STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

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Arithmetic Comma：torus coefficient と Fourier–Mellin の exact bridge

2026-09-30。有限素数集合から actual Möbius 和への正規化を直接計算する。既存ファイルは変更しない。Level 1: exact bridge と 未証明の cancellation estimate を分ける。新規性・RH の進展は主張せず、RH は OPEN。

FB1. Signed subset measure と sharp cutoff

異なる素数の有限集合 $P=\{p_1,\ldots,p_k\}$ を固定する。

\mathcal N_P=\{n_\kappa=\prod_{j=1}^k p_j^{\kappa_j}: \kappa\in\{0,1\}^k\},\quad \mu(n_\kappa)=(-1)^{|\kappa|},\quad Q_P=\prod_{p\in P}p.

empty subset は $$n=1$$ 、 $\log n=0$ 、符号 $$+1$$ 。signed measure と右連続な cutoff を

\nu_P=\mathop{*}_{p\in P}(\delta_0-\delta_{\log p}) =\sum_{n\in\mathcal N_P}\mu(n)\delta_{\log n},\qquad A_P(L)=\nu_P(( -\infty,L]) =\sum_{\substack{n\in\mathcal N_P\\n\le e^L}}\mu(n) \tag{1}

と定める。総変動は $\|\nu_P\|_{TV}=2^k$ 。 $P\ne\varnothing$ なら総質量は0なので $e^L\ge Q_P$ では $$A_P(L)=0$$ 。この有限の全 subset 相殺を、素数集合が変化する $$M(X)$$ の評価と混同しない。

FB2. Normalized Haar coefficient extraction

$\mathbb T^k$ 上の Haar measure を $dm=(2\pi)^{-k}d\theta_1\cdots d\theta_k$ 、 $z_j=e^{i\theta_j}$ と固定する。

B_P(z)=\prod_{j=1}^k(1-z_j) =\sum_{n\in\mathcal N_P}\mu(n)z^{\kappa(n)},\qquad C_{P,X}(z)=\sum_{\substack{n\in\mathcal N_P\\n\le X}}z^{\kappa(n)}.

monomials の直交性 $\int z^\alpha\overline{z^\beta}dm=\mathbf1_{\alpha=\beta}$ から

\boxed{A_P(\log X)=\int_{\mathbb T^k}B_P(z)\overline{C_{P,X}(z)}dm(z).} \tag{2}

追加の $$2^k$$ は掛からない。 $2^{-k}A_P$ は各 subset に確率 $2^{-k}$ を与えた別の signed average である。

一般の複素係数 $$w_n$$ に対して

C_w(z)=\sum_{n\in\mathcal N_P}\overline{w_n}z^{\kappa(n)} \quad\Longrightarrow\quad \int B_P\overline{C_w}\,dm=\sum_{n\in\mathcal N_P}\mu(n)w_n. \tag{3}

複素 cutoff のときもこの conjugation を保持する。

一方、 $N_P(X)=\#\{n\in\mathcal N_P:n\le X\}$ とすれば

\|B_P\|_2^2=2^k,\quad\|C_{P,X}\|_2^2=N_P(X),\quad |A_P(\log X)|\le2^{k/2}\sqrt{N_P(X)}. \tag{4}

これは恒等式に付随する Cauchy–Schwarz bound であり、一般に自明な $|A_P|\le N_P$ より弱い。正の Haar measure があることだけでは Möbius cancellation を得ない。

FB3. Prime-log flow と有限時間の費用

$z(t)=(p_1^{-it},\ldots,p_k^{-it})$ と置く。 $\sum_j a_j\log p_j=0$ 、 $a_j\in\mathbb Z$ は素因数分解の一意性から全 $$a_j=0$$ を強制する。従って非定数 character の時間平均は

\frac1T\int_0^T e^{-it\omega}dt =\frac{1-e^{-iT\omega}}{iT\omega}\longrightarrow0 \quad(\omega\ne0).

有限 trig polynomial の各項に適用して、深い ergodic theorem を使わず

A_P(\log X)=\lim_{T\to\infty}\frac1T\int_0^T B_P(z(t))\overline{C_{P,X}(z(t))}dt. \tag{5}

ただし $$B_P$$ 単独の平均は1であって $$A_P$$ ではない。cutoff polynomial が必要である。

有限時間の exact expansion は、 $a\in\mathcal N_P$ 、 $b\in\mathcal N_P\cap[1,X]$ の $$a=b$$ を diagonal とし、残りを $\log(a/b)$ の周波数とする。従って error は

|E_T|\le\frac2T \sum_{\substack{a\in\mathcal N_P,\ b\in\mathcal N_P\cap[1,X]\\a\ne b}} \frac1{|\log(a/b)|}. \tag{6}

異なる正整数 $a,b\le Q_P$ には $|\log(a/b)|\ge1/Q_P$ 。よって例えば

|E_T|\le \frac{2Q_P(2^k-1)N_P(X)}{T}.

この粗い bound は $$P,X$$ とともに悪化する。fixed finite torus の equidistribution から、 $$P$$ が増大する cutoff 問題の一様な rate は出ない。ここでの周波数差は実数 $\log(a/b)$ そのものであり、単位を固定しない「 $2\pi$ に近い」という議論で置換しない。

FB4. Compact smooth cutoff の Fourier inversion

\widehat\phi(t)=\int_{\mathbb R}\phi(v)e^{-itv}dv,\qquad \phi(v)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\widehat\phi(t)e^{itv}dt, \qquad \phi\in C_c^\infty(\mathbb R).

$S_{P,\phi}(L)=(\nu_P*\phi)(L)$ とすると

\boxed{S_{P,\phi}(L)=\sum_{n\in\mathcal N_P}\mu(n)\phi(L-\log n) =\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\widehat\phi(t)e^{itL} \prod_{p\in P}(1-p^{-it})dt.} \tag{7}

有限和と absolutely convergent Fourier integral の交換なので無条件。 $w_n=\phi(L-\log n)$ を (3) に代入すれば同じ量を torus coefficient としても表せる。

無減衰の全素数 Euler product を実軸 $$it$$ で収束すると仮定してはいけない。(7) の有限積には問題がなくても、それを $1/\zeta(it)$ に置換する根拠にはならない。

FB5. 全素数への actual arithmetic extension と no-tail 条件

$P_y=\{p:p\le y\}$ とする。 $y\ge X$ なら

\boxed{A_{P_y}(\log X)=M(X):=\sum_{n\le X}\mu(n).} \tag{8}

理由は $n\le X$ の全素因数が $$X$$ 以下であり、non-squarefree terms の $\mu$ は0だから。 $\max P\ge X$ だけでは足りず、必要な全素数を含む条件である。

$\operatorname{supp}\phi\subset[\alpha,\beta]$ なら $\phi(L-\log n)\ne0$ は $n\le e^{L-\alpha}$ を含意する。従って $y\ge e^{L-\alpha}$ で

S_{P_y,\phi}(L)=\sum_{n\ge1}\mu(n)\phi(L-\log n) \tag{9}

は exact。ここには tail estimate 自体が不要である。右辺も各 $$L$$ では有限和。

全実線上の transform へ移すときは $\sigma>1$ で減衰させる。

\nu_\sigma=\sum_{n\ge1}\mu(n)n^{-\sigma}\delta_{\log n},\qquad \|\nu_\sigma\|_{TV}=\sum_{n\ge1}\frac{\mu(n)^2}{n^\sigma} =\frac{\zeta(\sigma)}{\zeta(2\sigma)}<\infty.

absolutely convergent Euler product から、全実数 $$t$$ に対して

\widehat\nu_\sigma(t) =\sum_{n\ge1}\mu(n)n^{-\sigma-it} =\prod_p(1-p^{-\sigma-it})=\frac1{\zeta(\sigma+it)}. \tag{10}

$g_\sigma(v)=e^{-\sigma v}\phi(v)$ とすれば

\boxed{\sum_{n\ge1}\mu(n)\phi(L-\log n) =\frac{e^{\sigma L}}{2\pi}\int_{\mathbb R} \frac{\widehat g_\sigma(t)e^{itL}}{\zeta(\sigma+it)}dt.} \tag{11}

$\phi(L-\log n)=e^{\sigma L}n^{-\sigma}g_\sigma(L-\log n)$ が係数の確認となる。 $\widehat g_\sigma\in L^1$ と $\|\nu_\sigma\|_{TV}<\infty$ が Fubini を正当化する。

有限積を (10) に収束させる際も、絶対収束半平面では uniform in $$t$$ 。例えば差の係数は全て $$n>y$$ にあるので $y\ge1$ に対しその絶対値は $\sum_{n>y}n^{-\sigma}$ 以下。これは (8)–(9) の exact support argument とは別の、transform 側の収束である。

FB6. Step smoothing、Perron、unsmoothing の費用

固定 $\eta\in C_c^\infty([-1,1])$ に $\eta\ge0$ 、 $\int\eta=1$ を課す。 $0<h\le1$ 、 $\eta_h(v)=h^{-1}\eta(v/h)$ 、 $H_h(v)=\int_{-\infty}^v\eta_h(w)dw$ として

M_h(X)=\sum_{n\ge1}\mu(n)H_h(\log X-\log n) =\int\eta_h(v)M(Xe^{-v})dv. \tag{12}

$$H_h$$ 自体は compact support ではないが、 $v\le-h$ で0、 $v\ge h$ で1。従って (12) に寄与する $$n$$ は $n\le Xe^h$ 。 $y\ge Xe^h$ なら finite $$P_y$$ と full arithmetic の平滑和は exact に一致する。Gaussian mollifier のように compact support がない場合には、この no-tail 結論を使わない。

sharp cutoff との差は $Xe^{-h}\le n\le Xe^h$ でしか生じず、一項の差は高々1なので

\boxed{|M_h(X)-M(X)| \le\#(\mathbb N\cap[Xe^{-h},Xe^h]) \le 2X\sinh h+1=O(hX+1).} \tag{13}

同じ評価は finite $$P$$ にも成立する。 $\eta$ が符号付きなら、その $$L^1$$ norm を考慮せずこの係数1を使ってはいけない。

$s=\sigma+it$ 、 $\sigma>1$ として

\mathcal E_h(s)=\int\eta_h(v)e^{-sv}dv,\qquad \int H_h(v)e^{-sv}dv=\frac{\mathcal E_h(s)}s.

後式は integration by parts。従って絶対収束する smoothed Perron formula は

\boxed{M_h(X)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R} \frac{X^{\sigma+it}\mathcal E_h(\sigma+it)} {(\sigma+it)\zeta(\sigma+it)}dt.} \tag{14}

固定 $$h>0$$ では $\mathcal E_h(\sigma+it)$ が任意冪で減衰する。 $h\to0$ でその定数が一様とは主張しない。

sharp Perron の endpoint も確認する。 $f_\sigma(v)=e^{-\sigma v}\mathbf1_{v\ge0}$ とすれば $f_\sigma\in L^1\cap BV$ 、 $\widehat f_\sigma(t)=(\sigma+it)^{-1}$ 。 $\nu_\sigma*f_\sigma=e^{-\sigma L}M(e^L)$ も $L^1\cap BV$ なので、symmetric Fourier inversion の左右平均公式より

\lim_{T\to\infty}\frac1{2\pi i} \int_{\sigma-iT}^{\sigma+iT}\frac{X^s}{s\zeta(s)}ds =M^*(X):=\sum_{n<X}\mu(n)+\tfrac12\mathbf1_{X\in\mathbb N}\mu(X). \tag{15}

noninteger $$X$$ では $$M^*(X)=M(X)$$ 。integer cutoff の右連続値を得るには $\mu(X)/2$ を加える。finite $$P$$ も同じ convention。対称な mollifier で $h\downarrow0$ とした場合も jump では左右平均へ収束する。これは (13) の $$+1$$ と整合する。

FB7. 二素数・三素数の exact toy

$P=\{2,3\}$ なら

\nu_P=\delta_0-\delta_{\log2}-\delta_{\log3}+\delta_{\log6},\quad B_P=1-z_2-z_3+z_2z_3.

$$X=e^L$$ における $$A_P$$ は

$$X$$ の区間	$$(0,1)$$	$$[1,2)$$	$$[2,3)$$	$$[3,6)$$	$[6,\infty)$
$A_{\{2,3\}}(\log X)$	0	1	0	-1	0

$P=\{2,3,5\}$ なら八項は

\nu_P=\delta_0-\delta_{\log2}-\delta_{\log3}-\delta_{\log5} +\delta_{\log6}+\delta_{\log10}+\delta_{\log15}-\delta_{\log30}.

$$X$$ の区間	$$(0,1)$$	$$[1,2)$$	$$[2,3)$$	$$[3,5)$$	$$[5,6)$$	$$[6,10)$$	$$[10,15)$$	$$[15,30)$$	$[30,\infty)$
$A_{\{2,3,5\}}(\log X)$	0	1	0	-1	-2	-1	0	1	0

例えば $$X=7$$ ではこの finite 値は $$-1$$ だが actual $$M(7)=-2$$ 。省いた素数7の項が原因であり、(8) の十分条件を満たしていない。完全な cutoff support を含むことと、有限 Euler product の全項相殺を区別する。

FB8. Hardy/Bohr の範囲と RH を隠す移項

無減衰の $\mu(n)$ は square summable でない。従って formal $\prod_p(1-z_p)$ 自体を $H^2(\mathbb T^\infty)$ の vector として採用できない。Bohr lift の $$H^2$$ において、減衰係数 $\mu(n)n^{-\sigma}$ は $\sigma>1/2$ で square summable：

\sum_n\mu(n)^2n^{-2\sigma}=\frac{\zeta(2\sigma)}{\zeta(4\sigma)}<\infty.

従って torus $$L^2$$ vector の存在は無条件である。しかし、これだけで指定 character $$z_p=1$$ や指定 orbit $z_p=p^{-it}$ における pointwise value を得ない。boundary point evaluation は $$H^2$$ norm では非連続で、例えば異なる $$N$$ 個の monomials の和を $\sqrt N$ で割ると norm1、identity character での値は $\sqrt N$ 。Haar-a.e. の結果を固定 arithmetic orbit の値へ昇格させない。

通常の $$H^2$$ point-evaluation estimate を追加変数 $$w$$ に適用すると

\left|\sum_n\mu(n)n^{-\sigma}n^{-w}\right| \le\left(\frac{\zeta(2\sigma)}{\zeta(4\sigma)}\right)^{1/2} \zeta(2\Re w)^{1/2},\qquad\Re w>1/2.

これは追加の半平面 $\Re w>1/2$ を要し、特に $$w=0$$ や $$w=it$$ の値を与えない。 $\sigma>1/2$ と合わせた保証領域は $\Re(\sigma+w)>1$ 内にある。この一般的 $$H^2$$ bound から reciprocal zeta の critical-strip pointwise control を取り出してはいけない。

なお、有限 cutoff polynomial との coefficient pairing まで失われるわけではない。 $B_\sigma$ を上記 $$L^2$$ vector、 $C_{\sigma,X}=\sum_{n\le X,\,\mu(n)^2=1}n^\sigma z^{\kappa(n)}$ とすれば $\int B_\sigma\overline{C_{\sigma,X}}dm=M(X)$ は exact。しかし Cauchy–Schwarz は $|M(X)|\le\|B_\sigma\|_2(\sum_{n\le X}n^{2\sigma})^{1/2}=O_\sigma(X^{\sigma+1/2})$ しか与えず、 $\sigma>1/2$ では自明な $$O(X)$$ を改善しない。exact coefficient bridge と改善された estimate は別である。

(14)–(15) の積分線を $\Re s=1/2+\varepsilon$ まで動かすには、 $1/\zeta$ の poles、水平辺、無限遠、 $$h$$ -依存を処理する必要がある。非自明零点は $1/\zeta$ の poles になる。 $$s=1$$ の $\zeta$ の pole は逆数の zero であり、これと混同しない。strip 内の移動で全ての residue を消し、全 $\varepsilon>0$ で zero-free と仮定するなら RH 同値の入力を持ち込んでいる。

また (13) を平方根規模にするには例えば $h\lesssim X^{-1/2+\varepsilon}$ を要し、その縮む幅に対して (14) の estimate を一様化する追加仕事が残る。fixed $$P$$ の equidistribution、fixed $$h$$ の Fourier inversion、 $\sigma>1$ の absolute convergence のどれも、この一様 cancellation estimate を供給しない。

FB9. 一次出典・独立確認・判定

Hedenmalm–Lindqvist–Seip, A Hilbert space of Dirichlet series and systems of dilated functions in L²(0,1), math/9512211v1, §2.2 (2-5) が prime coordinates の Bohr lift、同節の normalized Haar / Hardy model、§4.1 (4-1) が prime-log Kronecker flow の平均を扱う。author preprint の本文を照合した。原 Bohr 1913 論文全体を再監査したという意味ではない。
Hardy–Riesz, The General Theory of Dirichlet’s Series (1915) の原本文取得は今回の web endpoint で完了しなかった。その Perron theorem を読了済みとして引用せず、(15) は本ノートの $L^1\cap BV$ Fourier inversion による導出を使った。
DESTROYER が (11) の減衰・Fourier 符号、非負 compact mollifier の下での (13)、sharp $y\ge X$ / smooth $y\ge Xe^h$ の no-tail 条件を独立に検算し PASS。signed mollifier と非compact smoothing の例外も確認された。

Decision: (2), (5), (7), (8)–(15) は actual arithmetic coefficients を保持した Level 1 の exact bridge として保存する。新しい一様 cancellation estimate は得ていない。有限トーラスの正測度、近接周波数、平滑化、解析接続を RH の代用品にしない。RH は OPEN。