STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN
Dated auxiliary research snapshot, 2026-09-30. Priority 2 only: fixed finite heads, not full-ground capture or RH. Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted · Original text: CC BY 4.0. Source:
research/full_ground_capture/priority2/notes/diagnostics.md; original SHA-256:889566b20bc655d60037e86b6d8f7bcb61259ed6eff2e0e4de938d75d330ec1e. Publication formatting does not constitute a new mathematical audit.
Priority 2 — 数値診断と区間認証を分けた結果
2026-09-30。RH OPEN。数値は growth fit や RH の証拠に使わない。
方法
finite_head_probe.py を 85桁/144点と115桁/208点の Gauss–Legendre 求積で実行した。 theta の最初16項、global Gram の積分区間は \([-4,4]\)。 これらの打切りを含む physical Gram の値は 診断値 であり区間認証ではない。 raw 行列には求積と別の incomplete-Gamma tail + exact endpoint recurrence を用い、 二経路を比較した。
基底 \(b_n\)、\(\widehat k=\Xi/4\)、\(m=N\) はノートの規約通り。 \(G=LL^*\) の Cholesky を用い、physical 特異値は \(B(L^*)^{-1}\) で計算した。 normalization に head Gram \(B^*B\) を使って特異値を自動的に1へする操作はしていない。
| \(a\) | \(N=m\) | raw \(\sigma_{\min}(B)\) | raw 条件数 | global Gram 後 \(\sigma_{\min}\) | \(\|E\|_2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.5 | 2 | 0.0559056 | 2298.30 | 0.384547 | 22.3088 |
| 1 | 2 | 0.0871561 | 871.439 | 0.295466 | 0.0132184 |
| 1 | 4 | 0.0853302 | \(1.326\cdot10^7\) | 0.297086 | 13213.8 |
| 1.5 | 4 | 0.0679625 | \(6.544\cdot10^6\) | 0.0123699 | \(3.008\cdot10^{-9}\) |
| 2 | 4 | 0.0523062 | \(1.606\cdot10^6\) | 0.000828214 | \(3.428\cdot10^{-52}\) |
| 2 | 6 | 0.0512991 | \(9.126\cdot10^{10}\) | 0.0000809842 | \(4.367\cdot10^{-42}\) |
各ケースで raw/physical の全特異値は正として解像された。 最初の \(N+1\) 列が数値的に full rank なので、観測した最小 \(m\) は \(N\)。 \(m<N\) なら次元だけで全 head を張れない。浮動小数点の rank 検査を exact rank の証明とはしない。
原点と grid の Xi 値、全 physical 特異値、principal angle、tail、求積照合誤差は 115桁結果 に保存した。 85桁からの raw 数値比較は相対 \(10^{-30}\) 以下（35桁出力の比較）、 physical 最小特異値は相対 \(10^{-19}\) 以下で一致。 115桁での係数行列二経路の相対差は \(10^{-95}\) 以下。 比較スクリプト と 検算結果 を併記する。 この一致は誤差包含の証明ではない。
良い座標と良い物理写像は異なる
\((a,N)=(1,4)\) では raw 条件数が約1300万でも、physical 最小特異値は約0.297。 座標の悪条件が相当部分を占める。 一方 \((2,6)\) では physical 最小特異値自体も約 \(8.10\cdot10^{-5}\)。 座標を変えるだけでこの射影の損失は消えない。
同じ \((1,4)\) で raw tail が約13214と大きいのに、 \(\|EA^{-1}\|_2\approx0.123825<1\) となった。 方向を無視した \(\|E\|/\sigma_{\min}(A)\) は非常に粗くなり得る。 この sharper 判定値は数値診断であり、今回の区間証明には用いない。
射影後 span が head 全体なら、その span と head の角度は自動的に0。 ここで有用なのは 射影前 の derivative span と head の角度であり、 JSONの largest_global_subspace_angle は physical 最小特異値の arccos を記録する。
Grid hit の診断
最初の臨界線零点の数値 ordinate \(\gamma_1\) を使い、 \(a\approx\pi/\gamma_1=0.2222606115\)、\(N=m=1\) も検査した。 ideal の第1行は exact hit の定義では零だが、actual は端点項を持つ。 診断値は \(\sigma_{\min}(B)\approx0.0343614\)、physical 値約0.253438。 有限精度の \(\gamma_1\) は exact grid equality の認証ではなく、actual rank の区間証明でもない。 この例は ideal の row zero と actual の row zero が別物であることを確認する用途だけ。
証明として使う別計算
certify_tail_criterion.py は求積・SVDを使わず、 TC7 の解析的不等式全体を Arb ball で囲う。 \(a\in[1.499999,1.500001],N=m=4\) と \(a\in[1.999999,2.000001],N=m=6\) の full rank を認証した。 詳しい数値は tail_certificates.json。 256/384 bitの両方で strict inequality を確認している。
依存：Python、mpmath 1.4.1、python-flint 0.9.0。 再現コマンド（この experiments ディレクトリで）：
python finite_head_probe.py --dps 85 --quad 144 --output probe_85.json
python finite_head_probe.py --dps 115 --quad 208 --output probe_115.json
python validate_diagnostics.py
python certify_tail_criterion.py
全 Weil 行列や ground state は計算していない。fixed head の spanning/conditioning の診断のみ。