STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

Dated auxiliary research snapshot, 2026-09-30. Priority 2 only: fixed finite heads, not full-ground capture or RH. Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted · Original text: CC BY 4.0. Source: research/full_ground_capture/priority2/notes/algebraic_rank.md; original SHA-256: a7b88f62d53d9c7a8ed92c97cd74a0bc750fdc2167f8ae3b64f1e2192c0bc95a. Publication formatting does not constitute a new mathematical audit.

Priority 2 — 有限偶 Fourier head の exact rank

2026-09-30。STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN. 新規性は主張しない。

本ノートは通常の有限次元線形代数と $$L^2$$ cyclicity だけを扱う。 Weil 形式の正値性、growing- $$m$$ 、全空間の ground capture は結論に含めない。旧研究ファイル・state・proof graph・公開用コピーは変更しない。

AR1. 核、窓、shifted phase、偶 head

既存の CY1 および BR1/BR5 と同じ規約を使う：

\widehat f(x)=\int_{\mathbb R}f(t)e^{-ixt}\,dt, \qquad \Xi(x)=\xi(1/2+ix),\qquad \widehat k(x)=\Xi(x)/4, \qquad f_j=k^{(2j)}. \tag{AR1}

実際の $$k$$ は実偶 Schwartz 関数で、 $\widehat f_j(x)=(-x^2)^j\Xi(x)/4$ 。

$$a>0$$ 、整数 $N\ge0$ 、 $\omega_n=\pi n/a$ とし、以下の基底関数 $$V_n,b_n$$ はすべて $$[-a,a]$$ の外で零とする。実験に使う shifted basis は

V_n(t)=\frac{(-1)^n e^{i\omega_nt}}{\sqrt{2a}},\quad -N\le n\le N, \qquad E_N=\operatorname{span}_{\mathbb C}\{V_{-N},\ldots,V_N\}. \tag{AR2}

$$P_N$$ はこの空間への直交射影、 $R_af=\mathbf1_{[-a,a]}f$ 。 $$(-1)^n$$ を除いた unshifted basis も同じ射影を与えるが、列の符号は異なる。偶部分空間 $E_N^+=E_N\cap L^2_{\rm even}(\mathbb R)$ の正規直交基底は

b_0(t)=\frac1{\sqrt{2a}},\qquad b_n(t)=\frac{V_n(t)+V_{-n}(t)}{\sqrt2} =\frac{(-1)^n}{\sqrt a}\cos(\omega_nt),\quad 1\le n\le N. \tag{AR3}

したがって $\dim_{\mathbb C}E_N^+=N+1$ 。実係数 cosine sector の実次元も $$N+1$$ 。全 head の $$2N+1$$ を偶 head の次元と取り違えない。内積は $\langle f,g\rangle=\int f\overline g$ とする。

AR2. 全線 Fourier 標本による ideal rank

q_n=-\omega_n^2,\qquad \eta_0=1/\sqrt2,\quad \eta_n=(-1)^n\ (n\ge1),

A_{nj}(a)=a^{-1/2}\eta_n\,\frac{\Xi(\omega_n)}4\,q_n^j, \qquad 0\le n\le N,\quad 0\le j\le m, \tag{AR4}

と定める。 $$q_0^0=1$$ 。これは全線の Fourier 積分を各行に入れた ideal 行列 であり、 sharp support 後の行列ではない。

Z_{a,N}=\{n\in\{0,\ldots,N\}:\Xi(\pi n/a)=0\},\quad r_{a,N}=N+1-|Z_{a,N}|.

補題 AR2.1. 任意の $$a,N,m$$ で

\operatorname{rank}A_m(a)=\min\{m+1,r_{a,N}\}. \tag{AR5}

証明：零行を除けば、非零対角行列と相異なる節点 $$q_n$$ の Vandermonde 行列の積になる。任意の $s\le\min(m+1,r_{a,N})$ 個の行と最初の $$s$$ 列の小行列式は非零である。

零点・重複度についての範囲を固定する。

$\Xi(0)=4\int k>0$ なので $$n=0$$ は零行にならない。実際、 $t\ge0$ の theta 表示で $$P_0(y)=y^2-3y/2>0$$ 、 $y\ge\pi$ であり、偶性から $$k>0$$ 。
一つの標本 $\omega_n$ が Xi の多重零点でも、消える行は一行だけである。ここで必要なのは hit した非負 grid index の個数 であって零点重複度の和ではない。
$$+n,-n$$ の重複は偶基底 (AR3) により既に除いた。
微分列 $k^{(2j)}$ は Fourier 側で $(-x^2)^j\Xi(x)$ を与える。 $\Xi^{(r)}(\omega_n)$ を観測する列ではないため、confluent Vandermonde への置換は不要であり、それによって零行が回復することもない。
実 grid は実周波数の零点だけを検出する。RH や零点の単純性は仮定していない。

特に $m\ge N$ の ideal full rank は、全標本の非消失と同値である。実零点 $\gamma>0$ に対し $a=\pi n/\gamma$ と選べば grid hit が起こるので、任意の窓について対角因子が非零だとは置けない。

AR3. Actual 列と exact endpoint recurrence

実際の列は

v_j=P_NR_af_j,\qquad B_{nj}(a)=\langle R_af_j,b_n\rangle =a^{-1/2}\eta_n\int_{-a}^a f_j(t)\cos(\omega_nt)\,dt. \tag{AR6}

$\cos(\omega_0t)=1$ と読む。全 $$a,n,j$$ で

B_{nj}=A_{nj}-a^{-1/2}\eta_n \int_{|t|>a}f_j(t)\cos(\omega_nt)\,dt. \tag{AR7}

これは exact identity で、tail が小さいという仮定はない。したがって ideal の零行から actual の零行は従わない。

d_0=\sqrt{2/a},\qquad d_n=2/\sqrt a\quad(n\ge1)

とおくと、 $j\ge1$ に対して

\boxed{B_{nj}=q_nB_{n,j-1}+d_n k^{(2j-1)}(a).} \tag{AR8}

証明： $b_n'(\pm a)=0$ 、 $$b_n''=q_nb_n$$ 、偶関数 $$f$$ に対し $$f'(-a)=-f'(a)$$ である。二回部分積分すると

\int_{-a}^a f''b_n =q_n\int_{-a}^a fb_n+2f'(a)b_n(a).

ここで $b_0(a)=1/\sqrt{2a}$ 、 $b_n(a)=1/\sqrt a$ であり (AR8) を得る。従って

B_{nj}=q_n^jB_{n0} +d_n\sum_{r=1}^j q_n^{j-r}k^{(2r-1)}(a). \tag{AR9}

特に $B_{0j}=\sqrt{2/a}\,k^{(2j-1)}(a)$ for $j\ge1$ 。この endpoint 項は shifted phase の相殺により $n\ge1$ で同符号の係数になる。

微分の順序： 本列は $R_a(D^{2j}k)$ を射影したものであり、 $D^{2j}(R_ak)$ ではない。後者には一般に端点の delta 分布とその微分が入り、ここでの $$L^2$$ 列として扱えない。

AR4. Cyclicity から、各固定 head の有限 prefix が張る

既に証明された CY1 は

\overline{\operatorname{span}\{f_j:j\ge0\}}^{L^2} =L^2_{\rm even}(\mathbb R). \tag{AR10}

定理 AR4.1. 任意の固定 $a>0,N\ge0$ について有限整数 $m(a,N)\ge N$ が存在し、

\operatorname{span}\{P_NR_af_j:0\le j\le m(a,N)\}=E_N^+. \tag{AR11}

証明： $$T=P_NR_a$$ は even $$L^2$$ から $$E_N^+$$ への有界全射である。もし $v\in E_N^+$ が全 $$Tf_j$$ に直交すれば、 $$Tv=v$$ と射影の自己共役性から $\langle f_j,v\rangle=0$ for every $$j$$ 。CY1 より $$v=0$$ 。有限次元なので、全列の代数的 span は既に $$E_N^+$$ に等しい。その中の有限個の基底列を取り、最大 index を $$m$$ とすれば initial prefix も張る。

これは exact spanning であり、近似だけの結論ではない。一方、この証明だけでは

m(a,N)=N,\quad \text{explicit な次数上界},\quad \text{最小特異値の数値下界や conditioning}

は得られない。 $$N=0$$ だけは $B_{00}>0$ により $$m=0$$ が全窓で明示的に十分。

cyclicity 単独から一律の初期次数を推定できないことは、actual $$k$$ と異なる模型で確認できる。固定 $$a>0$$ と任意 $$M$$ に対し、 $g(t)=e^{-t^2}p(t^2),\ \deg p\le M+1$ の $$M+2$$ 次元空間に $\int_{-a}^a g^{(2j)}=0$ , $0\le j\le M$ , という $$M+1$$ 個の線形条件を課せば非零解がある。その Fourier 変換は非零多項式と Gaussian の積なので、指数 moment による polynomial density と同じ議論で even derivatives は cyclic。しかし $$N=0$$ の最初の $$M+1$$ 列は零である。これは actual 正値 theta 核の反例ではなく、cyclicity だけを使う推論の限界である。

AR5. 固定 $$N$$ 、大窓での最初の $$N+1$$ 列

ここだけの極限では $$N$$ を固定し、 $$m=N$$ 、 $a\to\infty$ とする。次数を窓と同時に増やす主張ではない。

補題 AR5.1（ideal の最小特異値）。 raw derivative coefficient の Euclidean norm を使うと

\sigma_{\min}(A_N(a))=\Theta_N(a^{-2N-1/2}). \tag{AR12}

証明：

A_N(a)=a^{-1/2}D(a)W\,\operatorname{diag}(1,a^{-2},\ldots,a^{-2N}),

D(a)_{nn}=\eta_n\Xi(\pi n/a)/4, \qquad W_{nj}=(-\pi^2n^2)^j. \tag{AR13}

$$W$$ は固定の可逆 Vandermonde 行列。 $D(a)\to D_\infty=\operatorname{diag}(\eta_n\Xi(0)/4)$ は可逆なので、十分大きい $a\ge1$ で $\sigma_{\min}(D(a)W)\ge c_N>0$ 。行列積の最小特異値不等式から (AR12) の下界を得る。上界は単位列ベクトル $$e_N$$ を入れて $\sigma_{\min}(A_N)\le\|A_Ne_N\|\le C_Na^{-2N-1/2}$ 。これは列を rescale した後の条件数ではなく、(AR6) と同じ raw 座標の評価である。

補題 AR5.2（actual tail）。 $Y=\pi e^{2a}$ とすると

\|B_N(a)-A_N(a)\|_{\rm op} \le C_Na^{-1/2}Y^{2N+5/4}e^{-Y} \qquad(a\ge1). \tag{AR14}

証明を theta 表示から与える。

k^{(r)}(t)=e^{t/2}\sum_{\nu\ge1} P_r(\pi\nu^2e^{2t})e^{-\pi\nu^2e^{2t}},\quad t\in\mathbb R,

P_0(y)=y^2-\tfrac32y,\qquad P_{r+1}(y)=2yP_r'(y)+(1/2-2y)P_r(y). \tag{AR15}

これは $k=\frac18(D_t^2-\frac14) [e^{t/2}\sum_{\nu\in\mathbb Z}e^{-\pi\nu^2e^{2t}}]$ を項別微分した級数である。全実 $$t$$ の compact 上で収束し、以下の tail 評価では $t\ge0$ の側を用いる。

$\deg P_r=r+2$ なので、固定 $$j$$ と $y\ge\pi$ で

|P_{2j}(\nu^2y)|\le C_j\nu^{4j+4}y^{2j+2},\qquad \sum_{\nu\ge1}\nu^{4j+4}e^{-(\nu^2-1)y}\le C_j.

従って $|f_j(t)|\le C_j y^{2j+9/4}e^{-y}$ 、 $y=\pi e^{2t}$ 。偶性と $$dt=dy/(2y)$$ から

\int_{|t|>a}|f_j(t)|\,dt \le C_j\int_Y^\infty y^{2j+5/4}e^{-y}\,dy \le C_j'Y^{2j+5/4}e^{-Y}. \tag{AR16}

最後の不等式は固定 exponent の incomplete-Gamma tail bound であり、 $$y=Y+v$$ として $(1+v/Y)^d\le(1+v)^d$ , $Y\ge1$ , を積分すれば直接従う。 (AR7)、 $|\cos|\le1$ 、有限個の行列成分から (AR14) を得る。

定理 AR5.3（eventual minimal prefix）。 各固定 $$N$$ について $a_N<\infty$ が存在し、すべての $a\ge a_N$ で

\operatorname{rank}B_N(a)=N+1, \qquad \sigma_{\min}(B_N(a))=\Theta_N(a^{-2N-1/2}). \tag{AR17}

実際、(AR14) と (AR12) の比は $O_N(a^{2N}Y^{2N+5/4}e^{-Y})\to0$ 。 $|\sigma_{\min}(B)-\sigma_{\min}(A)|\le\|B-A\|$ により結論が従う。ここでは Xi の grid は原点へ近づき、 $\Xi(0)>0$ によりやがて hit がなくなる。一般の窓について hit がないと仮定したわけではない。

さらに determinant の先頭定数も固定できる：

\det B_N(a)\sim C_N^*a^{-(N+1)(N+1/2)},

C_N^*=\frac1{\sqrt2}\left(\frac{\Xi(0)}4\right)^{N+1} \pi^{N(N+1)}\prod_{0\le r<s\le N}(s^2-r^2)>0. \tag{AR18}

empty product は1。証明は (AR13) の determinant と $\|A_N^{-1}(B_N-A_N)\|\to0$ による。 shifted row phase の符号と負の Vandermonde nodes の符号が相殺する。この式の定数を、 $$N$$ に一様な定数として使用してはならない。

AR6. Exceptional windows は離散的（実際には有限）

補題 AR6.1. $F_N(a)=a^{-(N+1)/2}\det B_N(a)$ は $$a>0$$ で real analytic。さらに $$a=0$$ の近傍にも real analytic に延長する。

証明：変数を $$t=ax$$ に替えると

B_{nj}(a)=\sqrt a\,C_{nj}(a),\qquad C_{nj}(a)=\eta_n\int_{-1}^1 f_j(ax)\cos(\pi nx)\,dx. \tag{AR19}

従って $F_N=\det C$ 。theta 表示 (AR15) は複素 $$t$$ について $|\Im t|<\pi/4$ の compact 上絶対一様収束する。実際、そこで $\Re(e^{2t})>0$ は compact ごとに正の下界を持ち、各有限階微分の多項式増大を $e^{-c\nu^2}$ が抑える。よって $$f_j$$ はこの strip で holomorphic。 $|\Im a|<\pi/4$ 、 $x\in[-1,1]$ なら $$ax$$ も同じ strip 内なので、 (AR19) の積分は複素 $$a$$ の compact 上 holomorphic である。これには $$a=0$$ も含まれる。

系 AR6.2. 各固定 $$N$$ について

\mathcal E_N=\{a>0:\det B_N(a)=0\} \tag{AR20}

は離散集合であり、さらに 有限集合 である（空かもしれない）。

証明：(AR17) より $$F_N$$ は恒零でなく、十分大きい正の $$a$$ で零点を持たない。 real-analytic 非恒零関数の零点は内部で孤立する。0 の近傍にも analytic に延長しているため、正の零点が0に集積することもない。残る compact 区間で無限個の零点があれば集積点を持ち、恒零性を強いる。ゆえに有限。

ここで exceptional なのは 最初の $$N+1$$ actual 列 の rank である。 $\mathcal E_N$ を ideal grid-hit 集合と同一視していない。またこの証明は $\mathcal E_N$ の具体的位置、個数、空集合性を与えない。そこでの eventual finite-prefix spanning 自体は AR4.1 が保証する。

AR7. 証明した量化と停止点

本ノートが与えるものは次の区別である。

任意の固定 $$(a,N)$$ ：有限の initial prefix が actual $$E_N^+$$ を exact に張る。
任意の固定 $$N$$ ：十分大きい $$a$$ では最短可能な $$m=N$$ で張る。
同じ固定 $$N$$ ： $$m=N$$ が失敗し得る正の窓幅は有限個。ただしそのリストは未同定。
ideal rank は全 $$a,N,m$$ について (AR5) で明示できるが、actual rank とは異なる。

これらは通常の $$L^2$$ head の像についての定理である。 Weil energy、全窓 ground、係数の一様な小ささ、増大する $$N,m$$ に対する定量制御へは拡張しない。有限次元の exact spanning が得られても、その lift の conditioning は別に評価する必要がある。

根拠は既存 CY1、actual theta 表示と Fourier 規約、および上で示した有限次元の直接証明。新しい外部純粋性・正値性・RH 相当仮説は入力していない。

独立検算：DESTROYER は (AR8) の端点規格化、(AR12)–(AR17) の固定 $$N$$ 評価、および (AR19)–(AR20) の解析性と有限例外の推論を確認した。これは新しい外部論文全体の再監査や数値 rank 認証を意味しない。