STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

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exact modular構成とGaussian固有の条件

2026-09-29。前巡の「有限素数和を切ってから偶延長する」案は終了済み。今回はPoissonの自己双対性を最初から保つtest functionを構成した。以下の結論は標準のξやRHの反例ではない。標準のGaussianに固有のMellin因子を使わず、自己双対性・正値性・臨界帯への限定だけで零点を拘束する案への反例である。

1. 保持できる構造と、消せない共通因子

Fourier規約は $\widehat f(y)=\int_\mathbb R f(x)e^{-2\pi ixy}dx$ 。実Schwartz関数 $\widehat f=f$ は偶で、Poisson和から

\Psi_f(t)=e^{t/2}\sum_{n\in\mathbb Z}f(ne^t)=\Psi_f(-t), \qquad \Phi_f=\tfrac12(D_t^2-1/4)\Psi_f

は偶になる。 $\Psi_f$ の両端の非減衰項は $f(0)e^{|t|/2}$ で、完成操作がこの項を消す。残りは任意の指数関数より速く減衰する。従って $B_f(s)=\int\Phi_f(t)e^{(s-1/2)t}dt$ は整関数。

$M_f(s)=\int_0^\infty f(x)x^{s-1}dx$ をまず $\Re s>0$ で定義する。 $\Re s>1$ で和と積分の絶対収束と部分積分を使うと

B_f(s)=s(s-1)\zeta(s)M_f(s)=\xi(s)A_f(s),\qquad A_f(s)=\frac{2\pi^{s/2}M_f(s)}{\Gamma(s/2)}. \tag{1}

偶関数の原点Taylor多項式を順に引けば、 $$M_f$$ の極は $$s=-2m$$ の単純極のみ。 $1/\Gamma(s/2)$ がすべてを消すため $$A_f$$ も整関数である。 (1)は全平面へ延長できる。 $$A_f(1-s)=A_f(s)$$ も従う。特にξの零点はtest functionの変更では打ち消せず、局所一様極限でも残る。この枠での新しい正値性証明には、元の算術因子に対する制御がなお必要。

例えば $f=(I+\varepsilon A^2)g$ 、 $\varepsilon=1/100$ なら、後述の下界で seedもcompleted kernelも正となり、追加因子 $1+\varepsilon(s-1/2)^2$ の零点は中心線上だけにある。しかし、この完成関数の全零点が中心線上にあるという命題は そのままRHと同値。独立な弱い補題として採用しない。

2. 初めから自己双対な有限微分変形

$g(x)=e^{-\pi x^2}$ 、 $A=x\partial_x+1/2$ と置く。積分による直接計算で $\mathcal F A=-A\mathcal F$ なので、 $A^{2j}g$ は自己Fourier。 $q=\pi x^2$ に対し

\frac{A^2g}{g}=R_2(q)=\tfrac14-6q+4q^2, \quad \frac{A^4g}{g}=R_4(q)=\tfrac1{16}-39q+166q^2-112q^3+16q^4. \tag{2}

再帰式は $R\mapsto2qR'+(1/2-2q)R$ 。 $D_t\Psi_f=\Psi_{Af}$ だから、自己双対性と完成操作を保ったまま

f=(I+aA^2+bA^4)g,\qquad \widetilde\Phi=(I+aD_t^2+bD_t^4)\Phi \tag{3}

を得る。全整数和を維持しており、原点で貼り合わせる操作はない。

N=16385^2=268468225,\quad a=524256/N,\quad b=256/N, \quad c=1+a/4+b/16=268599305/N.

以下では最後に $$f$$ と $\widetilde\Phi$ を正の $$c$$ で割る。これにより $f(0)=\int f=1$ と通常の端点規格化も回復する。

3. 全実線での厳密な正値性

$R_2\ge-2$ 。また $$R_4=(4q^2-14q)^2-30q^2-39q+1/16$$ より $0\le q\le7$ で $R_4\ge-27887/16$ 。 $q\ge7$ では $$R_4=16q^3(q-7)+q(166q-39)+1/16>0$$ 。従って

\boxed{f/g\ge1-2a-(27887/16)b=266973521/N>0.} \tag{4}

完成theta核についても、点の数値確認でなく全項に共通の下界を証明できる。各項を $e^{t/2}V_0(x)e^{-x}$ 、 $x=\pi n^2e^{2t}$ 、 $t\ge0$ と書くと

V_0=4x^2-6x, \quad V_2=16x^4-112x^3+165x^2-(75/2)x,

\[ V_4=64x^6-1056x^5+5176x^4-8512x^3+(15465/4)x^2-(1875/8)x \]

が元の項、二階微分、四階微分の多項式である。 $x\ge\pi>3$ で

\frac{V_2}{V_0}=4x^2-22x+\frac{33}4+\frac6{2x-3}\ge-\frac{87}4,

\frac{V_4}{V_0}=16x^4-240x^3+934x^2-727x-\frac{1983}{16}-\frac{489}{2x-3} \ge-\frac{13139071}{16}. \tag{5}

最後の評価は、 $3\le x\le15$ で負項だけをそれぞれ上端／下端で評価する。 $x\ge15$ では $16x^3(x-15)\ge0$ 、残りの $$934x^2-727x-1983/16-489/(2x-3)$$ も正。従って全項を足し、偶性で負側へ延長すると

\boxed{\widetilde\Phi/\Phi \ge1-(87/4)a-(13139071/16)b =46840521/N>1/6.} \tag{6}

(4)、(6)は規格化前の比。 $$c$$ で割った後も厳密な正値性を保つ。すべて有理数と $\pi>3$ による全域評価である。

4. 臨界帯内に追加される明示的な四つ組

Mellinの部分積分で $M_{Af}(s)=(1/2-s)M_f(s)$ だから

\boxed{\widetilde\xi(s)=\frac{P(s-1/2)}c\xi(s),\qquad P(w)=1+aw^2+bw^4 =\frac{256}{N}[(w-1/4)^2+32^2][(w+1/4)^2+32^2].} \tag{7}

追加零点は厳密に

\boxed{s=1/4\pm32i,\qquad s=3/4\pm32i.} \tag{8}

これらは臨界帯の中にあり、標準のξの既知の帯内限定と合わせ、変形後も全零点は帯内にある。 $P(\pm1/2)=c$ なので $\widetilde\xi(0)=\xi(0)$ 、 $\widetilde\xi(1)=\xi(1)$ 。完成関数は実対称・関数等式・位数1を保つ。臨界線座標 $$s=1/2+iz$$ では乗数は $$1-az^2+bz^4=b[(z-32)^2+1/16][(z+32)^2+1/16]$$ 、実 $$z$$ で厳密に正。したがって、臨界線上の元の零点と符号もすべて保持される。

標準の $\xi(1/4+32i)\ne0$ は別途Arb192bitで認証した。他の三点は関数等式と共役から従う。この点の零点は変形で追加されたものであり、元のξの零点を報告したのではない。正の完成kernelからPSDへの推論も直接検査できる。 $F(z)=\widetilde\xi(1/2+iz)$ とし

D_F(w,z)=\frac{F(z)F'(\bar w)-F'(z)F(\bar w)}{4(z-\bar w)}

を使う。 $$z_0=32+i/4$$ は単純零点なので $$D_F(z_0,z_0)=0$$ 、一方 $D_F(0,z_0)=-F'(z_0)F(0)/(4z_0)\ne0$ 。二点Gram行列の行列式は $$-|D_F(0,z_0)|^2<0$$ 。その符号も独立に区間評価した。標準のWeil形式への負方向ではない。

変更されたのは所定のMellin／Gamma因子である。 算術級数のEuler coreはζのままだが、完成因子は $P(s-1/2)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)/c$ になり、零点を持つ。自己Fourier性・正のseed・正のcompleted kernel・滑らかなmodular反射・帯内限定・端点規格化だけでは、この変更を排除できない。標準の零点を持たないGamma因子まで保った反例とは主張しない。

5. 正の増分があっても零点を除去しない例

全指数モーメントを持つ実偶kernelのGaussian畳み込みでは $F_\tau(z)=e^{-\tau z^2}F(z)$ 。直接微分により

D_{F_\tau}(w,z)=e^{-\tau z^2-\tau\bar w^2} \{D_F(w,z)+(\tau/2)F(z)F(\bar w)\}. \tag{9}

ここには真の正なrank-one増分がある。しかし (8) の単純零点では同じ二点Gramの負行列式が全ての有限 $\tau$ で残る。 $F_\tau(z/\sqrt\tau)=e^{-z^2}F(z/\sqrt\tau)\to F(0)e^{-z^2}$ というGaussian極限では、非実零点は $\sqrt\tau z_0$ へ逃げる。極限の正値性から逆向きに正値性を伝える候補も採用しない。 Schwartz性だけでは複素Fourier積分の整性は保証されないので、モーメント仮定を省略しない。

6. Gaussianのground stateを直和へ移す場合のdomain

標準のGaussianに固有の消滅方程式も、実際の算術項で検査した。

v_n(t)=e^{t/2}e^{-\pi n^2e^{2t}},\qquad B_n=\partial_t-1/2+2\pi n^2e^{2t},\qquad B_nv_n=0.

各 $$B_n^*B_n$$ は非負。滑らかなcutoffによるgraph近似で、 $$v_n$$ は閉 $$B_n$$ および $$B_n^*B_n$$ のdomainに属する。しかし

\|v_n\|_2^2=\frac1{2\sqrt2\,n},\qquad \|\phi_n\|_2^2=\frac{33}{32\sqrt2\,n},\quad \phi_n=(D_t^2-1/4)v_n=n^{-1/2}k(t+\log n). \tag{10}

どちらの等係数ベクトルも直和Hilbert空間に入らない。定数は $$x=ne^t$$ または $x=\pi e^{2t}$ の置換で確認でき、例えば $\|k\|_2^2=(2\sqrt\pi)^{-1}\int_0^\infty x^{-1/2}(4x^2-6x)^2e^{-2x}dx=33/(32\sqrt2)$ 。点ごとの和 $\sum_n\phi_n=\Phi$ はmodular関係により $$L^2$$ 関数になるが、自然な部分和 $S_N=\sum_{n\le N}\phi_n$ は $$L^2$$ 収束しない。実際

N^{-1/2}S_N(u-\log N) \longrightarrow -2\pi e^{5u/2}e^{-\pi e^{2u}} \tag{11}

がcompactな $$u$$ で一様に成立する。これはRiemann和の極限 $e^{u/2}\int_0^1(4c^2y^4-6cy^2)e^{-cy^2}dy$ 、 $c=\pi e^{2u}$ を $(-2cy^3e^{-cy^2})'$ で積分したもの。極限が非零なので $\|S_N\|_2^2\gtrsim N$ 。有限の各ground-state energyが0という事実を、閉作用素の極限定理だけで全算術和の正値性へ移すことはできない。これは単純な直交直和の案への障害であり、 ground-state法全般や、別のdomainを持つ厳密構成の不可能性証明ではない。

7. 既知性の限定確認と判定

構成・反証の後に、一次資料を限定確認した。 Bump–Choi–Kurlberg–Vaaler, A Local Riemann Hypothesis, I の著者公開preliminary版、§1 pp.2–3、Theorem 1は、個々のHermite関数のMellin多項式の零点が中心線上にあることを証明する。そこではoscillator Hamiltonianの個別固有関数を使う。 Fourier固有値+1の空間全体に同じ結論を与える定理ではなく、今回の線形結合と矛盾しない。一般の因子分解 (1) と明示例 (2)〜(8) はここでの初等導出として記録し、論文の定理そのものや新規な発見としては表示しない。文字どおりの先行例の網羅調査はしていない。

ROOTが臨界帯内の四点を指定し、正値性の有理下界を構成。
BUILDER/DESTROYERが係数、Fourier規約、全域下界、規格化を独立検算。
LITERATURE担当は一般SchwartzのMellin極相殺を独立導出し、構成後に既知定理の範囲を照合。
(10)〜(11)は ROOT/DESTROYER が定数・domain・収束様式を独立確認。
再現スクリプトと結果に有理恒等式とArb評価を保存。

一般の正な自己双対test functionからの零点強制、およびGaussian極限からの逆伝播は終了。 次に必要なのは、標準Gaussianの固有の方程式／Mellin因子を整数和へ通した際の、独立した全域正値性入力である。Gaussianの消滅作用素を使う案も直接検査したが、単純な直和ではdomainと極限が破綻する。実際の算術的相殺を保持して正エネルギーを Gram表現へ移す橋は未取得。今回の仮説を条件の改名や数値拡大で継続しない。主証明グラフ合流0、RHは未証明。

公開版の参照案内（編集注）

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