STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

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Prime complex：toggle 2、完全 matching、exact persistence

2026-09-30。独立の有限鎖計算。既存ファイルは変更しない。RH は OPEN。shifted complex と Betti 数の公式は既知であり、本ノートの barcode 表示についても新規性を主張しない。

結論。 素数2を toggle する matching は acyclic かつ reduced の意味で perfect。odd squarefree $$n$$ ごとに、degree $\omega(n)-1$ の区間 $$[n,2n)$$ がちょうど一つある。これは各時点の Betti 数だけの一致ではなく、整数係数の filtered chain basis による直接分解である。 $$n=1$$ は augmented degree $$-1$$ の例外を表す。

MP1. 複体と augmentation の規約

$X\ge1$ に対し

\Delta_X=\{S:\ S\text{ は素数の有限集合},\ w(S):=\prod_{p\in S}p\le X\}, \qquad w(\varnothing)=1.

これは squarefree integers $n\le X$ を faces とする有限複体。 $$S$$ の次元は $$|S|-1$$ 。以下の $C_*(\Delta_X;\mathbb Z)$ は augmented simplicial chain complex であり、 $C_{-1}=\mathbb Z[\varnothing]$ 、 $\partial[p]=[\varnothing]$ 、 $\partial[\varnothing]=0$ とする。頂点は増加順に向きを付ける。通常の reduced homology とこの鎖複体の homology を同定する。

$1\le X<2$ では $\Delta_X=\{\varnothing\}$ 。幾何的実現は空、 $\widetilde H_{-1}=\mathbb Z$ 、他は0である。 $X\ge2$ では頂点2があり、 $\widetilde H_{-1}=0$ 。 $$X<1$$ まで filtration を拡張するなら void complex と zero chain complex を採用すれば以下の $$[1,2)$$ と整合する。逆に $$X<1$$ でも空 face を強制的に含める規約なら、その degree $$-1$$ bar の出生端だけが変更される。本ノートの基本パラメータは $X\ge1$ である。

係数を field に制限する必要はない。鎖の基底変換は整数上で行い、最後に任意の係数へ移せる。

MP2. 素数 insertion matching と2の役割

固定素数 $$p$$ に対し、 $p\notin S$ かつ $p\,w(S)\le X$ の組

S\longleftrightarrow S\cup\{p\}

を match する。Hasse graph の matched edge を上向き、他を下向きに orient すると acyclic である。実際、上向きの一歩は $$p$$ を追加する。その後 $$p$$ を削除する edge は必ず matched edge なので下向きには通れず、ほかの頂点を削除する下向きの道しか残らない。従って上向き edge を含む有向閉路はない。上向き edge を含まない閉路も次元が減少するため不可能。

$$p=2$$ の unmatched faces は正確に

\mathcal U_X=\{S_n:n\text{ odd squarefree},\ X/2<n\le X\}. \tag{1}

ここで $$S_n$$ は $$n$$ の素因数集合、 $S_1=\varnothing$ 。全ての even squarefree face はその2を削除した face と match される。

通常の非空 face poset で Morse matching を定義する場合は $\varnothing\leftrightarrow\{2\}$ を除く。この場合、 $X\ge2$ では基点を表す critical vertex $\{2\}$ が一つ余分に残る。従って「critical count = total reduced Betti」は augmented matching の記述であり、ordinary CW の critical count にはその一個を加える。

任意の素数で perfect になるわけではない。 $$p=3,X=10$$ では matched pairs は $\varnothing\leftrightarrow\{3\}$ と $\{2\}\leftrightarrow\{2,3\}$ 。critical faces は $\{5\},\{7\},\{2,5\}$ の三個だが、複体は edges $\{2,3\},\{2,5\}$ の木と孤立点7なので total reduced Betti は1。critical differential が消える根拠に acyclicity だけを使ってはならない。

MP3. 整数係数の filtered chain basis

odd squarefree $n=p_1\cdots p_k$ 、 $3\le p_1<\cdots<p_k$ に対し、全素数 simplex の formal chains として

\sigma_n=[p_1,\ldots,p_k],\quad b_n=[2,p_1,\ldots,p_k],\quad z_n:=\partial b_n=\sigma_n-[2]*\partial\sigma_n. \tag{2}

$$[2]*$$ は2を先頭に追加する cone operation。 $$n=1$$ では $\sigma_1=z_1=[\varnothing]$ 、 $$b_1=[2]$$ 。常に

\partial b_n=z_n,\qquad \partial z_n=0. \tag{3}

$$b_n$$ がまだ $\Delta_X$ に属さないときも、(2) は大きな formal simplex の boundary として定義してよい。 $$z_n$$ の全項が $\Delta_X$ 内にあるかを次で検査する。

$$z_n$$ の odd term $\sigma_n$ の weight は $$n$$ 。他の各項は $[2]*\sigma_{n/p_j}$ で weight

2n/p_j\le 2n/3<n. \tag{4}

従って $$z_n$$ の filtration birth は正確に $$n$$ 、 $$b_n$$ の birth は $$2n$$ 。各 $$X$$ における鎖の基底は

\boxed{\{z_n:n\text{ odd squarefree},\ n\le X\} \ \cup\ \{b_n:n\text{ odd squarefree},\ 2n\le X\}.} \tag{5}

degree はそれぞれ $\omega(n)-1$ 、 $\omega(n)$ 。

基底である証明。 古い odd simplex $\sigma_n$ を、その係数が1で残る $$z_n$$ に置換する。差に現れるのは変更しない even basis vectors $b_{n/p_j}$ だけであり、(4) により同じ filtration stage に存在する。逆変換は $\sigma_n=z_n+[2]*\partial\sigma_n$ で与えられる。従って整数係数の可逆変換であり、両方向とも filtration を保つ。全 $$X$$ で同じ vector を用いるので inclusion とも整合する。

この証明は単なる Morse inequalities ではない。filtered chain complex 全体を、odd squarefree $$n$$ ごとの二項複体

\mathbb Z b_n\xrightarrow{\ 1\ }\mathbb Z z_n \quad\text{（births }2n,n\text{）} \tag{6}

の直和へ明示的に分解している。

MP4. Homology basis、barcode、inclusion の正確な作用

各時点で (6) を切ると、 $n\le X<2n$ のときだけ $$z_n$$ の homology class が残る。従って

\boxed{\widetilde H_d(\Delta_X;\mathbb Z) =\bigoplus_{\substack{n\ { m odd\ squarefree}\\X/2<n\le X\\\omega(n)=d+1}} \mathbb Z[z_n].} \tag{7}

特に torsion はない。critical count は degree ごとに reduced Betti 数と一致する。

任意の field $\Bbbk$ 上の reduced persistence module は

\boxed{\widetilde H_d(\Delta_\bullet;\Bbbk) \cong\bigoplus_{\substack{n\ { m odd\ squarefree}\\\omega(n)=d+1}} \Bbbk_{[n,2n)}.} \tag{8}

同じ表示は interval module の係数を $\mathbb Z$ とした直接分解としても成立する。出生端は含み、消滅端は含まない。 $X\le Y$ の inclusion は surviving label $$n$$ を同じ $$[z_n]$$ に送り、 $Y\ge2n$ なら $\partial b_n$ として0に送る。したがって

\operatorname{rank}(\widetilde H_d(\Delta_X)\to\widetilde H_d(\Delta_Y)) =\#\{n\text{ odd squarefree}:Y/2<n\le X,\ \omega(n)=d+1\}. \tag{9}

最小例は次の通り。

$$n$$	cycle	degree	reduced interval
1	$[\varnothing]$	$$-1$$	$$[1,2)$$
3	$$[3]-[2]$$	0	$$[3,6)$$
5	$$[5]-[2]$$	0	$$[5,10)$$
7	$$[7]-[2]$$	0	$$[7,14)$$
15	$$[3,5]-[2,5]+[2,3]$$	1	$$[15,30)$$

ordinary $$H_0$$ を使うなら、頂点2により出生する一本の永続区間 $[2,\infty)$ が追加される。reduced と ordinary の barcode を混同しない。

MP5. Wedge of spheres の直接証明と shifted 性

$X\ge2$ とする。 $A_X=\operatorname{star}_{\Delta_X}(2)$ は、odd faces $w(S)\le X/2$ の複体に頂点2を cone したものなので nonempty contractible subcomplex。

$$A_X$$ の外の simplices は (1) の critical faces に一致する。その任意の proper face の weight は、取り除いたある素数 $p\ge3$ に対して高々 $n/p\le n/3\le X/3<X/2$ なので boundary 全体が $$A_X$$ に入る。また外の二つの faces は包含関係を持たない。よって $$A_X$$ を一点へ潰すと

|\Delta_X|/|A_X| \cong\bigvee_{\substack{n\ { m odd\ squarefree}\\X/2<n\le X}} S^{\omega(n)-1}. \tag{10}

有限 CW subcomplex の inclusion は cofibration であり、nonempty contractible subcomplex を潰す quotient map は homotopy equivalence。この標準補題は contraction の homotopy extension から従う。従って (10) は $\Delta_X$ の homotopy type を与える。次元0では孤立頂点と基点の対を $$S^0$$ と読み、球が一つもなければ wedge は一点とする。 $$X<2$$ の空の実現にはこの collapse の議論を適用しない。

shifted 性も直接分かる。face 内の素数 $$q$$ を、face 内にない小さい素数 $$p<q$$ に置換すると weight が減るため、再び face になる。ただし (10) の証明は一般の shifted-complex theorem を仮定せず、この2-cone の構造を使った。

MP6. 全ての bar が短くても、homology は線形に増える

augmented chain homotopy を

h\sigma=\begin{cases}[2]*\sigma,&2\notin\sigma,\\0,&2\in\sigma\end{cases} :C_d(\Delta_X)\longrightarrow C_{d+1}(\Delta_{2X})

と置く。empty face にも $h[\varnothing]=[2]$ とする。(2) の符号で直接計算すると

\partial h+h\partial=\iota_{X,2X}. \tag{11}

従って $\Delta_X\to\Delta_{2X}$ は全ての reduced homology 上で0。幾何的にもその像は $\Delta_{2X}$ の $\operatorname{star}(2)$ に含まれる。対数パラメータ $u=\log X$ では全ての reduced bar の長さは正確に $\log2$ 。

それでも $X\ge2$ における total reduced Betti number は

B(X)=\#\{n\text{ odd squarefree}:X/2<n\le X\} =\frac{2X}{\pi^2}+O(\sqrt X). \tag{12}

この粗い漸近式は初等的に証明できる。 $\mu^2(m)=\sum_{d^2\mid m}\mu(d)$ を odd $m\le Y$ で和を取ると

\#\{m\le Y:m\text{ odd squarefree}\} =\frac Y2\sum_{d\ { m odd}}\frac{\mu(d)}{d^2}+O(\sqrt Y) =\frac{4Y}{\pi^2}+O(\sqrt Y).

有限和から無限和への tail は $O(Y/\sqrt Y)$ 、odd multiple の counting error は $O(\sqrt Y)$ 。Euler product の値は $\prod_{p>2}(1-p^{-2})=8/\pi^2$ 。 $$Y=X,X/2$$ の差が (12) である。

また実数または複素数係数の各有限 augmented total chain space に任意の正定値 inner product を入れ、実際の simplicial boundary を $d=\partial$ 、その adjoint を $$d^*$$ とする。 $$D_X=d+d^*$$ は self-adjoint で

\|D_Xv\|^2=\|dv\|^2+\|d^*v\|^2,\qquad \dim\ker D_X=\dim(\ker d/\operatorname{im}d)=B(X). \tag{13}

最初の式は $$d^2=0$$ による。有限次元 Hodge decomposition で harmonic representative が一意に存在するため第二式が従う。従って metric の変更はこの kernel dimension を減らさない。これは向き付き boundary の $$d+d^*$$ についての主張であり、別に定義する unsigned prime-shift operator と同一視しない。

(11) の短寿命と (12)–(13) の線形成長が同時に成立する。従って「persistence が有限だから未消去 homology や harmonic kernel も小さい」という推論は、この actual arithmetic complex 自体によって否定される。何か別の norm を使った具体的 cancellation estimate の可否まで否定したわけではない。

MP7. Möbius 符号、既知性、停止点

matching された $$n,2n$$ の Möbius 符号は相殺するので、全 $X\ge1$ で

M(X)=\sum_{m\le X}\mu(m) =\sum_{\substack{n\ { m odd\ squarefree}\\X/2<n\le X}}\mu(n) =-\widetilde\chi(\Delta_X). \tag{14}

$X\ge2$ では $M(X)=-\sum_{d\ge0}(-1)^d\widetilde\beta_d$ 。 $1\le X<2$ では degree $$-1$$ の contribution を含める必要がある。Betti 数は非負でも、(14) は次元の parity による signed sum である。barcode を完全に記述しただけでは、この和の平方根規模の cancellation は得られない。

一次資料の限定照合：Anders Björner, A cell complex in number theory, arXiv:1101.5704v1, §1 (1.1)–(1.2) が Euler–Mertens 関係、Theorem 2.1 が shifted complex の wedge と Betti 公式、Theorem 3.1 / (3.1) が本ノートと同一の squarefree complex の shifted 性と odd-interval count を与える。これらの fixed-stage 結果は既知。本ノートは (2)–(6) から inclusion-compatible な interval decomposition を直接示したが、先行研究全体を調査していないため persistence 表示の新規性も主張しない。既知の Mertens/RH 同値条件を新しい入力とは扱わない。

独立監査。 DESTROYER が MP3 の filtration-preserving basis、 $$n=1$$ の augmented exception、MP5 の contractible star quotient を独立検算し PASS。これは他の spectral / arithmetic bridge の検証を意味しない。

Decision: exact matching、homotopy type、整数係数 homology basis、barcode、doubling inclusion の null homotopy を保持する。これらは計算可能な構造であるが、Möbius parity cancellation や actual ζ zero spectrum の正値実現を供給していない。RH は OPEN。

$\(n\)$	cycle	degree	reduced interval
1	$[\varnothing]$	$\(-1\)$	$\([1,2)\)$
3	$\([3]-[2]\)$	0	$\([3,6)\)$
5	$\([5]-[2]\)$	0	$\([5,10)\)$
7	$\([7]-[2]\)$	0	$\([7,14)\)$
15	$\([3,5]-[2,5]+[2,3]\)$	1	$\([15,30)\)$