivity	偽	(X=5)、(3,5\mapsto1)
cone/deletion identity だけで signed cancellation	未供給	exact identity は Mertens 型和を残す
nonlocal parity transfer 全般	今回の否定対象外	別の具体的 map と見積りが必要

本ファイルでは数値実験を実行していない。有限 enumeration が全 (X) の根拠なのではなく、PC3–PC7 の解析・代数証明が判定の根拠である。原論文の一部の既知結果との一致を確認したが、原論文全体の新規監査や最近の別論文への評価は行っていない。