STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

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Common-parent variational dictionary

2026-09-30。RH OPEN。既存ファイルは読取専用。本稿の $$A$$ はWeil ground、 $$B$$ は指定されたprolate proxyを表す。記号 $$B$$ と区別するため算術和写像を $S_\lambda$ と書く。

1. A の exact objective

a=\log\lambda,\quad L=2a,\quad Y_\lambda=L^2([-a,a],dt),\quad V_j(t)=L^{-1/2}e^{2\pi ij(t+a)/L},\quad E_N=\operatorname{span}\{V_j:|j|\le N\}.

全関数は区間外で0とする。 $$V_j$$ は周期基底だが、その零延長の convolutionにprime/Gamma/poleのWeil distributionを作用させる。周期convolutionへ置換しない。

Q_{\lambda,N}=(Q_W(V_m,V_n))_{m,n=-N}^N,\qquad e_0=\min_{\|v\|_2=1,\ v\in E_N}Q_W(v,v). \tag{A1}

標準内積は $$dt=du/u$$ 。本比較に使うnormはこの内積であり、 determinant構成の $$Q-e_0I$$ による商内積とは異なる。固有方程式は $Q_{\lambda,N}v=e_0v$ 。 ESは $$e_0$$ が単純で、 $$Jv(t)=v(-t)=v(t)$$ であること。 reflectionとQが可換でも、global groundが偶という結論は自動ではない。

自然なprime-side表示は

Q_W(f,f)=\int_{\mathbb R}|\widehat f(t)|^2 \frac{h_\Gamma(t)}{2\pi}\,dt +2\Re\!\left(\widehat f(i/2)\overline{\widehat f(-i/2)}\right) -2\sum_{p^k\le\lambda^2}\frac{\log p}{p^{k/2}} \Re(f^**f)(k\log p), \tag{A2}

h_\Gamma(t)=\Re\psi(1/4+it/2)-\log\pi,\qquad \widehat f(z)=\int f(t)e^{-izt}dt.

Gamma multiplier、rank-two pole term、prime shiftsを含む符号付きの形式。これを無条件に非負leakageと呼ばない。 CCM, §§3–5。

2. Prolateの最適化と、指定Bの構成は同じではない

additive空間 $X_\lambda=L^2([-\lambda,\lambda],dx)$ で、 $\mathcal Fh(\xi)=\int h(x)e^{2\pi ix\xi}dx$ とする。 $P_\lambda=1_{[-\lambda,\lambda]}$ 、 $\widehat P_\lambda=\mathcal F^{-1}P_\lambda\mathcal F$ 。

C_\lambda=P_\lambda\widehat P_\lambda P_\lambda,\qquad J_{\rm leak}(h)=\|(I-P_\lambda)\mathcal Fh\|_2^2 =\|h\|_2^2-\langle h,C_\lambda h\rangle. \tag{B1}

単位normでleakage最小、同値にconcentration最大のvectorは $\psi_{0,\lambda}$ 。高次mode $\psi_{j,\lambda}$ は先行modeへの直交制約下のmin–max解。

PW_\lambda=-\partial_x((\lambda^2-x^2)\partial_x)+(2\pi\lambda x)^2, \qquad PW_\lambda\psi_j=\theta_j\psi_j,\quad C_\lambda\psi_j=\kappa_j\psi_j. \tag{B2}

regular endpoint realizationを使う。Dirichlet端点値0を勝手に課さない。 $x=\lambda y$ で $PW_\lambda=-\partial_y((1-y^2)\partial_y)+c^2y^2$ 、 $c=2\pi\lambda^2$ 。 $\kappa_j$ はconcentration eigenvalueであり、 $\theta_j$ やWeilの $$e_j$$ と同じではない。

指定proxyのseedは

I_j=\int_{-\lambda}^{\lambda}\psi_{j,\lambda}(x)dx,\qquad h_\lambda\ \propto\ \psi_{4,\lambda}-(I_4/I_0)\psi_{0,\lambda}. \tag{B3}

各 $\psi_j$ の任意の非零スカラー正規化は、このdirectionを変えない。 $\int h_\lambda=0$ はexactだが、 $h_\lambda$ はPWやCの固有vectorではない。 2次元span内のmean-zero条件で方向を選んだものであって、全mean-zero空間のconcentration最適解ではない。

後者の非同一性はLagrange式から直接検査できる。もし $h_\lambda$ がeven mean-zero空間のconcentration stationary pointなら

C_\lambda h_\lambda=\kappa h_\lambda+\eta\,1.

$\psi_{2,\lambda}$ 成分を取ると $\eta I_2=0$ 、 $I_2\ne0$ なので $\eta=0$ 。すると $\kappa_0\ne\kappa_4$ の二つの非零成分に同じ固有値を要求し矛盾。 Fourier-positive branchだけに制限しても $\psi_8$ で同じ検査ができる。これらの局所固有関数の性質と原典の規約は B担当ノートに記載。

3. B をAへ入れるcanonical map

(S_\lambda h)(u)=\sqrt u\sum_{1\le m\le\lambda/u}h(mu), \quad u\in[\lambda^{-1},\lambda],\qquad k_\lambda=S_\lambda h_\lambda. \tag{B4}

seedは偶なので正半直線の値だけで計算する。 log座標の $k_\lambda(e^t)$ と、additive seedの $h_\lambda(x)$ を混同しない。 $k_\lambda$ が有限 $\lambda$ でlog反転に関して偶とは限らない。 finite Fourier eigenvaluesの異なる0/4 mixtureを、全実線Fourier不変関数として扱ってはいけない。

有限Weil行列へ代入する際は、既存の直交射影だけを使う：

p_{\lambda,N}=P_N[k_\lambda(e^t)],\qquad b_{\lambda,N}=\frac{p_{\lambda,N}}{\|p_{\lambda,N}\|_2}, \quad p_{\lambda,N}\ne0. \tag{B5}

計算ではraw proxyを使い、偶化・zero位置を用いた補正・新内積を加えない。 zero extension由来の内部jump $t=\log(\lambda/m)$ と端点を積分で処理する。

4. 一枚のobjective比較

項目	Weil ground A	prolate最適化と指定proxy B
目的量	$$Q_W(f,f)$$ の最小化	各modeはconcentration min–max。指定Bは0/4 mean-zero mixtureの算術像
場所・norm	$$[-a,a]$$ , $$dt=du/u$$	seedは $[-\lambda,\lambda]$ , $$dx$$ 。算術像では $$du/u$$
制約	$f\in E_N,\ \\|f\\|_2=1$	各modeは先行modeと直交。seed mixtureはspanとmean-zeroで選択
境界	周期Fourier基底の零延長	regular prolate endpoint、値0ではない
Euler式	$Q_{\lambda,N}v=e_0v$	各 $\psi_j$ : PW/C固有式。mixtureは同じ1固有値式を満たさない
算術	実際の全 $p^k\le\lambda^2$ 、Gamma、pole	seed最適化にprimesなし。後段 $S_\lambda$ の整数和が算術入力
localization	log support、非局所prime shifts	additive space/frequency leakage
対称性	reflection可換。ESは別義務	seed additive-even。像のlog-evenは有限段階で自動でない
親を同一視するための不足	BのWeil energy excessとfull gap	算術像にconcentration最適性を運ぶ恒等式がない

5. 自然なpullbackは書けるが、common parentの発見ではない

正半直線上 $X_\lambda^+=L^2((0,\lambda),dx)$ を使うと、 $S_\lambda:X_\lambda^+\to Y_\lambda$ はboundedかつonto。ただし $(0,\lambda^{-1})$ にsupportを持つ関数はkernelへ落ちる。

G_\lambda=S_\lambda^*S_\lambda\ne I,\qquad \mathcal J_A(h)=\frac{Q_W(S_\lambda h,S_\lambda h)} {\langle h,G_\lambda h\rangle}.

pullback Euler式は弱形式で

S_\lambda^*Q_WS_\lambda h=\mu G_\lambda h,

finite版なら $S_\lambda$ を $P_NS_\lambda$ に置く。これはAを別座標で書いただけで、Bの選択を導いていない。新しい算術metricを発明したものでもない。

実際、kernel内の非零smooth mean-zero $$h$$ に対し、pullback energyと $\|S_\lambda h\|^2$ は0だが $J_{\rm leak}(h)>0$ 。従って自然な全source空間上で

Q_W(S_\lambda h,S_\lambda h) =\alpha_\lambda J_{\rm leak}(h)+\beta_\lambda\|S_\lambda h\|^2 \quad(\alpha_\lambda\ne0)

という単純な同一視は偽。追加のconstraintや非自明な誤差項を含む全ての未知parentの不存在を証明したわけではない。

6. 原典のtrace connectionと、本問のvector energyは別

Connesのtrace formulaはcutoff projections、scalingの積分作用、Weil distributionを結ぶ。しかしtrace identityから、指定trial vectorのRayleigh値やground-state orderが同じとは言えない。 CCの公刊 Spectral triples and ζ-cycles §3は、算術和像がWeil formのradicalに入ることを既に記録している。ここでの像は $f(0)=\int f=0$ を満たす全域Schwartz関数の算術和であり、有限切断 $S_\lambda h_\lambda$ 全体をradicalと主張するものではない。これがproxyの小energyを考える既知の動機であり、concentrationのunique minimumと Weilのunique minimumの同一化定理ではない。公刊原典 pp.118–120。

7. Type I–IV の分類

Type	候補	判定
I 同じminimizer	Bも通常concentrationの制約付き最小解	上述KKTで指定解釈はFALSE。A/B共通の別目的量は未取得
II 同じparent・別座標	$S_\lambda$ pullback	exactだが非等長・kernelあり。Aの再表現以上にはならない
III 双対variational principle	Fourier/Mellinによるprimal/dual同一化	trace/変換の対応は既知。objectiveとconstraintのdual identityは未取得
IV 共通limit・unique minimizer	global Weil formをlimitとする	自然なextended formには無限次元radical。正性があっても最小解は非一意

NO COMMON PARENT IDENTIFIED.

公開版の参照案内（編集注）

本文中のsource-relative pathは原記録の識別子です。収録先:

research/common_parent/notes/B_variational_and_equations.md

項目	Weil ground A	prolate最適化と指定proxy B
目的量	$\(Q_W(f,f)\)$ の最小化	各modeはconcentration min–max。指定Bは0/4 mean-zero mixtureの算術像
場所・norm	$\([-a,a]\)$ , $\(dt=du/u\)$	seedは $[-\lambda,\lambda]$ , $\(dx\)$ 。算術像では $\(du/u\)$
制約	$f\in E_N,\ \\|f\\|_2=1$	各modeは先行modeと直交。seed mixtureはspanとmean-zeroで選択
境界	周期Fourier基底の零延長	regular prolate endpoint、値0ではない
Euler式	$Q_{\lambda,N}v=e_0v$	各 $\psi_j$ : PW/C固有式。mixtureは同じ1固有値式を満たさない
算術	実際の全 $p^k\le\lambda^2$ 、Gamma、pole	seed最適化にprimesなし。後段 $S_\lambda$ の整数和が算術入力
localization	log support、非局所prime shifts	additive space/frequency leakage
対称性	reflection可換。ESは別義務	seed additive-even。像のlog-evenは有限段階で自動でない
親を同一視するための不足	BのWeil energy excessとfull gap	算術像にconcentration最適性を運ぶ恒等式がない