STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

Dated auxiliary research snapshot, 2026-09-30. Priority 2 only: fixed finite heads, not full-ground capture or RH. Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted · Original text: CC BY 4.0. Source: research/full_ground_capture/priority2/notes/conditioning_literature.md; original SHA-256: 8ee50f66fa18cc433b6508507afd975c36f969148e5ada4b9cfd517ddcaf0a51. Publication formatting does not constitute a new mathematical audit.

Priority 2 — 有限 head の補間・条件数と正規化：原典監査

STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

2026-09-30。対象は有限次数・有限 head の線形代数と、その文献上の根拠だけである。既存ファイルは変更しない。新規性、次数に一様な評価、growing-m、全 ground の捕捉、 RH を主張しない。actual sharp-support tail の厳密評価と数値認証は別担当であり、本ノートの文献確認だけで完了したとは扱わない。

CL1. 規約と今回必要な行列

cyclicity の規約を使い、

f_j=k^{(2j)},\qquad \widehat k(x)=\Xi(x)/4, \qquad \widehat f_j(x)=(-1)^jx^{2j}\Xi(x)/4.

$h=\pi/a$ 、 $$t_n=h^2n^2$$ 、 $w_n=\Xi(hn)/4$ と置く。まず $0\le n,j\le m$ の平方 ideal head を

V_{nj}=t_n^j,\quad D=\operatorname{diag}(w_n),\quad S=\operatorname{diag}((-1)^j),\quad A=DVS \tag{CL1}

とする。これは full Fourier の標本値行列である。正規直交 cosine 係数として使う際の $$a$$ 依存因子と原点行の因子は、実際の規約に従って別途左側の対角行列へ入れる。その因子を落としたまま物理的な特異値下界と呼ばない。

有限 $$a>0$$ では $t_0,\ldots,t_m$ は相異なる。 $$A$$ の可逆性には各 $w_n\ne0$ も必要である。「Xi は非零 entire」から、指定された全格子点で非零とは結論できない。有限の値は別途解析下界または区間演算で確認する。固定 $$m$$ 、十分大きい $$a$$ なら、 $\Xi(hn)\to\Xi(0)\ne0$ により非零性は従うが、この議論は具体的な有限 cutoff の認証値を与えない。

CL2. Gautschi の原典と cardinal 係数

Walter Gautschi, Norm Estimates for Inverses of Vandermonde Matrices, Numerische Mathematik 23 (1975), 337–347。著者の公開 PDF。原典の §3、p.339、(3.3) は Lagrange 多項式による逆行列、 §4、p.340、(4.1) は逆行列ノルム上界と同一半直線上の点での等号を与える。該当本文・式を確認した。論文全体の独立再証明や計算機検証ではない。

重要な転置の違い：原著の Vandermonde は nodes が列である。今回の (CL1) は nodes が行なので、原著の $\infty$ -norm の結論は今回の $$1$$ -norm へ読み替える。

ここから先の今回の行列への適用は、以下の直接計算でも確認できる。

L_n(t)=\prod_{r\ne n}\frac{t-t_r}{t_n-t_r} =\sum_{j=0}^m b_{jn}t^j, \qquad V^{-1}=(b_{jn}). \tag{CL2}

全 $t_r\ge0$ なので分子の係数は次数ごとに符号が交代し、絶対値和は

B_n:=\sum_{j=0}^m|b_{jn}| =\prod_{r\ne n}\frac{1+t_r}{|t_n-t_r|}. \tag{CL3}

零ノードを含む場合も、この多項式係数の直接計算で等号が保たれる。したがって、全 $w_n\ne0$ の下で

\|A^{-1}\|_1=\max_n\frac{B_n}{|w_n|},\qquad \boxed{\sigma_{\min}(A)\ge \left[\sum_{n=0}^m\left(\frac{B_n}{|w_n|}\right)^2\right]^{-1/2}}. \tag{CL4}

第二式は各逆行列列の $\ell^2$ norm を $\ell^1$ norm で抑え、 $\|A^{-1}\|_2\le\|A^{-1}\|_F$ とする、今回の初等的帰結である。これは通常の Euclidean coefficient norm に関する下界である。

今回の平方ノードでは分母を閉形式で計算できる：

\prod_{r\ne n}|t_n-t_r| =h^{2m} \begin{cases} (m!)^2,&n=0,\\[2pt] (m-n)!(m+n)!/2,&1\le n\le m. \end{cases} \tag{CL5}

$$m=0$$ は空積を1とする。 $n\ge1$ の式は $n^2\prod_{r\ne n,\,r\ge1}|n-r|(n+r)$ を分解して得る。従って (CL3)–(CL5) は有限積と有限個の Xi 下界だけで評価できる。

固定 $$m$$ では $V=V_0\operatorname{diag}(1,h^2,\ldots,h^{2m})$ 、 $(V_0)_{nj}=n^{2j}$ であり、 $$D$$ と $D^{-1}$ は十分大きい $$a$$ で有界。この分解による下界と最終列による上界から

\sigma_{\min}(A)=\Theta_m(a^{-2m})\quad(a\to\infty) \tag{CL6}

が従う。ここでも cosine 規格化因子は含まない。定数は $$m$$ に依存し、growing-m 評価ではない。

CL3. 離散直交多項式は span を変えない

Pablo D. Brubeck, Yuji Nakatsukasa, Lloyd N. Trefethen, Vandermonde with Arnoldi, SIAM Review 63(2) (2021), 405–415。著者公開 PDF、 DOI。 §4、p.409、(4.2)–(4.5) は同じ多項式を異なる係数で表す $$A=QR$$ 、 $$d=Rc$$ と、離散直交多項式との関係を明記する。原著の列 norm は便宜上 $\sqrt{\text{標本数}}$ であり、unit norm と混同しない。これは実装と基底選択の根拠であり、任意の重み・格子に対する機械精度の保証を本ノートが新たに採用するものではない。

標準定義の確認には DLMF 18.2.3 （有限個の相異なる実ノードと正の重み）、 18.2.5（離散 norm）を用いた。

今回、非零重みのノード上で

\mu_{\rm head}=\sum_n|w_n|^2\delta_{t_n}

に関する次数 $0,\ldots,m$ の正規直交多項式を $$p_j$$ とすると、 $U_{nj}=w_np_j(t_n)$ は $$U^*U=I$$ を満たす。各 $$p_j$$ の係数変換は可逆で、対応する関数は依然 $F_m=\operatorname{span}\{f_0,\ldots,f_m\}$ に属する。正規化は物理的な有限 span を変更しない。

しかし、どの norm を正規化したかは別の問題である。

G=A^*A,\quad U=AG^{-1/2},\quad U^*U=I \tag{CL7}

は head の pullback metric に関する恒等式である。 full physical $$L^2$$ の Gram

C_{ij}=\langle f_i,f_j\rangle_{L^2(\mathbb R)} \tag{CL8}

とは一般に異なる。物理 norm を係数の Euclidean norm に揃える行列は $AC^{-1/2}$ であり、その特異値が1になるとは限らない。 $$C$$ の正定値性は actual 関数族の線形独立性による。 support-restricted 関数を domain に選ぶ場合は、対応する $$C_a$$ を使う。この選択を明示せず $$G$$ と $$C$$ を置き換えない。

例えば平方行列の場合、 $$z_n$$ を $A^{-1}$ の第 $$n$$ 列とすれば

\sigma_{\min}(AC^{-1/2}) \ge\left(\sum_n z_n^*Cz_n\right)^{-1/2}. \tag{CL9}

これは $(AC^{-1/2})^{-1}=C^{1/2}A^{-1}$ の Frobenius norm から得る。各項は cardinal 応答関数の physical $$L^2$$ norm の二乗である。単項式係数が大きいことと物理応答が大きいことを同一視せず、必要ならこの量を使う。

CL4. Christoffel 表示が与えるもの・与えないもの

DLMF 18.2.12–18.2.13 で Christoffel–Darboux kernel の規約を確認した。今回の有限離散空間では

K_m(t,t)=\sum_{j=0}^m|p_j(t)|^2.

$$UU^*$$ が直交射影なので、直接

0\le |w_n|^2K_m(t_n,t_n)\le1,\qquad \sum_n|w_n|^2K_m(t_n,t_n)=m+1. \tag{CL10}

平方補間なら $$UU^*=I$$ であり、各積は1、従って $K_m(t_n,t_n)=|w_n|^{-2}$ 。小さい Xi 値の逆数コストは消えず、別の表示に移っているだけである。

多項式の右側基底変換と、標本行を Christoffel weight で掛け直す操作を区別する。後者は一般に観測 norm または最小二乗の metric を変更する。元の物理的 head norm と同一という主張には、逆変換と norm 比較が別途必要である。

CL5. Sharp support 誤差を移すときの十分条件

actual head を $\widetilde A=A+E$ とする。ここで $$E$$ は 同じ列・同じ head 規格化で求めた切断誤差である。三角不等式だけで

\sigma_{\min}(A+E)\ge\sigma_{\min}(A)-\|E\|_2. \tag{CL11}

ideal head Gram を用いる場合は

\varepsilon=\|EG^{-1/2}\|_2<1 \quad\Longrightarrow\quad 1-\varepsilon\le\sigma_j((A+E)G^{-1/2})\le1+\varepsilon. \tag{CL12}

full-column-rank の範囲で、任意の unit vector に (CL7) と三角不等式を適用すればよい。 raw tail の絶対値だけではなく、 $G^{-1/2}$ による増幅まで評価する必要がある。 actual 行列自身の Gram を正定値と仮定して正規化し、その結果を rank の証明に使うのは循環である。

物理 norm なら評価対象は

\sigma_{\min}((A+E)C^{-1/2}) \ge \sigma_{\min}(AC^{-1/2})-\|EC^{-1/2}\|_2. \tag{CL13}

例えば $\|EC^{-1/2}\|_2\le\|E\|_2/\sqrt{\lambda_{\min}(C)}$ という粗い上界は使えるが、その Gram 下界も明示する。本ノートは $$E$$ の actual 数値、tail の明示定数、認証成功を供給していない。

長方形行列についても次の区別が必要：

行数が列数以上なら、非零重みを持つ相異なる $$m+1$$ 行の部分行列で (CL4) を証明すると、全行列の $$A^*A$$ はその部分の Gram 以上なので同じ最小特異値下界が使える。
行数が列数未満なら $$A^*A$$ は特異。full-row-rank を別途示した場合の $(AA^*)^{-1/2}A$ は coisometry だが、元の物理 norm の安定性を自動的に証明するものではない。

CL6. 確率的最小二乗定理は固定格子の証明にならない

Albert Cohen, Mark A. Davenport, Dany Leviatan, On the stability and accuracy of least squares approximations。 arXiv:1111.4422 PDF、 Theorem 1、原稿 p.3、(1.2) を確認した（今回取得したリンクは版未固定）。指定確率測度に関する独立同分布標本 $x_1,\ldots,x_n$ 、その測度で正規直交な $$d$$ 次元基底を前提に

\Pr\{\|G-I\|_2>\delta\} \le2d\exp[-c_\delta n/K(d)],\qquad c_\delta=(1+\delta)\log(1+\delta)-\delta, \quad0<\delta<1, \tag{CL14}

を与える。 $$K(d)$$ は正規直交基底の二乗和の上限である。

今回の $(\pi n/a)^2$ は決定論的な固定格子で、Xi 重みも指定されている。従って (CL14) をそのまま actual head の認証に適用しない。別の sampling measure を設計して良条件にしても、そのまま元の物理的問題を証明したことにはならない。これは適用条件の不一致であり、確率定理の否定ではない。

CL7. Confluent Vandermonde は今回不要

現在の head は $n\ge0$ の偶 Fourier/cosine 成分なので、 $$+n$$ と $$-n$$ を別々に二重登録しない。有限 $$a>0$$ では $$t_n=h^2n^2$$ が相異なり、通常の Lagrange 補間で十分である。

$a\to\infty$ で物理的なノードが0へ集まることは、各有限段階に重複ノードがあることを意味しない。 $t\mapsto t/h^2$ という正確な変数変更でノードは $$n^2$$ に固定され、代わりに列係数の scaling が現れる。その scaling を norm 評価に残せばよい。

Confluent/Hermite 補間が必要なのは、同じノードで関数値に加えて導関数値をデータとして指定する別の問題である。Xi 標本値が0である行を導関数観測で置換する操作も、今回の readout を変更するため自動的な修復ではない。

CL8. 採用範囲

採用できるのは (i) 原典で裏付けられた cardinal 逆行列表示、 (ii) 今回の平方ノードへの有限積・特異値下界、 (iii) 同じ有限 span 内での直交基底への変更、 (iv) ideal/actual、head/physical の norm を固定した摂動十分条件である。

未完の個別義務は、使用する有限 Xi 標本の下界、actual tail、選択した Gram と規格化を含めた定数・誤差の認証である。これらを本ノートの文献確認によって検証済みにはしない。固定有限次数を超える一様性、全 ground、ES、G*、RH は扱わない。

文献確認は上記の関連 statement と適用条件に限る。内部 AI-agent による確認であり、外部査読、各原論文の完全独立検証、新規性の認定を意味しない。