STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

公開用に整形した研究原資料の履歴snapshotです。本文の「現在」「完了」「PASS」は原記録の対象・時点に限定され、RH証明や公開環境での再実行を意味しません。 Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted research log · Text: CC BY 4.0. Source: research/prime_complex/notes/literature.md · Original SHA-256: 236bc89d78197d2bca4bde8421c26f49fd52ad6009272bd0574ab4e47849fc42. 原資料パスと公開パスの対応・書換え・export hashは公開source manifestを参照。本文のコード・検証ログは履歴であり、このexportでは再実行していません。

Prime Complex Parity Pairing：限定一次文献監査

2026-09-30。対象は $X\ge2$ と

\Delta_X=\{F:\ F\text{ は有限素数集合},\ \prod_{p\in F}p\le X\}

で、空集合も含む。新規性を主張しない。既存ファイルは変更しない。

固定した資料と使用箇所

資料	版・一次 URL	今回確認した locator と範囲
Anders Björner, A cell complex in number theory	arXiv:1101.5704v1, 2011-01-29；PDF；査読誌 DOI 10.1016/j.aam.2010.09.007（arXiv 書誌では online 2010-10-20）	§1 Eqs.(1.1)–(1.2)：reduced Euler 規約。Thm.2.1, pp.3–4：shifted complex の wedge 型と最小頂点による Betti 公式。Thm.3.1, p.5：本 $\Delta_X$ の正確な公式。Thm.3.4, pp.5–6：Betti 総数。Thm.3.5, p.6：偶数・奇数次 Betti 総数の漸近。
Oliver Knill, On Primes, Graphs and Cohomology	arXiv:1608.06877v1, 2016-08-22（本文 date 2016-08-20）	§§1.1, 3.1–3.4, 4.2：squarefree 整数の divisibility graph、 $\chi=1-M$ 、Poincaré–Hopf index。今回は preprint の該当 statement を照合し、査読状況は未確認。
Robin Forman, A User's Guide to Discrete Morse Theory	Sém. Lothar. Combin. 48 (2002), B48c, 掲載 PDF	Thm.2.5, p.10：critical simplices による CW 模型。Thm.2.11, p.13：weak Morse inequalities。Thms.6.2–6.3, p.22：acyclic Hasse matching と空集合の規約。著者自身による理論の解説であり、今回その全証明は再監査していない。

Björner Thm.2.1 が指す原始文献は Björner–Kalai, An extended Euler-Poincaré theorem, Acta Math. 161 (1988), 279–303, p.292。この原始文献自体の全文は今回未照合。使用 statement は Björner の上記指定版で確認した。頁はそれぞれの掲載 PDF の本文頁。

既知の正確な結論

$\widetilde\beta_k=\operatorname{rank}\widetilde H_k(\Delta_X;\mathbb Z)$ とする。Björner の $\chi,\beta$ は reduced 規約である。

M(X)=-\widetilde\chi(\Delta_X) =-\sum_{k\ge0}(-1)^k\widetilde\beta_k . \tag{1}

小さい素数への置換は積を減らすため $\Delta_X$ は shifted。上記 Thms.2.1, 3.1 は

\Delta_X\simeq\bigvee_{k\ge0}\bigvee^{\,\widetilde\beta_k}S^k,\qquad \widetilde\beta_k =\#\{b:\ X/2<b\le X,\ b\text{ odd squarefree},\ \omega(b)=k+1\}. \tag{2}

Thm.3.4 は無条件に

B(X):=\sum_k\widetilde\beta_k =\frac{2X}{\pi^2}+O_\theta(X^\theta) \quad\text{for every }\theta>17/54. \tag{3}

Thm.3.5 では偶数次・奇数次の総数が各 $X/\pi^2$ に漸近する。その差の RH 級評価は供給しない。整数で述べられた結果は $\Delta_X=\Delta_{\lfloor X\rfloor}$ により実数 $$X$$ へ移せる。

符号上の小注意：指定版 Thm.3.5 証明の $$a-b=M$$ は Eq.(1.2) と逆符号で、ここでは $$a-b=-M$$ を使う。漸近結論は変わらない。Knill §3.4 にも index を一度 $\mu$ とする文があるが、§1.1・同節末尾の $-\mu$ と整合する規約を採る。素数追加の index は $+1=-\mu(p)$ なので直接確認できる。

今回の直接検算と文献結果の一致

素数 $$2$$ を含まない $$F$$ で $2\prod F\le X$ のとき

F\longleftrightarrow F\cup\{2\} \tag{4}

と組にする。augmented face poset では $\varnothing\leftrightarrow\{2\}$ も含む。残余は (2) の odd squarefree $b\in(X/2,X]$ と正確に一致する。

この matching の acyclicity は直接分かる。matched edge を上向き、他の inclusion edge を下向きにしたとき、上向き移動は $$2$$ の追加だけ。いったん $$2$$ を含む面へ入ると $$2$$ を除く辺は matched edge の逆向きなので進めず、再び上向き移動もできない。残る移動は次元を減らすため閉路はない。

さらに $C=\operatorname{star}_{\Delta_X}(2)=\{F:F\cup\{2\}\in\Delta_X\}$ は cone である。残余面 $$F$$ の積を $$b$$ とすると、全 proper faces は素数 $p\ge3$ を少なくとも一つ除くので積が $b/p\le X/3<X/2$ 。したがって全境界が $$C$$ に入る。contractible subcomplex $$C$$ を潰すと各残余面が一つの球面になり、(2) が得られる。これは既知公式の今回の直接確認であり、新定理ではない。

通常の非空 face poset の Morse 規約では (4) から空集合の組を外すので、 $\{2\}$ が基点の critical 0-cell として残る。critical 数は $$1+B(X)$$ 、reduced の数は $$B(X)$$ 。この $$+1$$ を落とさない。

線形主項だけなら初等的にも検算できる。odd squarefree 計数 $Q_{\rm odd}(Y)$ について

Q_{\rm odd}(Y) =\sum_{\substack{d\le\sqrt Y\\d\text{ odd}}}\mu(d) \#\{r\le Y/d^2:r\text{ odd}\} =\frac{Y}{2}\prod_{p>2}(1-p^{-2})+O(\sqrt Y) =\frac{4Y}{\pi^2}+O(\sqrt Y).

従って $B(X)=Q_{\rm odd}(X)-Q_{\rm odd}(X/2)=2X/\pi^2+O(\sqrt X)$ 。強い誤差指数 $$17/54$$ の数論的証明は今回再証明していない。

Divisor graph と、排除できる戦略の範囲

Knill の graph $$G(X)$$ の頂点は squarefree な $2\le b\le X$ 、辺は一方が他方を割る組である。その clique complex は非空 faces の inclusion chain を表すため $\Delta_X$ の barycentric subdivision に一致する。従って ordinary Euler 規約では $\chi(G(X))=1-M(X)$ 。これは (1) と整合する。

一方、「素数を頂点、 $pq\le X$ を辺」とした graph の clique completion は一般に $\Delta_X$ ではない。例えば $$X=15$$ で $\{2,3\},\{2,5\},\{3,5\}$ の全辺は存在するが、triple product $$30$$ は cutoff を越える。flag completion はこの cycle を三角形で埋め、元の複体を変える。divisor order complex とこの別の flag complex を混同しない。

Forman の weak Morse inequalities と (2)–(3) により、同じ $\Delta_X$ の acyclic face matching では critical 数を各次数の Betti 数より減らせない。(4) は既にその下界を達成している。したがって homotopy/homology を保つ通常の discrete Morse cancellation によって、reduced critical 総数を $$o(X)$$ 、特に $O_\varepsilon(X^{1/2+\varepsilon})$ へ減らす戦略は失敗する。

これは任意の符号反転 involution や、homology を保たない arithmetic parity pairing 全般を反証するものではない。残余の符号和は依然として $$M(X)$$ そのものであり、正・負の個数がそれぞれ線形であることから、その差の平方根級 cancellation は出ない。

Decision: 複体、Euler–Mertens 対応、shifted/wedge 型、素数 $$2$$ の残余と Betti 総数の線形漸近は既知として固定する。今回の直接検算はその再確認と規約の整理。Morse matching の残余個数を小さくする路線は上記範囲で排除できるが、新しい arithmetic cancellation、RH の証明、新規性はいずれも得ていない。限定探索はここで終了。