STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

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Global remainder：固定 Gaussian の全算術分解

2026-09-30。Track A の限定導出。旧ファイルを変更しない。新規性を主張せず、RH は OPEN。零点の単純性・RH・逆微分係数の評価を無条件な入力にしない。

G1. 定義、収束、bilateral Laplace の正則域

\phi(v)=e^{-v^2},\qquad R(u)=\sum_{n\ge1}\mu(n)\phi(u-\log n),\qquad A(u)=e^{-u/2}R(u),\qquad K(s)=\sqrt\pi e^{s^2/4}. \tag{1}

$$u$$ は実数、後述の contour では複素変数を $$s$$ とする。任意の $$c>1$$ に対し

e^{-(u-\log n)^2}\le e^{cu+c^2/4}n^{-c}. \tag{2}

従って固定 $$u$$ の和は絶対収束し、 $$u$$ の compact sets 上で各階微分も一様収束する。複素 $$u$$ の compact sets でも同様なので $$R,A$$ は entire。これは正の実軸での成長が小さいという主張ではない。

左端では、 $u\le0$ に対して

R(u)=e^{-u^2}\left(1+O(2^{2u})\right),\qquad |A^{(j)}(u)|\le C_j(1+|u|)^j e^{-u^2-u/2}. \tag{3}

最初の誤差は $n\ge2$ で $n^{2u}\le2^{2u}$ と $\sum_{n\ge2}e^{-(\log n)^2}<\infty$ を使う。微分版も $\log n$ の有限冪を同じ収束和へ吸収すればよい。

bilateral Laplace の規約を $\mathcal Lf(s)=\int_{\mathbb R}f(u)e^{-su}du$ と固定する。 $\sigma=\Re s>1$ では Tonelli に使う絶対値積分は

\sum_n|\mu(n)|\int_{\mathbb R}e^{-(u-\log n)^2-\sigma u}du =\sqrt\pi e^{\sigma^2/4}\sum_n|\mu(n)|n^{-\sigma}<\infty.

Gaussian 積分と Euler 積から

\boxed{\mathcal LR(s)=\frac{K(s)}{\zeta(s)}\quad(\Re s>1),\qquad \mathcal LA(z)=\frac{K(z+1/2)}{\zeta(z+1/2)}\quad(\Re z>1/2).} \tag{4}

右辺の meromorphic continuation と、左辺の積分が収束する領域を同一視しない。 $$K$$ は entire でどこにも零点を持たない。

G2. 固定 Gaussian inversion と有限長方形

$$c>1$$ を固定し、 $G_u(s)=K(s)e^{su}/\zeta(s)$ とする。Fourier inversion により

R(u)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}G_u(s)ds. \tag{5}

この積分は絶対収束する。 $C_c=\sum|\mu(n)|n^{-c}=\zeta(c)/\zeta(2c)$ とすると $\lvert\zeta(c+it)^{-1}\rvert\le C_c$ 。右辺を $|t|\le T$ に切った remainder $E_{c,T}(u)$ は $$T>0$$ について

|E_{c,T}(u)|\le \frac{2C_c}{\sqrt\pi T} e^{cu+c^2/4-T^2/4}. \tag{6}

$$a<c$$ 、 $$T>0$$ を、長方形 $a\le\Re s\le c,|\Im s|\le T$ の境界に $\zeta$ の零点がないよう選ぶ。 $$s=1$$ は逆数の removable zero なので許される。

\begin{split} V_{a,T}(u)&=\frac1{2\pi i}\int_{a-iT}^{a+iT}G_u(s)ds,\\ H_{a,c,T}(u)&=\frac1{2\pi i} \left(\int_{a+iT}^{c+iT}G_u(s)ds- \int_{a-iT}^{c-iT}G_u(s)ds\right). \end{split} \tag{7}

右辺の向きを含む exact identity は

\boxed{R(u)= \sum_{\substack{\zeta(\rho)=0\ \text{distinct}\\a<\Re\rho<c,\ |\Im\rho|<T}} \operatorname{Res}_{s=\rho}G_u(s) +V_{a,T}(u)+H_{a,c,T}(u)+E_{c,T}(u).} \tag{8}

右辺の和は有限で、各零点を一回だけ数え、その位数は residue に含める。 counterclockwise contour の右辺は上向き、上辺は左向きであることから (7) の符号が出る。

例えば

B_{a,c}(T)=\max_{a\le\sigma\le c,\,\epsilon=\pm1} |1/\zeta(\sigma+i\epsilon T)|,

と置けば、有限であり

|H_{a,c,T}(u)|\le\frac{c-a}{\sqrt\pi}B_{a,c}(T) \exp\left(-T^2/4+\max_{a\le\sigma\le c}(\sigma^2/4+\sigma u)\right). \tag{9}

$$V$$ も

|V_{a,T}(u)|\le\frac{e^{a^2/4+au}}{2\sqrt\pi} \int_{-T}^T\frac{e^{-t^2/4}}{|\zeta(a+it)|}dt. \tag{10}

これらは contour 上で測定・評価すべき量を明示した式で、small remainder を仮定していない。

G3. Multiplicity、trivial zeros、quartets

$\rho$ が位数 $m\ge1$ の零点なら $\zeta(s)=(s-\rho)^m h_\rho(s)$ 、 $h_\rho(\rho)=\zeta^{(m)}(\rho)/m!\ne0$ 。 $K(s)/h_\rho(s)=\sum_{j\ge0}b_{\rho,j}(s-\rho)^j$ と展開すれば

\operatorname{Res}_{s=\rho}G_u(s) =e^{\rho u}\sum_{j=0}^{m-1}b_{\rho,j} \frac{u^{m-1-j}}{(m-1-j)!}. \tag{11}

polynomial の degree は exact に $$m-1$$ 、最高係数は

\frac{b_{\rho,0}}{(m-1)!} =\frac{mK(\rho)}{\zeta^{(m)}(\rho)}\ne0. \tag{12}

simple zero なら $K(\rho)e^{\rho u}/\zeta'(\rho)$ 。これは cumulative Mertens kernel $e^{su}/(s\zeta(s))$ ではないため、 $1/\rho$ は現れない。

$$s=1$$ ： $\zeta$ の pole は $1/\zeta$ の zero。residue はない。
$$s=0$$ ： $\zeta(0)=-1/2$ なので regular。 $$1/s$$ を入れていない以上、residue はない。
$$s=-2k$$ 、 $k\ge1$ ：simple trivial zeros であり、実際に residues が出る。

simple off-line quartet $\rho_+=1/2+\delta+i\gamma$ 、 $\rho_-=1/2-\delta+i\gamma$ とその conjugates を考える。 $c_\pm=K(\rho_\pm)/\zeta'(\rho_\pm)$ と書くと normalized contribution は exact に

2\Re\left[e^{i\gamma u} \{c_+e^{\delta u}+c_-e^{-\delta u}\}\right]. \tag{13}

一般には同じ amplitude の $\cosh(\delta u)$ ではない。 $\zeta(s)=\chi(s)\zeta(1-s)$ 、 $\chi(s)=\pi^{s-1/2}\Gamma((1-s)/2)/\Gamma(s/2)$ から

c_-=-\chi(\overline{\rho_+}) e^{(1-2\overline{\rho_+})/4}\overline{c_+}. \tag{14}

この Gamma/phase factor を消して $$c_-=c_+$$ と置く根拠はない。

G4. 無条件 good heights：Gaussian に十分な弱い評価

必要なのは sharp な $1/\zeta$ bound ではない。以下を古典的な既知入力として用いる：

\xi(s)=\tfrac12s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) =e^{A_0+B_0s}\prod_\rho(1-s/\rho)e^{s/\rho}, \quad N(T)=\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi e}+O(\log T). \tag{15}

product は非自明零点を重複度込みで数える genus-1 product。RH は使わない。 locators は G9 に記す。以下の弱い reciprocal bound 自体は直接導出する。

$N(j+2)-N(j-1)=O(\log j)$ なので、 $$[j,j+1]$$ 内に

T_j\in[j,j+1],\qquad |T_j-\Im\rho|\ge d/\log j \tag{16}

を全零点に対し満たす点がある。十分小さい固定 $$d>0$$ を取り、 $$[j-1,j+2]$$ 内の各 ordinate の半径 $d/\log j$ の区間を除けば、除かれる総長は1未満。外の ordinates は距離1以上。 conjugation で $$-T_j$$ も同様。

固定 $$a,c$$ に対して $s=\sigma\pm iT_j$ 、 $a\le\sigma\le c$ とする。大きい $$j$$ では $|s|\le2T_j$ 。 $|\rho|\le4T_j$ の factors について

\log|1-s/\rho|\ge-\log(4T_j\log j/d),\qquad \Re(s/\rho)\ge-|s|/|\rho|.

$N(r)=O(r\log(r+2))$ の partial summation は

\#\{|\rho|\le4T\}=O(T\log T),\quad \sum_{|\rho|\le4T}|\rho|^{-1}=O(\log^2T),\quad \sum_{|\rho|>4T}|\rho|^{-2}=O((\log T)/T)

を与える。従って finite part の log modulus は $-O(T\log^2T)$ 以上。 tail では $|s/\rho|\le1/2$ と $\log|(1-w)e^w|\ge-C|w|^2$ から $-O(T\log T)$ 以上。 $e^{A_0+B_0s}$ の損失は $$O(T)$$ に過ぎない。従って (15) と固定 strip の Stirling estimate から

\boxed{B_{a,c}(T_j)\le\exp(C_{a,c}T_j\log^2T_j).} \tag{17}

これは explicit numerical constant を求めた certificate ではなく、定数の存在を証明した無条件 bound。 $T\log^2T=o(T^2)$ なので (9) は compact $$u$$ -sets 上で0へ行く。各固定階 $$u$$ -微分を加えても成立する。個別の $\zeta'(\rho)$ やその逆数を評価していない。

G5. 固定した左線への exact global decomposition

今度は $$a<0$$ 、 $a\notin\{-2,-4,\ldots\}$ を固定する。 functional equation と $\Re(1-a-it)>1$ の絶対収束から

|1/\zeta(a+it)|\ll_a(1+|t|)^{a-1/2}. \tag{18}

compact $$t$$ -interval でも線上に零点はないので定数へ吸収できる。従って $V_a(u)=\lim_{T\to\infty}V_{a,T}(u)$ は絶対収束し

|V_a(u)|\le C_a e^{au},\qquad C_a=\frac{e^{a^2/4}}{2\sqrt\pi} \int_{\mathbb R}\frac{e^{-t^2/4}}{|\zeta(a+it)|}dt<\infty. \tag{19}

(8) に $T=T_j\to\infty$ を適用して

\boxed{R(u)=V_a(u)+ \sum_{\substack{k\ge1\\a<-2k}}\frac{K(-2k)e^{-2ku}}{\zeta'(-2k)} +\lim_{j\to\infty}\sum_{\substack{\rho\ \text{distinct nontrivial}\\|\Im\rho|<T_j}} \operatorname{Res}_{s=\rho}G_u(s).} \tag{20}

trivial-zero sum は有限。非自明零点の和は指定された good heights で grouping し、compact $$u$$ -sets 上で各固定階微分まで一様収束する。隣接する二つの good heights の contour difference に (6),(9),(18) を用いれば、block sums の絶対値の和も compact sets 上で収束する。これは個々の零点項の絶対収束、任意順序の並べ替え、 $u\to\infty$ と $j\to\infty$ の交換を認めるものではない。

特に $$a=-1$$ なら trivial sum は空で、全非自明零点の grouped sum と explicit line integral だけになる。 $e^{-u/2}V_{-1}(u)=O(e^{-3u/2})$ は $u\to+\infty$ で小さいが、残った全 zero sum の subexponential estimate は未証明。

無限左移動は不可。 functional equation を $$-2k$$ で微分すると

\zeta'(-2k)=\frac{(-1)^k(2k)!\zeta(2k+1)}{2(2\pi)^{2k}}.

従って各 trivial residue の大きさの対数は固定 $$u$$ に対し

\log\left|\frac{K(-2k)e^{-2ku}}{\zeta'(-2k)}\right| =k^2-2ku+2k\log(2\pi)-\log((2k)!)+O(1) =k^2-2k\log k+O_u(k)\longrightarrow+\infty. \tag{21}

全 trivial residues をそのまま足す級数は、項が0へ行かない。 $$K(s)$$ は real direction に増大し、左線 integral が無条件に消えるという cumulative Perron kernel の推論は移植できない。

G6. 正確な subexponential criterion：RH 同値として扱う

次の条件は新しい無条件入力ではなく RH と同値 である。

\forall\varepsilon>0\ \exists C_\varepsilon<\infty\quad |A(u)|\le C_\varepsilon e^{\varepsilon u}\quad(u\ge0). \tag{22}

(22) ⇒ RH. (3) と (22) により $\mathcal LA(z)$ は $\Re z>0$ で absolutely convergent holomorphic。 (4) から meromorphic identity theorem により $\zeta(z+1/2)\mathcal LA(z)=K(z+1/2)$ 。右辺は非零なので $\Re\rho>1/2$ の零点は存在しない。 functional equation の反射が $\Re\rho<1/2$ も排除する。

RH ⇒ (22). 既知の RH 下の Mertens bound $M(x)=O_\varepsilon(x^{1/2+\varepsilon})$ を明示的に条件付き入力とする。 Stieltjes partial summation は、境界 $$M(1^-)=0$$ 、無限遠の Gaussian decay により

R(u)=2\int_0^\infty M(e^v)(v-u)e^{-(u-v)^2}dv. \tag{23}

$\alpha=1/2+\varepsilon$ として

|R(u)|\le2C_\varepsilon e^{\alpha u} \int_{\mathbb R}|w|e^{-w^2+\alpha w}dw,

なので (22)。同じ議論は任意の固定階 $A^{(j)}$ にも適用できる。 Mertens bound の一次確認は Soundararajan, G9 の §1 Eq.(1)。

ここで (20) の各 off-line exponential を独立に読む必要はない。holomorphy と nonvanishing multiplier が cancellation を含めて処理する。逆に、有限零点和の数値振る舞いだけから (22) の全 $$u$$ 評価を得ることもできない。

G7. Bounded / polynomial / tempered / L² を分ける

pointwise polynomial bound $|A(u)|\le C(1+u)^d$ 、 $u\ge0,d\ge0$ は (22) より強く、RH を含意する。さらに critical zero $\rho=1/2+i\gamma$ において (4) の pole order は $m_\rho$ 。 $z=\epsilon+i\gamma$ とすると positive-halfline Laplace integral は $O(\epsilon^{-d-1})$ 、 negative-halfline contribution は entire だから

m_\rho\le d+1. \tag{24}

特に boundedness は全非自明零点の単純性も強制する。RH だけから boundedness や固定次数の polynomial bound を得たとは主張しない。

$$A$$ の regular distribution が tempered である場合も RH が従う。実際 smooth cutoff $\eta$ を $u\le-1$ で0、 $u\ge0$ で1と取ると、 $\eta A$ は右に support を持つ tempered distribution。 $\langle\eta A,e^{-zu}\rangle$ は exponential を負側で smooth に切って Schwartz test にすれば $\Re z>0$ で holomorphic。 $(1-\eta)A$ は (3) により entire Laplace transform を持つ。従って再び (4) の noncancelled poles が RH を強制する。この議論は tempered distribution から pointwise polynomial bound を推測していない。 RH ⇒ temperedness はここでは得ていない。

一方、unweighted $L^2(\mathbb R,du)$ は実際に不可能：

\boxed{A\notin L^2(\mathbb R).} \tag{25}

証明は RH を仮定しない。仮に $A\in L^2$ なら positive-halfline Cauchy–Schwarz から $\mathcal LA$ は $\Re z>0$ で holomorphic、従って上と同様 RH が従う。非自明零点は存在するので、その一つを $\rho=1/2+i\gamma$ と取る。(3) と Cauchy–Schwarz により

|\mathcal LA(\epsilon+i\gamma)| \le \frac{\|A\|_{L^2(0,\infty)}}{\sqrt{2\epsilon}}+O_\gamma(1). \tag{26}

しかし (4) の nonzero principal part は $c\epsilon^{-m_\rho}(1+O(\epsilon))$ 、 $m_\rho\ge1$ 。 (26) と矛盾する。従ってこれは「RH 下で L² をまだ証明できない」という弱い結論ではない。 weighted L²、平均二乗密度、Besicovitch seminorm は異なる条件なので、この否定を移さない。

G8. 既存 One-Prime Gaussian witness との関係

旧 research/dyadic_arithmetic_reduction.md §2 の Gaussian class は $g_*(t)=e^{-t^2}\in E$ と、算術商上の dual evaluations

\ell_\rho(T_2^n[g_*])=2^{n(\rho-1/2)} \sqrt\pi e^{(\rho-1/2)^2/4}\ne0

を用いた。これは全零点を検出する primal test vector と dual character の組である。今回の $$R$$ は全 Möbius measure $\sum\mu(n)\delta_{\log n}$ を Gaussian convolution した scalar observable。 normalized transform は $K(z+1/2)/\zeta(z+1/2)$ であり、旧 witness の評価 $K(\rho-1/2)$ とは異なる。旧商の norm、dual eigencharacter、今回の scalar bound を同じものとして移さない。 Gaussian が zero-dependent input でない点は共通だが、(22) の必要な算術 estimate は今回も未証明である。

G9. 一次資料の範囲と判定

K. Soundararajan, Partial sums of the Möbius function, arXiv:0705.0723v2, §1 p.1, Eq.(1), Theorem 1：RH 下の Mertens upper bound。G6 では弱い $x^{1/2+\varepsilon}$ だけを用いた。
N. Ng, The distribution of the summatory function of the Möbius function, author manuscript, 17 Jan 2004, §1 pp.1–5、Lemma 3 p.12、Lemma 4 pp.13–14：cumulative kernel に $$1/s$$ があること、明示式の RH/simple-zero 仮定を確認。強い good-height statement を無条件に輸入せず、G4 の弱い bound を直接証明した。重零点は (11) の一般 residue 公式で処理した。
E. Hasanalizade, Q. Shen, P.-J. Wong, Counting zeros of the Riemann zeta function, JNT 235 (2022), Corollary 1.2, p.221, Eq.(1.5)：無条件 $$N(T)$$ bound。G4 はその $O(\log T)$ remainder だけを使う。
N. Elkies, author lecture note The product formula for ξ(s) and ζ(s); vertical distribution of zeros, pp.1–3, Eq.(1),(4),(6)：genus-1 product と zero count の規約を確認。この講義の $\xi$ は poles 0,1 を残す完成関数で、こちらの entire $\xi$ はその $$s(s-1)/2$$ 倍。原発見論文を取得したとは記録しない。

Decision: 固定 Gaussian の global residue identity と fixed-left-line remainder は無条件に構成できる。全 trivial zeros への無限左移動、common-amplitude quartet、unweighted L² を根拠に remainder を捨てる方法は停止。求める (22) は RH 同値であり、Gaussian smoothing または正確な分解だけから得た新しい入力として採用しない。個別 residue の極端な大きさを仮定せず、必要な grouping と未証明な全 $$u$$ 評価を分けて保存する。

独立検算：DESTROYER が G4 の genus-1 product の finite part / tail と good-height 選択、 G7 の unweighted L² 不可能性を読み取り再導出して PASS。G4 の grouping は個別留数の絶対収束を意味しないという限定も確認した。

公開版の参照案内（編集注）

本文中のsource-relative pathは原記録の識別子です。収録先:

research/dyadic_arithmetic_reduction.md