STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

公開用に整形した研究原資料の履歴snapshotです。本文の「現在」「完了」「PASS」は原記録の対象・時点に限定され、RH証明や公開環境での再実行を意味しません。 Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted research log · Text: CC BY 4.0. Source: research/prime_rank_one_flow.md · Original SHA-256: 233051a64789382f58740dcf1193923713bc3bdba19b4c02deab1b95e4e42229. 原資料パスと公開パスの対応・書換え・export hashは公開source manifestを参照。本文のコード・検証ログは履歴であり、このexportでは再実行していません。

Prime-power derivative event と rank-one spectral flow の適用範囲

2026-09-30。RH OPEN。Hierarchical Selection Track B の bounded audit。既存ファイル・state・graph は変更しない。新規性を主張しない。

判定：actual repeated prime insertion の closed rank-one flow は得られない。 一つの derivative event と frozen rank-one model の間には正確な辞書がある。しかし有限幅の actual new-prime term は既に符号不定で、rank-one ではない。以下はこの障害を actual form 内で示す。

B1. 一次資料と使用する範囲

O. Dobosevych–R. Hryniv, Direct and Inverse Spectral Problems for Rank-One Perturbations of Self-adjoint Operators, Integral Equations and Operator Theory 93, 18 (2021), DOI, 公刊版 PDF・著者所属機関 repository, arXiv:2007.08841。今回の頁番号は 18-page 公刊版。

§2 pp.3–5 は $$A$$ が self-adjoint、simple discrete spectrum、 uniform separation $\inf(\lambda_{n+1}-\lambda_n)>0$ を仮定する。摂動 $B=A+\langle\cdot,\varphi\rangle\psi$ は一般に self-adjoint とは限らない。 characteristic function は (2.3)–(2.5)。 Theorem 3.1 p.5 は固有値を重複度付きで配置した $\sum|\mu_n-\lambda_n|<\infty$ 、 Theorem 4.1 p.9 はその条件を満たす指定 spectrum の実現を扱う。これらの infinite-dimensional main theorems を current expanding Weil matrix に無条件適用しない。特に uniform separation と固定 infinite operator の同定は供給されない。同論文の一般 non-self-adjoint inverse construction を actual Hermitian update の自由な spectrum 設計に使わない。

以下の finite-matrix resolvent/interlacing は、その characteristic formula の self-adjoint special case を直接導出する。 Aronszajn–Krein 型という名称で呼ぶが、別の古典原論文を全文再監査したとはしない。

B2. Frozen model：exact secular equation と resolvent

固定有限 Hermitian 行列 $$A$$ 、非零 $v\in\mathbb C^d$ 、 $\alpha>0$ に対し

A_\tau=A-\tau\alpha vv^*,\qquad 0\le\tau\le1,\qquad q=\tau\alpha .

$z\notin\sigma(A)$ として

R_0(z)=(A-zI)^{-1},\qquad m_0(z)=v^*R_0(z)v =\sum_\ell\frac{\|P_\ell v\|^2}{\lambda_\ell-z}.

ここで $P_\ell$ は distinct eigenvalue ごとの spectral projector。 determinant lemma と一回の積から

\det(A_\tau-zI)=\det(A-zI)(1-qm_0(z)), \tag{B1}

R_\tau(z)=R_0(z)+ \frac{q\,R_0(z)vv^*R_0(z)}{1-qm_0(z)},\qquad m_\tau(z)=\frac{m_0(z)}{1-qm_0(z)} . \tag{B2}

複素 $$z$$ では右辺の最後の $$R_0(z)$$ を $$R_0(z)^*$$ に変更しない。 secular equation は $$1-qm_0(z)=0$$ 。 old eigenvalue で分母が極となる場合は determinant 全体の cancellation を扱う。 $P_\ell v=0$ の old eigenspace は保存され、一般の重複 eigenspace でも $v^\perp$ 成分は保存される。secular roots だけで全 multiplicity を数えない。

old spectrum 外の real root $\mu$ の eigenline は

\operatorname{span}\{(A-\mu I)^{-1}v\},\qquad \|(A-\mu I)^{-1}v\|^2=m_0'(\mu). \tag{B3}

$$q>0$$ 、 $$A$$ が単純で $$v$$ が全 eigendirection に非直交なら、各 coupled pole 間に一つの root と、最小 pole より下の一つの root がある。 coupling が 0 の場合に strict interlacing を主張しない。

昇順・重複度付き固有値を $\lambda_0,\ldots,\lambda_{d-1}$ 、 $\mu_0,\ldots,\mu_{d-1}$ とすると、 $q\ge0$ に対し

\mu_0\le\lambda_0\le\mu_1\le\lambda_1 \le\cdots\le\mu_{d-1}\le\lambda_{d-1}. \tag{B4}

単純 branch の Hellmann–Feynman 公式は

\mu_j'(\tau)=-\alpha|v^*u_j(\tau)|^2\le0. \tag{B5}

gap の微分は二つの overlap の差なので符号は固定されない。 ground が isolated simple、gap $\Delta_\tau>0$ の区間では

P_0'=\alpha(Svv^*P_0+P_0vv^*S),\quad S=(A_\tau-\mu_0)^{-1}(I-P_0),\quad \|P_0'\|\le 2\alpha\|v\|^2/\Delta_\tau . \tag{B6}

固有値の interlacing は gap 下界や ground の一定方向への収束を与えない。

B3. Actual event：一次極限と joint limit の誤差

$L=2a=2\log\lambda$ 、 $h=\log n$ 、 $$n=p^r$$ 、 $c_n=\Lambda(n)/\sqrt n$ 。固定 Fourier index $|j|\le N$ の基底

V_{j,L}(t)=L^{-1/2}e^{2\pi ij(t/L+1/2)}

を零延長する。new-prime matrix は $$-c_n(C+C^*)$$ で

C_{j\ell}=\langle\tau_hV_{j,L},V_{\ell,L}\rangle,\qquad \tau_hf(t)=f(t-h).

$L\le h$ で 0。 $L=h+\delta>h$ なら exact に

C_{j\ell}(L,h)=\frac1L\int_0^\delta \exp\left(\frac{2\pi i[j(\delta-u)+\ell u]}L\right)\,du. \tag{B7}

従って fixed $$N,h$$ で

-c_n(C+C^*)= -\frac{2\Lambda(n)}{\sqrt n\,h}\delta\,{\bf1}{\bf1}^* +O_{N,h,n}(\delta^2). \tag{B8}

これは前トラックの derivative corner の直接再確認。 $0<\delta\le h/2,\ d=2N+1$ ならさらに

\left\|C-\frac{\delta}{h}{\bf1}{\bf1}^*\right\| \le C\,d(N+1)\frac{\delta^2}{h^2}. \tag{B9}

各 entry の phase difference を $|e^{ix}-1|\le|x|$ 、 $|j(\delta-u)+\ell u|\le N\delta$ で抑え、 entrywise bound の $$d$$ 倍を operator bound とした。 leading matrix norm は $d\delta/h$ なので、 $(N+1)\delta/h\to0$ は relative rank-one approximation の十分条件。単に $\delta\to0$ として $N\to\infty$ の一様性を得たとは言わない。

critical resolution $N\asymp aY,\ Y=\pi\lambda^2,\ h\asymp2a$ では、 cutoff の整数差 $$g$$ に相当する log 間隔 $\delta\asymp g/\lambda^2$ に対して $N\delta/h$ は一般に 0 へ行かない。したがって derivative event を次の event までそのまま積分する操作は未正当化。

また actual background $$B(L)$$ は Gamma・pole・既存 primes・basis scaling を含む。 event 近傍で

Q(h+\delta)=B(h)+\delta B'(h) -\frac{2c_n}{h}\delta\,{\bf1}{\bf1}^* +O_{N,h,n}(\delta^2). \tag{B10}

frozen $$A=B(h)$$ から rank-one 項だけを動かすと、同じ一次の $$B'(h)$$ を落としてしまう。 (B4)–(B6) はその frozen model に exact、 actual full $$L$$ -variation の monotonicity にはならない。

B4. 有限 event term は actual form 内ですでに符号不定

$N\ge1,\ h<L<2h$ 、従って $0<\delta=L-h<a=L/2$ とする。 new-prime contribution 単独を

D_{n,L}(f)=-2c_n\Re\int_{a-\delta}^{a} f(t-h)\overline{f(t)}\,dt \tag{B11}

と書く。 constant basis $f_0(t)=L^{-1/2}$ では積分 $=\delta/L>0$ 、従って $D_{n,L}(f_0)<0$ 。一方、同じ current $$E_N$$ 内の real odd vector $f_1(t)=\sin(\pi t/a)$ では

f_1(t)>0\quad(a-\delta<t<a),\qquad f_1(t-h)<0\quad(-a<t-h<-a+\delta).

ゆえに $D_{n,L}(f_1)>0$ 。 actual new-prime term はこの範囲で indefinite、従って rank one ではない。 odd direction の効果が一次で消えることと矛盾せず、 positive contribution はより高い次数から現れる。

これは actual $$Q_W$$ 全体の負方向の証明ではない。 Gamma・pole・他 primes を含む全体の sign は別問題。しかし有限 prime insertion を negative rank-one update とする exact dictionary は、この二つの actual trial vectors により排除される。

B5. Boundary rank-one form との exact 接点と非同一性

smooth に動く trial columns $p_i(L)\in E_N(L)$ を係数行列 $C_{\rm tr}(L)$ で表す。基底の両端値が $L^{-1/2}$ なので

{\bf1}^*c_i=\sqrt L\,p_i(a).

event $$L=h$$ の derivative jump を pull back すると

C_{\rm tr}^* \left(-\frac{2\Lambda(n)}{\sqrt n\,h}{\bf1}{\bf1}^*\right)C_{\rm tr} =-\frac{2\Lambda(n)}{\sqrt n} \bigl(\overline{p_i(a)}p_j(a)\bigr)_{ij}. \tag{B12}

sesquilinear convention を逆にすればこの表示を転置共役する。 smooth trial variation は新項が event 自体で 0 のため jump へ寄与しない。 support-only の even $$f_j$$ でも、(B11) の一次展開から同じ endpoint covector $$A_j=f_j(a)$$ が直接現れる。

従って boundary-evaluation covector の共有は exact。ただし support-only recognition の leading form は正の係数 times $$AA^*$$ 、 (B12) は負の derivative corner であり、scale・背景・remainder も異なる。この共有だけでは二つの forms、Schur hierarchy、selectors の同値性にならない。

B6. Repeated update の閉じ方と止まる箇所

同じ固定 $$A,v$$ に negative rank-one updates だけを加える模型なら

A_r=A-s_rvv^*,\qquad m_r(z)=m_0(z)/(1-s_rm_0(z)) \tag{B13}

と scalar recursion が閉じる。これは既知の代数であり、 actual prime flow を得たという意味ではない。さらに $s_r\to\infty$ なら fixed dimension の ground line は $\operatorname{span}v$ へ行く。これは leading operator $$-s_rvv^*$$ の単純最低固有値から従う。

current basis の $v={\bf1}$ なら physical vector は endpoint Dirichlet kernel。それを actual $$k$$ と同定する理由はない。 $N\to\infty$ では $\|{\bf1}\|^2=2N+1$ が発散し、同じ ${\bf1}$ を固定 $\ell^2$ vector として無限 rank-one operator にできない。

異なる $$v_r$$ の Sherman–Morrison update 自体は exact でも、次の scalar $v_{r+1}^*R_rv_{r+1}$ には cross resolvent data が必要。 current problem ではさらに (B10) の full background drift、 (B11) の higher-rank finite insertion、 $$N$$ -embedding が残る。これらを閉じる uniform arithmetic law は今回得られていない。

Track B 結論。 frozen secular equation・interlacing は使用可能な既知道具。 actual event の uniformity 条件と actual sign-indefinite finite term は literal rank-one-renormalization 仮説の限定 kill。新しい canonical attracting line、actual closed recursion、 boundary selection との全体的 exact equivalence は未取得。 state の prime_rank_one_closed_flow_found は false のままが適切である。