STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

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Actual Weil form の固定有限階 support hierarchy

2026-09-30。RH OPEN。新規性主張なし。旧境界率ノートは読み取りのみ。以下の全極限で $$m$$ は固定。Fourier 射影 $$P_N$$ は入れない。

SH1. 定理と規約

k=\Phi/4,\quad \widehat k(z)=\Xi(z)/4,\quad f_j=k^{(2j)},\quad Y=\pi e^{2a},\quad \beta=2Y,

B_Y=e^{a/2-Y}=\pi^{-1/4}Y^{1/4}e^{-Y},\qquad \kappa_Y=\frac{2B_Y^2}{\beta}=\pi^{-1/2}Y^{-1/2}e^{-2Y}. \tag{SH1}

$$R_a$$ は $$[-a,a]$$ への sharp restriction と零延長。 $$Q$$ は標準の全 archimedean・polar・prime-power 項を持つ Weil 形式。 $M_{ij}=Q(R_af_i,R_af_j)$ 、 $G_{ij}=\langle R_af_i,R_af_j\rangle$ 。

定理。 任意の固定整数 $m\ge0$ について、十分大きい $$a$$ では $$M$$ と $$G$$ は正定値で、一般化最小固有値は単純である。単位最小固有関数 $u_{a,m}$ の位相を $\langle u_{a,m},k\rangle>0$ とすれば

u_{a,m}\to k/\|k\|_2\quad\text{in }L^2(\mathbb R), \tag{SH2}

\mu_{a,m}\sim \frac{a(m!)^2}{\sqrt\pi\,\|k\|_2^2} Y^{7/2-2m}e^{-2Y}. \tag{SH3}

raw 係数 $u_{a,m}=R_a\sum_{j=0}^m c_j(a)f_j$ は

c_0\to1/\|k\|_2,\qquad \frac{c_j}{c_0}\sim \frac{(-1)^j\binom mj}{4^jY^{2j}}\quad(1\le j\le m). \tag{SH4}

特に $$m=2,3$$ の最小値は、それぞれ $4aY^{-1/2}e^{-2Y}/(\sqrt\pi\|k\|_2^2)$ 、 $36aY^{-5/2}e^{-2Y}/(\sqrt\pi\|k\|_2^2)$ に漸近する。これは有限 radical 部分空間に制限した support-only signed 最小化であり、全窓の ground や RH の定理ではない。

SH2. Exact jet 座標：相殺する方向も含めて正規化する

実際の theta 級数を

f_j(t)=e^{t/2}\sum_{n\ge1}P_{2j}(\pi n^2e^{2t})e^{-\pi n^2e^{2t}}, \quad P_{r+1}=2yP_r'+(1/2-2y)P_r,

P_0=y^2-\tfrac32y,\qquad P_{2j}(y)=4^jy^{2j+2}(1+O_j(y^{-1})) \tag{SH5}

とする。各多項式の次数は $$d_j=2j+2$$ 。 $W_{\ell j}(Y)=P_{2j}^{(\ell)}(Y)/\ell!$ 、 $0\le\ell,j\le m$ と置くと

W(Y)=\operatorname{diag}(Y^{-\ell})\,C_Y\, \operatorname{diag}(4^jY^{d_j}),\qquad C_Y=C+O_m(Y^{-1}),\quad C_{\ell j}=\binom{d_j}{\ell}. \tag{SH6}

$$C$$ は多項式 $\binom{x}{\ell}$ を相異なる点 $$d_j$$ で評価した Vandermonde 行列なので可逆。従って大きい $$Y$$ で $$W$$ は可逆。

$q_{r,Y}\in\operatorname{span}\{P_0,P_2,\ldots,P_{2m}\}$ を

\frac{q_{r,Y}^{(\ell)}(Y)}{\ell!}=\delta_{r\ell} \quad(0\le\ell\le m) \tag{SH7}

で一意に定義する。 $q_{r,Y}=\sum_j T_{jr}(Y)P_{2j}$ の係数は exact に

T_{jr}(Y)=4^{-j}Y^{r-d_j}(C_Y^{-1})_{jr}. \tag{SH8}

特に $|T_{jr}|\le C_mY^{r-d_j}$ 。Taylor 展開は有限和であり

q_{r,Y}(Y+w)=w^r+ \sum_{\ell=m+1}^{2m+2}O_m(Y^{r-\ell})w^\ell. \tag{SH9}

したがって全 $r\le m$ について、重み $e^{-w}$ を掛ければ、多項式およびその有限階微分が $w^re^{-w}$ へ一様な weighted $$L^1,L^2$$ 評価で収束する。

ここで polynomial を実際の全 theta 級数へ戻す：

g_{r,Y}=\sum_jT_{jr}(Y)f_j. \tag{SH10}

$g_{r,Y}$ は第1 theta 項だけの模型ではなく、全 $n\ge1$ を持つ actual 関数である。一般の $f_c=\sum c_jf_j$ の exact jet 係数は $$z=Wc$$ 、従って $$c=Tz$$ 。

SH3. Actual tail の有限 profile 空間と一様余項

$v=\beta(t-a)\ge0$ で

F_{r,Y}(v)=B_Y^{-1}g_{r,Y}(a+v/\beta).

$w=Y(e^{v/Y}-1)$ を用いると、第1 theta 項は exact に

(1+w/Y)^{1/4}q_{r,Y}(Y+w)e^{-w}. \tag{SH11}

$w\ge v$ と (SH9) により、この項とその $$v$$ 微分は $C_m(1+w)^{K_m}e^{-w}\le C'_me^{-v/2}$ で抑えられる。 $v\le Y^{1/3}$ の Taylor 展開と残りの exponential tail を分けると、 weighted $$L^1,L^2$$ および一回の微分の $$L^1$$ で

F_{r,Y}(v)=v^re^{-v}+O_m(Y^{-1}) \tag{SH12}

となる。ここで $O(Y^{-1})$ は上述の各ノルムの意味。

第2項以降もこの主張を妨げない。(SH8) から $q_{r,Y}(n^2y)$ は $$Y^m$$ と $$n^2y/Y$$ の固定次数多項式で抑えられる。 $y\ge Y$ 、 $n\ge2$ では指数の比は $e^{-n^2y+Y}$ だから、これらの総和と必要な微分の各ノルムは $O_m(Y^{K_m}e^{-3Y})$ 。これは全素数・全整数の寄与を捨てる近似仮定ではなく、実級数の絶対余項評価である。

同じ分割は任意の固定整数 $d,L\ge0$ に適用できる。半直線上で

\|(1+v)^L\{D_v^dF_{r,Y}-D_v^d(v^re^{-v})\}\|_{L^1\cap L^2} =O_{m,d,L}(Y^{-1}). \tag{SH12a}

$$D_v$$ を掛けると $$w'=1+w/Y$$ と polynomial の微分が加わるだけで、固定次数の polynomial times $e^{-w}$ という majorant は保たれる。これは例えば $d\le3$ と有限 $$v$$ -moments を含む。 half-line の smooth profile の主張であり、even extension の原点 cusp が消えるという主張ではない。

従って $F_{z,Y}=\sum z_rF_{r,Y}$ は 全 $z\in\mathbb C^{m+1}$ に一様に

|F_{z,Y}(v)|\le C_m|z|e^{-v/2},\quad \|F_{z,Y}\|_1+\|F'_{z,Y}\|_1\le C_m|z|,

\int_0^\infty |F_{z,Y}|^2dv=z^*Hz+O_m(Y^{-1})|z|^2, \quad H_{rs}=\int_0^\infty v^{r+s}e^{-2v}dv =\frac{(r+s)!}{2^{r+s+1}}. \tag{SH13}

$$H>0$$ は多項式の $L^2(e^{-2v}dv)$ Gram 行列。この一様性が、高次消去後の小さい方向を保護する。

SH4. 全 Weil 形式：prime/pole は jet 座標で下位

旧ノート BR2 の weighted-BV test class で、すべての $g_{r,Y}$ は global radical。従って $$r=(I-R_a)f_c$$ に対して exact に $$Q(R_af_c)=Q(r)$$ 。 sharp cut の jump を variation に含め、零点側・算術側とも絶対収束による延長を用いる。 global $$L^2$$ closability は使わない。

実際の算術表示は

Q(r)=\frac1{2\pi}\int h(\omega)|\widehat r(\omega)|^2d\omega +2\Re\{\widehat r(i/2)\overline{\widehat r(-i/2)}\} -2\sum_{n\ge2}\frac{\Lambda(n)}{\sqrt n}\Re C_r(\log n),

h(\omega)=\Re\psi(1/4+i\omega/2)-\log\pi, \quad C_r(d)=\int r(x+d)\overline{r(x)}dx. \tag{SH14}

(SH13) により片 edge の Fourier profile は $|\widehat{F_{z,Y}}(\xi)|\le C_m|z|/(1+|\xi|)$ 。 $h(\beta\xi)-\log(\beta/(2\pi))$ は $C+|\log|\xi||$ 以下なので、archimedean 項の log moment は $$O_m(|z|^2)$$ 。左右 edge の混合 kernel は $-e^{-|x-y|/2}/(1-e^{-2|x-y|})$ 、距離 $\ge2a$ 。従って

Q_{\rm arch}(r) =\kappa_Y\left[2a\,z^*Hz+ O_m(1+a/Y)|z|^2\right]. \tag{SH15}

同じ一様 envelope を用いると、pole は $O_m(B_Y^2Y^{-3/2})|z|^2$ 。同じ側の prime 相関は $O_m(B_Y^2Y^{-1}e^{-Yd})|z|^2$ 。反対側は $$d<2a$$ で零、 $d=2a+s\ge2a$ で $O_m(B_Y^2s e^{-Ys})|z|^2$ 。ここでは (SH13) の指数 $e^{-v/2}$ と $$v=2Y(t-a)$$ を使った。 $X=Y/\pi$ とすれば $\Lambda(n)\le\log n$ のみで

\sum_{n>X}\frac{\log n}{\sqrt n}\log(n/X)(n/X)^{-Y} \le C\frac{\log Y}{Y^{3/2}}. \tag{SH16}

証明は $X<n\le2X$ で $$r=n-X$$ とし、各項を $C(\log X)X^{-3/2}r e^{-\pi r/2}$ で抑えて整数間隔1で和を取る。 $$n>2X$$ は積分比較。定数は $$X$$ が素数冪の直前か直後かによらない。同じ側の和は $O_m(B_Y^2Y^{-1}2^{-Y})|z|^2$ 。結局、全 polar・prime 項は

O_m(B_Y^2\log Y/Y^{3/2})|z|^2 =O_m(\kappa_Y\log Y/\sqrt Y)|z|^2. \tag{SH17}

以上より、actual matrix を exact jet 座標へ移すと

\boxed{Q(R_af_c)=2a\kappa_Y\,z^*H_Yz,\qquad H_Y=H+O_m(a^{-1})\quad\text{in operator norm}.} \tag{SH18}

とくに大きい $$Y$$ で $c_m|z|^2\le z^*H_Yz\le C_m|z|^2$ 。これは個々の raw 列の絶対誤差ではなく、全 profile 空間での relative coercivity。高次の boundary cancellation 後に prime/pole が主項へ昇格することは、固定 $$m$$ の範囲ではこの評価が排除する。

SH5. 最小固有方向と最小値：直接の有限次元証明

$G(a)\to G_\infty=(\langle f_i,f_j\rangle)>0$ 。正定値性は $\sum c_jf_j=0\Rightarrow[\sum c_j(-1)^jz^{2j}]\Xi(z)=0\Rightarrow c=0$ 。 $\eta=Y^{m-2}z$ 、 $L_Y=Y^{2-m}T(Y)$ と置くと raw 係数は $c=L_Y\eta$ 。 (SH8) から

L_Y\longrightarrow e_0\ell^*,\qquad \ell_r=0\ (r<m),\quad \ell_m=(C^{-1})_{0m}=(-1)^m/2^m. \tag{SH19}

最後の等式は相異なる点 $2,4,\ldots,2m+2$ の Lagrange weights：

(C^{-1})_{jm}=\frac{m!}{\prod_{h\ne j}(d_j-d_h)} =\frac{(-1)^{m-j}}{2^m}\binom mj. \tag{SH20}

したがって physical Gram は

\widetilde G_Y=L_Y^*G(a)L_Y \longrightarrow\|k\|_2^2\,4^{-m}e_me_m^*. \tag{SH21}

$\widetilde G_Y$ は各有限 $$Y$$ では正定値。最小化する Rayleigh 商は exact に

2a\kappa_YY^{4-2m} \frac{\eta^*H_Y\eta}{\eta^*\widetilde G_Y\eta}. \tag{SH22}

$$H_Y>0$$ を使って逆の商を取り、 $H_Y^{-1/2}\widetilde G_YH_Y^{-1/2}$ の最大固有値を取る。その極限は非零 rank-one 正行列で、唯一の正固有値は

\lambda_* =\|k\|_2^2\,4^{-m}(H^{-1})_{mm} =\frac{2\|k\|_2^2}{(m!)^2}. \tag{SH23}

従って大きい $$Y$$ で最大固有値は単純、対応する original 最小固有値も単純。 (SH22)–(SH23) は (SH3) を与える。

定数と方向は次の elementary polynomial minimization で確認できる。 $L_m(x)=e^x(m!)^{-1}D_x^m(e^{-x}x^m)$ とすると、部分積分により $\int_0^\infty e^{-x}L_m(x)x^r dx=0$ for $$r<m$$ 、 $\int e^{-x}L_m^2dx=1$ 。従って指定された最高係数 $\eta_m=(-1)^m2^m/\|k\|_2$ に対する唯一の最小多項式は

\sum_{r=0}^m\eta_r v^r=\frac{m!}{\|k\|_2}L_m(2v),\qquad \eta^*H\eta=\frac{(m!)^2}{2\|k\|_2^2}. \tag{SH24}

最高係数を固定した monic polynomial の squared norm は $(m!)^2/2^{2m+1}$ なので、逆 Gram entry は (SH23) の値。有限次元固有射影の収束から $\eta_Y$ は (SH24) の係数へ位相を除いて収束。 (SH8)、(SH20) に戻すと (SH4)、次いで (SH2) が従う。

切る前の最小関数を $f_a^{\rm pre}=\sum_{j=0}^m c_j(a)f_j$ とすると、その失われた外側 tail の profile は

\frac{Y^m f_a^{\rm pre}(a+v/(2Y))}{c_0(a)k(a)} \longrightarrow m!L_m(2v)e^{-v}\qquad(v>0) \tag{SH25}

となる。零延長した $u_{a,m}=R_af_a^{\rm pre}$ 自体は外側で零なので、その値と取り違えない。

SH6. Exact Schur hierarchy と同時に運ぶ Gram

大きい $$Y$$ で $$Q$$ はこの有限 span 上正定値なので、逆順の Gram–Schmidt が一意にできる。

\widetilde f_{j,Y}=f_j+\sum_{i>j}b_{ij}(Y)f_i, \quad Q(R_a\widetilde f_{j,Y},R_af_i)=0\quad(i>j). \tag{SH26}

これは $$c_j=1$$ 、 $$c_i=0$$ for $$i<j$$ の下での exact quadratic minimization。 $$q=m-j$$ とし、block $f_j,\ldots,f_m$ に SH2–SH4 を適用する。 jet の次数は $0,\ldots,q$ 、評価点は $2j+2,2j+4,\ldots,2m+2$ 。最高逆行列係数は同じ $$(-1)^q/2^q$$ 。条件 $$c_j=1$$ の下で正規化された limiting polynomial は $$4^j q!L_q(2v)$$ 。従って

b_{ij}(Y)\sim \frac{(-1)^{i-j}\binom{m-j}{i-j}}{4^{i-j}Y^{2(i-j)}}, \tag{SH27}

\boxed{d_j(Y):=Q(R_a\widetilde f_{j,Y}) \sim a\kappa_Y\,16^j((m-j)!)^2Y^{6j+4-2m}.} \tag{SH28}

これは各 high block を消去した exact Schur pivot の漸近式。導出で必要な全 prime/pole 余項は block ごとの jet 空間で (SH18) に従う。 raw 行列の粗い $O(a^{-1})$ 誤差を小 pivot へ流用してはいない。

列 $\widetilde f_j$ を raw $$f_i$$ で表す下三角行列を $$U_Y$$ とすると

U_Y^*M U_Y=\operatorname{diag}(d_0,\ldots,d_m),\qquad U_Y\to I,\qquad U_Y^*G(a)U_Y\to G_\infty. \tag{SH29}

Gram も同時に合同変換している。 一般化固有値問題の exact Schur は $M-\mu G$ に対するもの。 (SH28) の $$d_j$$ 自体を一般化固有値と同一視しない。

$$m$$	$(d_0,\ldots,d_m)/(a\kappa_Y)$ の漸近
1	$$(Y^2,16Y^8)$$
2	$(4,16Y^6,256Y^{12})$
3	$(36Y^{-2},64Y^4,256Y^{10},4096Y^{16})$

隣接 pivot の比は $$Y^6$$ の尺度で分離する。極限 profile の Laguerre orthogonality から来る hierarchy であり、素数を一個加える更新と同一であるとは主張しない。

SH7. Γ-development を内部証明する

固定 compact 空間 $S=\{c\in\mathbb C^{m+1}:c^*G_\infty c=1\}$ に通常の有限次元位相を入れる。位相の自由度を除くにはその projective quotient を取る。追加の metric は設計しない。

s_m(Y)=a\kappa_Y16^mY^{4m+4},\qquad \varepsilon=Y^{-6},

\mathcal F_Y(c)=\frac{c^*M c}{s_m(Y)c^*G(a)c}. \tag{SH30}

$r=0,\ldots,m$ に対して、 $\varepsilon^{-r}\mathcal F_Y$ の Γ-limit は

\mathcal F^{(r)}(c)= \begin{cases} \dfrac{(r!)^2}{16^r}|c_{m-r}|^2, &c_m=\cdots=c_{m-r+1}=0,\\ +\infty,&\text{otherwise}. \end{cases} \tag{SH31}

$$r=0$$ では上の制約は空。

Liminf。 $c_Y\to c$ とし $b_Y=U_Y^{-1}c_Y\to c$ 。 (SH28)–(SH29) によりエネルギーは正な対角項の和であり、 $$j>m-r$$ の係数が極限で非零なら発散する。そうでなければ $$j=m-r$$ の項だけ残して (SH31) の下界を得る。分母 $c_Y^*G(a)c_Y\to1$ 。

Recovery。 有限値を取る $$c$$ に対し、 $$b=c$$ 、 $$c_Y=U_Yb$$ とし、最後に $G_\infty$ norm で $$S$$ へ戻す。 $U_Y\to I$ なので $c_Y\to c$ 。高い $$b_j$$ は exact に零、低い項は scale 比により消える。これが (SH31) の値を与える。

$$S$$ は compact なので minimizer の equicoercivity は自動。 $$r<m$$ の各 limit minimum は0で、次の scale へ進む際の subtraction は0。 minimizer sets は順に最高 raw 成分を消す flag となり、最後に $c_1=\cdots=c_m=0$ 、すなわち projective $\operatorname{span}k$ が残る。 $$r=m$$ は最後の最小値の係数 $(m!)^2/(16^m\|k\|_2^2)$ を与える。これは通常の有限次元 Γ 証明であり、外部定理の名から選択を推論していない。

SH8. 一様に正な jet 形式への有限次元 transfer lemma

この節は条件付きの代数補題。別の realization $\mathcal T_a$ について、同じ raw 固定基底の physical Gram を $G_a^{\mathcal T}$ とする。仮定は

G_a^{\mathcal T}\to G_\infty>0,\qquad Q(\mathcal T_af_c)=2a\kappa_Y z^*K_Yz,\qquad b_-I\le K_Y\le b_+I, \tag{SH32}

ここで $$z=Wc$$ 、 $0<b_-\le b_+<\infty$ は固定 $$m$$ に対して一様。 $$K_Y$$ の極限の存在は仮定しない。

$\eta=Y^{m-2}z$ 、 $c=L_Y\eta$ とすれば $L_Y^*G_a^{\mathcal T}L_Y\to\|k\|_2^24^{-m}e_me_m^*$ 。逆 Rayleigh 商の行列を

A_Y=K_Y^{-1/2}L_Y^*G_a^{\mathcal T}L_YK_Y^{-1/2}

と置く。これは

\|k\|_2^24^{-m}(K_Y^{-1/2}e_m)(K_Y^{-1/2}e_m)^*+o(1) \tag{SH33}

であり、 $$o(1)$$ は operator norm。非零 rank-one eigenvalue は $$Y$$ に一様に正で有界、残りは0なので、大きい $$Y$$ では $$A_Y$$ の最大固有値は単純。従って元の restricted minimum は単純である。

physical norm 1 の minimizer の $\eta$ は一様有界である。実際、 $\eta=e_m$ を適当に規格化した trial の quotient は有界で、 $K_Y\ge b_-I$ だから最小点の $|\eta|$ も有界。 (SH19) と規格化条件より、その raw 係数は位相を選べば $c\to e_0/\|k\|_2$ 。よって、さらに各固定 $$j$$ で $\mathcal T_af_j\to f_j$ in $$L^2$$ なら physical 最小方向は $k/\|k\|_2$ へ収束する。これは $$K_Y$$ が oscillate しても成り立つ。最小 energy の Laguerre 定数は $K_Y\to H$ の場合のもので、一般 $$K_Y$$ には転用しない。

可変係数に対する Gram の一様性も明記する。固定有限本の $\mathcal T_af_j\to f_j$ から raw Gram は operator norm で収束する。さらに $$L_Y$$ は (SH19) により一様有界なので $L_Y^*(G_a^{\mathcal T}-G_\infty)L_Y\to0$ 。従って $$a$$ -dependent jet vector を使うことによる未制御な Gram 誤差増幅はない。正規化前の $$T(Y)$$ 自体が大きくなり得ることと、 $L_Y=Y^{2-m}T(Y)$ の有界性は区別する。

例えば canonical $$P_NR_a$$ の raw fixed-column convergence は $N/a\to\infty$ で成り立つ。証明は各 $$f_j$$ を fixed compact smooth $$g$$ で $$L^2$$ 近似し、射影の contraction を使う。 $$a$$ が $\operatorname{supp}g$ を含めば Fourier 係数は $\widehat g(\pi n/a)/\sqrt{2a}$ 。任意 $$r>1$$ に対する $|\widehat g(\omega)|\le C_r(1+|\omega|)^{-r}$ から射影 tail は $O_r((N/a)^{1-2r})$ となる。ただしこの $$L^2$$ convergence だけでは (SH32) の形式 coercivity は出ない。 full realization への適用には、それを独立に証明する必要がある。

SH9. 止める量化

各定数・開始窓 $$a_m$$ は $$m$$ に依存する。 $m\to\infty$ の一様性、 $$P_N$$ を入れた行列、任意の cofinal path、全 $$H_a$$ の ground 比較、prolate proxy、RH はこの証明の対象外。得られたのは 全 fixed finite $$m$$ の support-only hierarchical selection である。

独立監査：DESTROYER は SH1–SH9 を読み、exact jet 基底・全 actual arithmetic 余項・一様 coercivity、逆 Rayleigh の rank-one metric、固定 $$m$$ の Schur 定数、Γ liminf/recovery、oscillatory $$K_Y$$ の transfer を独立に再計算し PASS とした。行列 $$U_Y$$ の三角方向は列規約に合わせ下三角と修正した。これは内部数学の監査であり、原論文全体の再検証や full ground/RH の証明を意味しない。

公開版の参照案内（編集注）

本文中のsource-relative pathは原記録の識別子です。収録先:

research/rate_history/notes/boundary_rate_analysis.md

$\(m\)$	$(d_0,\ldots,d_m)/(a\kappa_Y)$ の漸近
1	$\((Y^2,16Y^8)\)$
2	$(4,16Y^6,256Y^{12})$
3	$(36Y^{-2},64Y^4,256Y^{10},4096Y^{16})$