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公開用に整形した研究原資料の履歴snapshotです。本文の「現在」「完了」「PASS」は原記録の対象・時点に限定され、RH証明や公開環境での再実行を意味しません。 Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted research log · Text: CC BY 4.0. Source: research/dyadic/notes/dyadic_relations.md · Original SHA-256: 6cc08be88ba0c5c654f2deaaaa77fbf2043879ec2f94ff5f78ff12399c75e789. 原資料パスと公開パスの対応・書換え・export hashは公開source manifestを参照。本文のコード・検証ログは履歴であり、このexportでは再実行していません。

Dyadic Arithmetic Reduction：全アデール拡大、2進格子、偶奇和

2026-09-30。既存ファイルを変更しない限定計算。空間・range は arithmetic_space.md、Gaussian test は product_formula_star.md の規約を固定する。既知恒等式の直接再導出であり、新規性・RH の進展は主張しない。

結論。 有理数 $$2^n$$ の diagonal adelic scaling は summation 上で恒等作用になるが、実成分だけの scaling は別作用である。後者は compact-unit invariant sector では $2^{-n}\mathbb Z_2$ への格子拡大に対応し、半密度係数 $2^{-n/2}$ が残る。有限の偶奇分解と Poisson は exact、算術 range $$W$$ は両方向に不変。ただし $$W$$ 内の Gaussian についての恒等式は非零商類の reduction ではない。無限 dyadic 展開は pointwise / local smooth には収束しても、固定した全指数重みの test topology では一般に収束しない。

DR1. 定義と二種類の $$2^n$$

$\mathbb A=\mathbb A_\mathbb Q$ 、実 Fourier 規約 $\widehat f(y)=\int_{\mathbb R}f(x)e^{-2\pi ixy}dx$ を使う。有限素点は標準文字と自己双対測度、 $\operatorname{vol}(\mathbb Z_p)=1$ 。global 加法文字は $\mathbb Q$ 上自明になるものを固定する。

even Schwartz function $$f$$ に対し

\xi_f=f\otimes\mathbf1_{\widehat{\mathbb Z}},\qquad \Theta_f(x)=\sum_{m\in\mathbb Z\setminus\{0\}}f(mx) =2\sum_{m\ge1}f(mx),\quad x>0. \tag{1}

これは idèle $x=(x_\infty=x,x_p=1)$ における $\Sigma\xi_f(x)=\sum_{q\in\mathbb Q^\times}\xi_f(qx)$ である。有限条件が $q\in\mathbb Z$ を選ぶため (1) となる。

$R_a\xi(z)=\xi(a^{-1}z)$ 、 $U_a=|a|_{\mathbb A}^{-1/2}R_a$ と置く。次を区別する。

$r_n=2^n\in\mathbb Q^\times$ を 全素点へ diagonal に埋めた idèle。
$a_n=(2^n,1,1,\ldots)$ という 実成分のみを変える idèle。

積公式から

|r_n|_{\mathbb A}=2^n\,2^{-n}=1,\qquad |a_n|_{\mathbb A}=2^n. \tag{2}

$n\in\mathbb Z$ に対して

R_{r_n}\xi_f =f(x_\infty/2^n)\otimes\mathbf1_{2^n\mathbb Z_2} \otimes\prod_{p\ne2}\mathbf1_{\mathbb Z_p}.

従って summation では

\Sigma(R_{r_n}\xi_f)(x) =\sum_{m\in2^n\mathbb Z\setminus\{0\}}f(mx/2^n) =\Theta_f(x). \tag{3}

一般の adelic test にも $q\mapsto q/2^n$ の reindexing により成立する。これは $\mathbb Q^\times$ -coinvariant の既知関係である。

一方、

\Sigma(U_{a_n}\xi_f)(x)=2^{-n/2}\Theta_f(x/2^n). \tag{4}

半密度

\phi_f(t)=e^{t/2}\Theta_f(e^t),\quad L=\log2,\quad (T^ng)(t)=g(t-nL)

を使うと (4) は $\phi_f\mapsto T^n\phi_f$ に対応する。(3) を (4) の恒等性へ読み替えてはいけない。

DR1.1. 実側 scaling を有限側へ移す正確な形

$a_n r_n^{-1}$ の実成分は1、全有限成分は $2^{-n}$ 。奇素点の $2^{-n}$ は unit なので、compact-unit invariant sector では

[a_n]=[b_n],\quad (b_n)_\infty=1,\quad(b_n)_2=2^{-n},\quad(b_n)_p=1\ (p\ne2). \tag{5}

従って (4) は

2^{-n/2} f(x_\infty)\otimes\mathbf1_{2^{-n}\mathbb Z_2} \otimes\prod_{p\ne2}\mathbf1_{\mathbb Z_p} \tag{6}

の summation と一致する。ここでは $q\in2^{-n}\mathbb Z$ を選び、 $|b_n|_{\mathbb A}=2^n$ 。実側を戻す際に 2進格子を同時に変えたことが本質である。

DR2. 2進格子、Fourier dual、導手の規約

任意の整数 $$j$$ について

\operatorname{vol}(2^j\mathbb Z_2)=2^{-j},\qquad (2^j\mathbb Z_2)^\perp=2^{-j}\mathbb Z_2,

\mathcal F_2\mathbf1_{2^j\mathbb Z_2} =2^{-j}\mathbf1_{2^{-j}\mathbb Z_2}. \tag{7}

証明は compact additive subgroup 上の文字の積分：文字が自明なら volume、非自明なら平行移動によって積分がゼロとなる。

test function $\mathbf1_{2^j\mathbb Z_2}$ の additive translation invariance group は $2^j\mathbb Z_2$ 、Fourier support はその annihilator。文字 $z\mapsto\psi_2(2^{-n}z)$ の kernel は $2^n\mathbb Z_2$ 。本ノートでの conductor / resolution はこの加法的意味に限定し、Dirichlet / Hecke character の multiplicative conductor を新たに $$2^n$$ にしたという意味ではない。

実側の Fourier 係数も同時に保持すると

\mathcal F_\infty[f(\,\cdot\,/2^n)](y) =2^n\widehat f(2^ny).

(7) の $2^{-n}$ と相殺し、

\mathcal F_{\mathbb A}R_{r_n} =R_{r_n^{-1}}\mathcal F_{\mathbb A}. \tag{8}

一般 idèle の公式は $\mathcal F R_a=|a|_{\mathbb A}R_{a^{-1}}\mathcal F$ 。全 diagonal での係数相殺を real-only scaling の式へ流用しない。

次の表は (6) の有限側を列挙したもの。

$$n$$	格子 test $$B_n$$	半密度係数 $c_n=2^{-n/2}$	$\mathcal F_2(c_nB_n)$
1	$\mathbf1_{2^{-1}\mathbb Z_2}$	$1/\sqrt2$	$\sqrt2\,\mathbf1_{2\mathbb Z_2}$
2	$\mathbf1_{2^{-2}\mathbb Z_2}$	$$1/2$$	$2\,\mathbf1_{4\mathbb Z_2}$
3	$\mathbf1_{2^{-3}\mathbb Z_2}$	$1/(2\sqrt2)$	$2\sqrt2\,\mathbf1_{8\mathbb Z_2}$
4	$\mathbf1_{2^{-4}\mathbb Z_2}$	$$1/4$$	$4\,\mathbf1_{16\mathbb Z_2}$

各 $$c_nB_n$$ の additive $L^2(\mathbb Q_2)$ norm は1。これは正しい ambient normalization であり、全零点商上の norm の同定ではない。

DR3. 偶奇分解と $$n=1,2,3,4$$

O_f(x)=\sum_{m\in2\mathbb Z+1}f(mx),\qquad \Theta_f(x)=\Theta_f(2x)+O_f(x). \tag{9}

Schwartz 性により各 $$x>0$$ の和は絶対収束し、有限回の reindexing は正当。反復して

\boxed{\Theta_f(x/2^n)=\Theta_f(x) +\sum_{j=1}^n O_f(x/2^j)},\qquad n\ge1. \tag{10}

逆方向も

\Theta_f(2^nx)=\Theta_f(x)-\sum_{j=0}^{n-1}O_f(2^jx). \tag{11}

有限側では $B_0=\mathbf1_{\mathbb Z_2}$ とすると

B_n=B_0+\sum_{j=1}^n A_j,\qquad A_j=\mathbf1_{2^{-j}\mathbb Z_2^\times}=B_j-B_{j-1}. \tag{12}

$$A_j$$ は $q=2^{-j}m$ 、 $$m$$ odd を選ぶので、(12) の summation が (10)。また

\mathcal F_2 A_j =2^j\mathbf1_{2^j\mathbb Z_2} -2^{j-1}\mathbf1_{2^{j-1}\mathbb Z_2}. \tag{13}

これは符号付きの差であり、Fourier 側の各 shell を正作用素と扱う根拠ではない。 $$A_j$$ の additive invariance group は $2^{1-j}\mathbb Z_2$ 、Fourier support は $2^{j-1}\mathbb Z_2$ 。

式を四段まで省略せず書くと

\begin{aligned} \Theta_f(x/2)&=\Theta_f(x)+O_f(x/2),\\ \Theta_f(x/4)&=\Theta_f(x)+O_f(x/2)+O_f(x/4),\\ \Theta_f(x/8)&=\Theta_f(x)+O_f(x/2)+O_f(x/4)+O_f(x/8),\\ \Theta_f(x/16)&=\Theta_f(x)+O_f(x/2)+O_f(x/4)+O_f(x/8)+O_f(x/16). \end{aligned} \tag{14}

$d_j(t)=e^{t/2}O_f(e^t/2^j)$ と置くと normalized return は

\begin{aligned} T\phi_f&=(\phi_f+d_1)/\sqrt2,\\ T^2\phi_f&=(\phi_f+d_1+d_2)/2,\\ T^3\phi_f&=(\phi_f+d_1+d_2+d_3)/(2\sqrt2),\\ T^4\phi_f&=(\phi_f+d_1+d_2+d_3+d_4)/4. \end{aligned} \tag{15}

ここで $$d_j$$ を $$n$$ に依存しない固定符号の error budget として estimate したことはない。

DR4. Poisson と半密度の反転

まず一般の Schwartz $$f$$ には

f(0)+\Theta_f(x)=x^{-1}\bigl(\widehat f(0)+ \Theta_{\widehat f}(1/x)\bigr). \tag{16}

従って $f(0)=\widehat f(0)=\int f=0$ を課した arithmetic core では

\Theta_f(x)=x^{-1}\Theta_{\widehat f}(1/x),\qquad \phi_f(t)=\phi_{\widehat f}(-t). \tag{17}

極に対応する二つの境界項を、条件を課す前に捨てていない。

odd coset の Poisson は

O_f(x)=\frac1{2x}\sum_{m\in\mathbb Z}(-1)^m \widehat f\!\left(\frac m{2x}\right). \tag{18}

これは格子 $2x\mathbb Z+x$ の Fourier character $$(-1)^m$$ から得る。従って

O_f(x/2^j)=\frac{2^{j-1}}x \sum_{m\in\mathbb Z}(-1)^m \widehat f\!\left(\frac{2^{j-1}m}x\right). \tag{19}

$$j=1,2,3,4$$ の係数と引数の倍率は、それぞれ $$1,2,4,8$$ 。odd/even summation の dual は無重みの正和ではなく alternating sum である。

$$Jg(t)=g(-t)$$ とすれば $JT^n=T^{-n}J$ であり、

T^n\phi_f=J T^{-n}\phi_{\widehat f}. \tag{20}

この二端点を交換する等式自体は return の norm growth をゼロにしない。

DR5. $$W$$ の両向き不変性

\mathcal S_{00}^{\rm even} =\{f\in\mathcal S(\mathbb R):f\text{ even},\ f(0)=\textstyle\int f=0\}.

$$f$$ がこの空間にあれば

f_n(y)=2^{-n/2}f(y/2^n)

もこの空間にあり、 $f\mapsto f_n$ は逆 $n\mapsto-n$ を持つ。さらに

\phi_{f_n}=T^n\phi_f. \tag{21}

よって scalar summation range $$V$$ は $$T^nV=V$$ （全 $n\in\mathbb Z$ ）を満たす。

全 adelic core でも $U_{a_n}$ は Schwartz–Bruhat 性を保ち、 $(U_{a_n}\xi)(0)=2^{-n/2}\xi(0)$ 、 $\int U_{a_n}\xi=2^{n/2}\int\xi$ なので、二つの vanishing 条件を保つ。compact-unit 平均はこの scaling と可換である。

固定した $$E$$ の seminorm

p_N(g)=\max_{0\le j\le N}\sup_t e^{N|t|}(1+|t|)^N|g^{(j)}(t)|

では

p_N(T^ng)\le 2^{N|n|}(1+|n|L)^N p_N(g). \tag{22}

従って $$T^n$$ は $$E$$ の homeomorphism。closure を取り、

W=\overline V^{\,E},\qquad T^nW=W. \tag{23}

これは $$E/W$$ 上に群作用が降りることの証明であって、その作用が恒等であることの証明ではない。

DR6. 指定 Gaussian test の独立確認

f(x)=P(u)e^{-u},\quad u=\pi x^2,\quad P(u)=8u^3-30u^2+15u. \tag{24}

明らかに even Schwartz、 $$f(0)=0$$ 。Gaussian moments $\int u e^{-u}dx=\tfrac12$ 、 $\int u^2e^{-u}dx=\tfrac34$ 、 $\int u^3e^{-u}dx=\tfrac{15}{8}$ により $\int f=0$ 。

Fourier は

\begin{aligned} \mathcal F(ue^{-u})&=(\tfrac12-u)e^{-u},\\ \mathcal F(u^2e^{-u})&=(u^2-3u+\tfrac34)e^{-u},\\ \mathcal F(u^3e^{-u})&=(-u^3+\tfrac{15}2u^2-\tfrac{45}4u+ \tfrac{15}8)e^{-u}, \end{aligned}

ゆえに $\widehat f=-f$ 。従って (17)–(20) は

\phi_f(-t)=-\phi_f(t),\qquad \Theta_f(x/2^n)=-\frac{2^n}{x}\Theta_f(2^n/x). \tag{25}

この非零 $\phi_f$ は $V\subset W$ に属する。実際、 $$P(u)>0$$ for $u\ge4$ なので $$x=2$$ では (1) の全項が正、 $\phi_f(L)>0$ 。

Mellin 側も actual Euler / Gamma 因子を保持している。 $\Re s>1$ で

\int_0^\infty\Theta_f(x)x^s\,\frac{dx}{x} =2\zeta(s)\int_0^\infty f(x)x^s\,\frac{dx}{x} =(2s-1)\xi(s). \tag{26}

右の多項式は test に由来し、target ζ を別の函数に置換したものではない。(4) には $2^{n(s-1/2)}$ が掛かる。

有限側の乗法 Haar を $\operatorname{vol}^\times(\mathbb Z_2^\times)=1$ とすると

\int_{\mathbb Q_2^\times}\mathbf1_{2^j\mathbb Z_2}(z) |z|_2^s\,d^\times z =\frac{2^{-js}}{1-2^{-s}},\quad\Re s>0. \tag{27}

全 diagonal scaling では real factor $2^{ns}$ と (27) の $2^{-ns}$ が相殺する。real-only / (6) では $2^{n(s-1/2)}$ が残る。odd shell では $\mathbf1_{\mathbb Z_2^\times}$ の local integral が1なので

\mathcal M O_f(s) =(1-2^{-s})\,\mathcal M\Theta_f(s) =(1-2^{-s})(2s-1)\xi(s). \tag{28}

$1-2^{-s}$ は $0<\Re s<1$ でゼロでなく、この局所因子の除去は非自明零点を消さない。

DR7. 無限 dyadic 展開が収束する位相・しない位相

この節では $f\in\mathcal S_{00}^{\rm even}$ を固定する。従って $\phi_f\in E\subset L^2(dt)$ 。pole 条件のない一般 Schwartz test に後述の $$L^2$$ 結論を適用しない。

整数の一意分解 $m=2^j m_{\rm odd}$ により、各 $$x>0$$ で

\Theta_f(x)=\sum_{j\ge0}O_f(2^jx) \tag{29}

は絶対収束する。compact $$x$$ -interval $[a,b]\subset(0,\infty)$ では Schwartz estimates により全導関数も一様収束する。

$o_f(t)=e^{t/2}O_f(e^t)$ とすると、 $$J$$ 項までの exact remainder は

\phi_f(t)-\sum_{j=0}^{J-1}2^{-j/2}o_f(t+jL) =r_J(t):=2^{-J/2}\phi_f(t+JL). \tag{30}

従って bare $$L^2(dt)$$ では

\|r_J\|_2=2^{-J/2}\|\phi_f\|_2\longrightarrow0. \tag{31}

しかし $$E$$ の topology では違う。固定 $$t_0$$ に対し $\phi_f(t_0)\ne0$ なら

p_N(r_J)\ge e^{N|t_0-JL|}(1+|t_0-JL|)^N 2^{-J/2}|\phi_f(t_0)|. \tag{32}

全ての $N\ge1$ で右辺は発散する。指定 Gaussian では $$t_0=L$$ とでき、 $J\ge1$ について正確に

p_N(r_J)\ge 2^{-N}2^{(N-1/2)J}(1+(J-1)L)^N\phi_f(L)\longrightarrow\infty. \tag{33}

従って (29) の無限和を、そのまま $$E$$ での convergent reduction / rearrangement に使えない。

scope。 この Gaussian の各項・残差は $$W$$ 内にあり、quotient seminorm では $$q_N(r_J)=0$$ 。従って (33) は $$E/W$$ の非収束の反例ではなく、test-space topology の異なる極限を混同することへの反例である。商では全て零という計算から、任意の非零商類を制御する評価は出ない。

DR8. $$W$$ の test を消すことと、一般 class reduction の区別

(9) の半密度版は

o_f=(I-2^{-1/2}T^{-1})\phi_f. \tag{34}

$\phi_f\in W$ と (23) により $o_f,d_j\in W$ 。従って (15) は商では $$0=0$$ である。

(34) の右辺を任意の $g\in E$ に定義すること自体はできるが、それが常に $$W$$ に属するという主張は偽。actual zero $\rho$ に対する非零 Mellin functional を使うと

\ell_\rho((I-2^{-1/2}T^{-1})g) =(1-2^{-\rho})\ell_\rho(g). \tag{35}

非自明零点は $\Re\rho>0$ にあるから $1-2^{-\rho}\ne0$ 。 $\ell_\rho(g)\ne0$ となる compactly supported smooth $$g$$ を選べば、(35) は非零となり、その右辺の test は $$W$$ に属さない。これは RH を仮定しない反証である。零点は norm の定義入力にはしておらず、普遍的な range-membership 主張を検査する既知 functional としてのみ使った。

一般 class reduction に必要なのは、任意の $$g$$ と $$n$$ に対する実際の $w_{n,g}\in W$ の選択と、例えば

p_1(T^ng+w_{n,g}) \le C_\varepsilon2^{\varepsilon|n|}p_{M_\varepsilon}(g)

のような一様算術 estimate である。適切な infimum を介した商版との関係も確認を要する。今回の有限 dyadic identities はその選択・estimate を供給しない。係数 $2^{-n/2}$ 、格子変化、Poisson の alternating sign のいずれも、未証明の正性や一様 bound の代わりにはならない。

Decision: (2)–(28) の有限 exact dictionary、 $$W$$ の両方向不変性、(30)–(33) の topology 診断を保持する。Gaussian range relation から一般 class の subexponential reduction を得る候補は、この計算だけでは成立しない。その不足を隠した普遍化は (35) により棄却する。RH は OPEN。

DR9. 別の arbitrary-input construction に対する exact recurrence

以上の Gaussian 計算と区別して、explicit_mobius_reduction.md は任意の $g\in E$ に actual arithmetic representative を与える。この節はその dyadic recurrence の独立検算である。記号の衝突を避け、 $\mathcal J h(t)=e^{t/2}h(e^t)$ 、 $Sf(x)=2\sum_{m\ge1}f(mx)$ とする。

固定した smooth cutoff $\chi$ は $x\le1/2$ で0、 $x\ge1$ で1。固定 $\psi\in C_c^\infty((1/2,1))$ は $\int_0^\infty\psi=1$ 。 $H(x)=x^{-1/2}g(\log x)$ 、 $H_a(x)=a^{-1/2}H(x/a)$ に対し

F_a(x)=\frac12\sum_{m\ge1}\mu(m)H_a(mx),\quad c_a=\int_0^\infty\chi(x)F_a(x)dx,\quad f_a(x)=\chi(x)F_a(x)-c_a\psi(x) \tag{36}

を positive axis 上で定義し、 $$f_a$$ を even に延長する。固定 $$a>0$$ で local absolute convergence と全導関数の収束は $$H$$ の両端での任意冪の減衰から従う。cutoff により $$f_a$$ は原点近傍で0、無限遠で Schwartz、定義した $$c_a$$ により $\int_{\mathbb R}f_a=0$ 。従って $\mathcal JSf_a\in V$ 。

F_{2a}(x)=2^{-1/2}F_a(x/2),\qquad c_{2a}=\sqrt2\int_0^\infty\chi(2y)F_a(y)dy. \tag{37}

第二式は第一式と $$x=2y$$ の変数変換である。 $U_2f(x)=2^{-1/2}f(x/2)$ と置くと

\begin{split} k_a(x)&:=f_{2a}(x)-U_2f_a(x)\\ &=2^{-1/2}[\chi(x)-\chi(x/2)]F_a(x/2) -c_{2a}\psi(x)+2^{-1/2}c_a\psi(x/2). \tag{38} \end{split}

even extension の $$k_a$$ は $\{1/2\le|x|\le2\}$ に supported である。 $f_{2a}$ と $$U_2f_a$$ の積分はそれぞれ0なので $\int k_a=0$ ；原点近傍でも0。よって $k_a\in\mathcal S_{00}^{\rm even}$ かつ $\mathcal JSk_a\in W$ 。この support 結論は $$f_a$$ 自体の compact support を意味しない。

$$a=2^n$$ 、 $R_n=T^ng-\mathcal JSf_{2^n}$ とすると、 $\mathcal JSU_2f=T\mathcal JSf$ により

\boxed{R_{n+1}=TR_n-\mathcal JSk_{2^n}.} \tag{39}

特に $R_0=g-\mathcal JSf_1$ から

\begin{aligned} R_1&=TR_0-\mathcal JSk_1,\\ R_2&=T^2R_0-T\mathcal JSk_1-\mathcal JSk_2,\\ R_3&=T^3R_0-T^2\mathcal JSk_1-T\mathcal JSk_2-\mathcal JSk_4,\\ R_4&=T^4R_0-T^3\mathcal JSk_1-T^2\mathcal JSk_2 -T\mathcal JSk_4-\mathcal JSk_8. \end{aligned} \tag{40}

これは一般 $$g$$ に対する representative recurrence であり、Gaussian が $$W$$ 内で零になるだけの計算ではない。商では正確に $$[R_n]=T^n[g]$$ を保つ。 $$R_0$$ を無断で $$g$$ と置換してはならない。

ただし (39) は contraction を意味しない。上記 linked note の elementary absolute estimate は

|c_a|\le C\sqrt a(1+\log a)p_4(g),\qquad p_1(R_n)\le C2^{n/2}(1+n)p_4(g)\quad(a=2^n\ge1)

までであり、subexponential bound ではない。(38) の補正も cutoff と moment restoration の費用を保持する必要がある。この追加構成は DR8 の「有限 Gaussian identities だけでは一般 class の estimate を供給しない」という限定と両立する。DR8 (35) が棄却したのは任意 $$g$$ に対する $(I-2^{-1/2}T^{-1})g\in W$ という誤った普遍化であり、(36)–(40) の異なる算術補正ではない。

追加判定： (37)–(40) の exact arbitrary-input recurrence を保持。未証明の cancellation を contraction と呼ばない。RH は OPEN。

出典と検証範囲

CCM, math/0703392v1, Definitions 4.10 / 4.14、Proposition 4.11、Lemma 4.15、(4.41)–(4.45)：指定算術 range、作用、半密度正規化。
Kudla, Tate’s Thesis, §1 (1.1)、§2 product formula、§3 Fourier / 自己双対測度、§4 Poisson と zeta integral：規約の照合。著者講義資料であり、Tate1950原論文の全面監査とはしない。
Gaussian Fourier、多項式 moments、有限 $$n=1,2,3,4$$ の係数、残差の $$p_N$$ 下界は本ノートで直接計算した。外部論文の新しい RH claim は採用していない。
DR7 の remainder、 $$p_N$$ 発散、Gaussian の $\phi_f(\log2)>0$ は DESTROYER が独立に検算して PASS。商内では全て零であるという scope も確認された。DR9 は root の別構成の scaling・support・moment・recurrence を独立に検算したもので、その構成の全解析的 estimate の再監査とは区別する。

公開版の参照案内（編集注）

本文中のsource-relative pathは原記録の識別子です。収録先:

Dyadic Arithmetic Reduction：全アデール拡大、2進格子、偶奇和

DR1. 定義と二種類の $\(2^n\)$

DR1.1. 実側 scaling を有限側へ移す正確な形

DR2. 2進格子、Fourier dual、導手の規約

DR3. 偶奇分解と $\(n=1,2,3,4\)$

DR4. Poisson と半密度の反転

DR5. $\(W\)$ の両向き不変性

DR6. 指定 Gaussian test の独立確認

DR7. 無限 dyadic 展開が収束する位相・しない位相

DR8. $\(W\)$ の test を消すことと、一般 class reduction の区別

DR9. 別の arbitrary-input construction に対する exact recurrence

出典と検証範囲

Dyadic Arithmetic Reduction：全アデール拡大、2進格子、偶奇和

DR1. 定義と二種類の \(2^n\)

DR1.1. 実側 scaling を有限側へ移す正確な形

DR2. 2進格子、Fourier dual、導手の規約

DR3. 偶奇分解と \(n=1,2,3,4\)

DR4. Poisson と半密度の反転

DR5. \(W\) の両向き不変性

DR6. 指定 Gaussian test の独立確認

DR7. 無限 dyadic 展開が収束する位相・しない位相

DR8. \(W\) の test を消すことと、一般 class reduction の区別

DR9. 別の arbitrary-input construction に対する exact recurrence

出典と検証範囲

DR1. 定義と二種類の $\(2^n\)$

DR3. 偶奇分解と $\(n=1,2,3,4\)$

DR5. $\(W\)$ の両向き不変性

DR8. $\(W\)$ の test を消すことと、一般 class reduction の区別