STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

公開用に整形した研究原資料の履歴snapshotです。本文の「現在」「完了」「PASS」は原記録の対象・時点に限定され、RH証明や公開環境での再実行を意味しません。 Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted research log · Text: CC BY 4.0. Source: research/local_global_theorem_stack.md · Original SHA-256: 20ecc6491f31f4ce26bab5f4d988dca557aa00891558ecddac8d93f767bf5d21. 原資料パスと公開パスの対応・書換え・export hashは公開source manifestを参照。本文のコード・検証ログは履歴であり、このexportでは再実行していません。

LOCAL → SEMILOCAL → GLOBAL: theorem stack

2026-09-30。RH OPEN。達成は限定監査 Level 1。 KNOWN は原典の前件を含む既知定理、PROVED はこの監査中の初等的な推論、 OPEN は未証明、NUMERICAL は有限計算のみ、FALSE は指定された推論への反例あり。新しい数学的結果の優先権を主張しない。

1. 対象を同じものと扱わない

段階	対象	zero / spectrum	正性・内積	変換・gluing	極限と状態
real local	各 Hermite 関数の local Mellin transform	Gammaを除いた多項式の零点	Mellin-Plancherelからの正直交測度	特定の oscillator eigenfunction → Mellin	各有限次数の定理 KNOWN
nonarchimedean local	Weil representation の特定 vector、または非退化 quadratic character	有限 Laurent/polynomial correction の零点	局所 Fourier/Weil 構造。全てを real oscillator と同一視しない	局所functional equation、unit-circle argument	原典ごとの residue characteristic 条件付き KNOWN
Sauvalle adelic	global weak Mellin transform	completed global L factor と有限local corrections	local theoremのpositive measureをそのままglobalへ運んでいない	Tate型積分から $L(s,\chi)\prod C_v$	global confinement は Q の例で RH 同値
CCM Sonin	有限 $$S$$ の $\mathbf S_\lambda(X_S)$	同じcompleted Mellin functionを別のnormで実現	bounded isomorphism、一般に等長でない	$\upsilon_S\theta_S=\upsilon_\infty$	空間・指定関数の同一性 KNOWN、全零点拘束とは別
finite Fourier cutoff	Weil 行列 $Q_{\lambda,N}$ のground vector $v_{\lambda,N}$	$\widehat v_{\lambda,N}$ の全零点、有限商＋Dirac tail	$Q_{\lambda,N}-\epsilon I$ の商内積	rank-one perturbed $D_{\lambda,N}$	ESを満たす段階で実零点 KNOWN
prolate proxy	$k_\lambda=1_{I_\lambda}\mathcal E h_\lambda$	Fourier transform の零点一般	prolate固有関数は別operator	prolate→Hermite estimate、Poisson sum	規格化変換→actual $\mathscr X$ KNOWN、proxy実零点 OPEN
target	$\mathscr X(z)=\xi(1/2+iz)$	全非自明ζ零点を重複度付きで保持	必要なglobal正性は未証明	上記ground transformとの同定	OPEN

local Hermite の証明と finite Weil の証明は別々の入力である。 Theorem L のlocal因子を掛ければ Theorem F のground transformになる、というexact mapは構成されていない。 三段階を一本道と描かない。

2. L / F / C / I の状態

ID	数学命題	状態	前件・限定
L-real	Hermite Mellin のpolynomial zerosは $\Re s=1/2$	KNOWN	各指定固有関数。任意線形結合は不可
L-padic	局所Weil/quadratic-characterのlocal RH	KNOWN	Kurlberg II と Sauvalle で範囲を分離
S-Sonin	finite-place additionが Sonin spaceをbounded同型にする	KNOWN	norm・ground state・Weil positivityは同じではない
F-conditional	ESな $Q_{\lambda,N}$ から $\widehat v$ は全実零点	KNOWN	CCM Theorem 5.10。ES=単純かつ偶な最小固有vector
F-universal	全cutoff、または必要なcofinal列でESが成立	OPEN	数値とprolate側の類似だけでは不足
C-fixed-window	固定operatorの孤立単純groundをcoreから近似しFourier変換をcompact一様近似	KNOWN, CONDITIONAL	CvS Theorem 6.1 の全domain前件を要する
C-proxy	prolate $k_\lambda$ の変換がstripで一様収束	KNOWN	CCM Lemmas 7.2–7.3。定数規格化とGaussian tailを明示
C-actual	ESを満たす適切なcofinal経路上で、規格化 $\widehat v_{\lambda,N}$ のnormal family評価が得られる	OPEN	少なくとも $N/\log\lambda\to\infty$ が必要。全パラメータ族のnormalityは $$N=0$$ 反例によりFALSE
I-proxy	規格化proxyの極限は $\mathscr X$	KNOWN	Poisson/Gamma/Euler算術を実際に使用
I-actual	規格化ground変換の極限もproxyと一致	OPEN	下記 G* の正確な比較評価が不足
H	Fとactual C+IからRH	PROVED, CONDITIONAL	Hurwitz/Rouché。新しいRH入力ではない

「Fは無条件に全て済み、C+Iだけ」との判定は原典の前件を落としている。「normal family bound found」も、proxyとactual groundで異なる値にする必要がある。

3. Hurwitz の最小対象

\Omega=\{|\Im z|<1/2\},\qquad z_*=i/4,\qquad F_{\lambda,N}(z)= \mathscr X(z_*)e^{i(z-z_*)\log\lambda} \frac{\det_{\rm reg}(D_{\lambda,N}-z)} {\det_{\rm reg}(D_{\lambda,N}-z_*)}. \tag{1}

ES が成立する各段階で denominator は非零、F は整、全零点実数。規格化点はRHによらず $\mathscr X(z_*)=\xi(1/4)>0$ 。

十分条件 H. ESを満たす列について

\lambda_j\to\infty,\quad \sup_{z\in K}|F_{\lambda_j,N_j}(z)-\mathscr X(z)|\to0 \quad\text{for every compact }K\Subset\Omega. \tag{2}

ならRH。

証明。 非実零点 $z_0\in\Omega$ があると仮定する。小円板の閉包を $\Omega\setminus\mathbb R$ 内に取り、境界上に $\mathscr X$ の零点がなく内部に $$z_0$$ があるようにする。孤立零点なのでこの選択にRHは不要。境界上の $\min|\mathscr X|>0$ と (2) から Rouché が適用できる。 Fも内部に同じ正の零点数を持つことになるが、Fの零点は実数のみ。矛盾。 $\mathscr X\not\equiv0$ は規格化でも保証される。非自明ζ零点は $0<\Re s<1$ にあるから、全て $\Omega$ 内で扱える。□

多重零点もRouchéの重複度付き個数に含まれる。これは $\mathscr X$ の全零点が実数という結論であり、 global自己共役作用素の構成を追加で要求しない。全複素平面の収束、単一のgrowing-height rateは十分だが必要以上に強い。

4. 実際の missing proposition G*

規格化proxy

G_\lambda(z)=\mathscr X(z_*)\widehat k_\lambda(z)/ \widehat k_\lambda(z_*)

について $G_\lambda\to\mathscr X$ は既知。従って残りを次の一つの複合命題へ書ける：

\boxed{ \begin{gathered} \exists(\lambda_j,N_j)\ \text{with ES},\quad \lambda_j\to\infty,\\ \forall K\Subset\Omega:\quad \sup_K\left| \frac{\widehat v_{\lambda_j,N_j}}{\widehat v_{\lambda_j,N_j}(z_*)} - \frac{\widehat k_{\lambda_j}}{\widehat k_{\lambda_j}(z_*)} \right|\to0. \end{gathered}} \tag{G*}

「一個」と記述しても ES の証明と比較estimateの二義務を消さない。原著 §8 と対応する。これを仮定してproof graphに入れてはいない。 RHからこの特定のprolate/Weil比較への逆含意は未証明。

5. さらに弱い十分条件

形式	必要な正確な条件	不足するもの
Rouché only	任意の非実候補零点を囲む上記円板の境界で、ある十分大きいadmissible段階に $\|F-\mathscr X\|<\|\mathscr X\|$	実軸での値一致、数個の低零点一致
argument principle	同じ各円板の境界で $\int F'/F\to\int\mathscr X'/\mathscr X$	零点を無視した弱いtrace分布の一致
log derivative	対象円板境界の近傍でlog-derivative収束、各分母非零	ただの導関数のformal式
Vitali	actual Fの局所有界性と、 $\Omega$ 内に集積点を持つ集合上のactual $\mathscr X$ への値収束	対称性、order、F(z*)の一値だけ
canonical products	有限compact内の零点・重複度同定に加え一様な高域product tail制御	固有値ごとの収束だけ

単連結zero-free領域でlog-derivative収束と一点の値規格化を持てば、積分して関数収束へ戻せる。多重連結領域ではperiod・枝も管理する。「zero-free領域」は各関数が実際に非零な場所で指定し、 targetの非実零点不存在を先に仮定しない。

6. normal family、trace、high spectrum

固定窓supportからは

|\widehat v(z)|\le\sqrt{2\log\lambda}\,\lambda^r\|v\|_2 \quad (|\Im z|\le r)

しか直ちに出ない。規格化分母の下界も未供給で、これはactual Fの窓一様なcompact boundではない。

Fredholm determinantの一般的な連続性は、同じ空間上のtrace-norm収束 $\|K_j(z)-K(z)\|_1\to0$ がcompact一様なら使える。 regularized determinantでは対応するSchatten normと正則化規約を要する。このactual familyにその仮定を供給するestimateは確認できない。本文 (D) の Fourier transform公式を利用する方が、必要条件を直接書ける。

norm-resolvent収束でさえhigh-spectrumの累積を制御しない場合、 determinantに余分な非消失因子が残る。反例・tail条件は独立destroyerノート。

また未変更tail $\pi j/\log\lambda,\ |j|>N$ から

N_j/\log\lambda_j\to\infty

は (2) の必要条件。全固定compactの同定とtail制御が別義務になる。有限段階のRiemann–von Mangoldt型leading countの類似も、個々の零点位置・欠落零点・余分零点・多重度を決定しない。

7. gluing と stability-preserver 比較の判定

finite product of real-zero polynomials はreal-zeroだが、 local Mellin correctionsの積が $F_{\lambda,N}$ になるわけではない。 finite places追加はWeil形式に新しいprime-power項を加え、ground vectorを再計算する操作。対応する entire functions 上の既知の線形stable-polynomial preserverとの exact dictionary は得られない。従って Asano / Lee–Yang / Borcea–Brändén を追加proof inputにはしない。

finite-field側では同じ有限次元Jacobianの算術作用と正polarizationが結ばれる。ここでは $k_\lambda$ の算術的極限同定と $v_{\lambda,N}$ の実零点性が 別のvector family に載る。この違いを(G*)で測る。「missing cohomology」と再命名して済ませない。

8. 判定

Level 1：厳密な条件付きstack、二つの族、正規化、strip位相、未変更tailの必要条件を固定。 Level 2 の新しいactual ground-state比較・一様gap・normal-family boundは0。既知のprolate estimateが今回の新規外部入力であり、監査者自身がそのestimateを新しく証明したという主張ではない。三方向の限定監査を完了し、自動的な第四候補へは進まない。

公開版の参照案内（編集注）

本文中のsource-relative pathは原記録の識別子です。収録先:

research/local_to_global/notes/convergence_destroyer.md