STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

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Weighted prime halfspace：有限差分・Boolean parity の厳密な範囲

2026-09-30。旧ファイルは変更しない。正の重み $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ と threshold $$L$$ について、有限差分の構造、一般の最良境界、算術固有の不足を分離する。新規性を主張しない。RH は OPEN。正負の状態を対応させる state-count pairing は用いない。

FD1. Translation の符号と exact recurrence

$\tau_a f(u)=f(u-a)$ 、 $J(u)=\mathbf1_{u\ge0}$ 、 $H_L(u)=\mathbf1_{u\le L}$ と定める。empty subset を含めて

F_m(L)=\sum_{S\subseteq[m]}(-1)^{|S|} \mathbf1_{\sum_{i\in S}\lambda_i\le L}.

正しい二つの有限差分表示は

\boxed{F_m(L)=\Bigl[\prod_{i=1}^m(I-\tau_{\lambda_i})J\Bigr](L) =\Bigl[\prod_{i=1}^m(I-\tau_{-\lambda_i})H_L\Bigr](0).} \tag{1}

後者に $\tau_{+\lambda_i}$ を入れると $$H_L$$ の引数は負の subset sum になり、目的の式ではなくなる。

$$F_0(L)=J(L)$$ から、任意の重み順序で

\boxed{F_k(L)=F_{k-1}(L)-F_{k-1}(L-\lambda_k).} \tag{2}

互いに素な index blocks $$A,B$$ についても

F_{A\cup B}(L)=\sum_{S\subseteq B}(-1)^{|S|} F_A\left(L-\sum_{i\in S}\lambda_i\right). \tag{3}

これは signed convolution の結合則である。一般に右辺の各項が小さくなる、または独立になるとは述べていない。

$m\ge1$ では $$L<0$$ と $L\ge\sum_i\lambda_i$ で $$F_m(L)=0$$ 。従って distribution の support は $[0,\sum_i\lambda_i]$ に含まれ、右端での点値は0である。actual $P=\{p\le X\}$ ではこの区間の幅は $\vartheta(X)=\sum_{p\le X}\log p$ （既知の prime number theorem により $\vartheta(X)\sim X$ ）。算術 readout $L=\log X$ はこの全幅よりずっと小さい。広い support の記述だけでは、readout での局所的 cancellation は制御されない。

FD2. Peano box integral と spline の次数

$f\in C^m(\mathbb R)$ に対し fundamental theorem of calculus を $$m$$ 回使うと

\prod_{i=1}^m(I-\tau_{\lambda_i})f(L) =\int_0^{\lambda_1}\cdots\int_0^{\lambda_m} f^{(m)}(L-t_1-\cdots-t_m)dt_1\cdots dt_m. \tag{4}

従って使える直接評価は

|\Delta_{\lambda_1}\cdots\Delta_{\lambda_m}f(L)| \le\left(\prod_i\lambda_i\right)\|f^{(m)}\|_\infty. \tag{5}

逆符号の translation を $$f(0)$$ に作用させる表示では、右辺は $(-1)^m\int f^{(m)}(t_1+\cdots+t_m)dt$ となる。

B_{\boldsymbol\lambda} =\mathbf1_{[0,\lambda_1]}*\cdots*\mathbf1_{[0,\lambda_m]},\qquad b_{\boldsymbol\lambda}=B_{\boldsymbol\lambda}/\prod_i\lambda_i

とすると、 $$b$$ は独立一様変数 $U_i\sim\mathrm{Unif}[0,\lambda_i]$ の和の probability density。積分は1、分散は $\sum_i\lambda_i^2/12$ 。 $$B$$ は一変数 box spline で、equal weights のとき cardinal B-spline の尺度変更となる。

$m\ge1$ について distribution の意味で

\begin{split} B_{\boldsymbol\lambda}(L) &=\frac1{(m-1)!}\sum_{S\subseteq[m]}(-1)^{|S|} (L-\lambda(S))_+^{m-1},\\ F_m&=D^{m-1}B_{\boldsymbol\lambda},\qquad D F_m=\mathop{*}_{i=1}^m(\delta_0-\delta_{\lambda_i}). \end{split} \tag{6}

最初の式は $$m$$ 回微分した後の delta measure と、左端での vanishing 条件からも検証できる。jump point での代表値は (1) の右連続規約を採用する。

正の spline 自体が目的量なのではない。 目的量はその $$(m-1)$$ 階導関数であり、 $$m$$ とともに微分次数も増える。例えば step を $\eta_h*J$ で smooth にすると (5) は

|\Delta_{\boldsymbol\lambda}(\eta_h*J)(L)| \le\left(\prod_i\lambda_i\right)h^{-m}\|\eta^{(m-1)}\|_\infty \tag{7}

となる。固定微分次数の smoothness estimate を任意の $$m$$ に流用できない。

FD3. Total variation と標準 norm での非収縮

subset sums が相異なるとき、(6) の derivative measure は相異なる $$2^m$$ 点に質量 $\pm1$ を持つ。よって

\operatorname{Var}_{\mathbb R}(F_m)=\|D F_m\|_{TV}=2^m. \tag{8}

実際の $\lambda_i=\log p_i$ では素因数分解の一意性からこの仮定が成立する。collisions のある一般の重みでは $\|D F_m\|_{TV}\le2^m$ であり、同じ点に来た符号を合計してから variation を取る。

標準 $L^\infty(\mathbb R)$ 上では $\|I-\tau_a\|\le2$ 、従って product norm は高々 $$2^m$$ 。相異なる subset sums がある場合は exact に $$2^m$$ である。固定 $$L$$ に対し点 $L-\lambda(S)$ の周囲に disjoint smooth bumps を置き、そこで $f=(-1)^{|S|}$ 、 $\|f\|_\infty=1$ とすれば、有限差分の値は $$2^m$$ 。 $f\in C_c^\infty$ でも達成できる。

標準 $L^2(\mathbb R)$ 上の Fourier multiplier は $\prod_i(1-e^{-it\lambda_i})$ 。重みが $\mathbb Q$ -linearly independent なら continuous Kronecker flow により全位相を $$-1$$ へ同時に任意に近づけられるので、operator norm はここでも $$2^m$$ 。特に actual prime logs に当てはまる。従って有限差分作用素そのものを標準 norm の contraction として使うことはできない。別の norm を結果に合わせて定義しない。

FD4. 全 parity coefficient の sharp bound：任意の downset

$m\ge1$ 。 $D\subseteq\{0,1\}^m$ が coordinatewise downset とする。positive weighted threshold はこの条件を満たす。

a_r=\#\{x\in D:|x|=r\},\qquad q_r=\frac{a_r}{\binom mr} \quad(0\le r\le m).

隣接二層の incidence を数えると

(r+1)a_{r+1}\le(m-r)a_r,\qquad 1\ge q_0\ge q_1\ge\cdots\ge q_m\ge0. \tag{9}

理由は、 $$D$$ の各 $$(r+1)$$ -subset の全ての $$r$$ -subsets が $$D$$ に入り、一方各 $$r$$ -subset の上方 extensions は高々 $$m-r$$ 個だから。この normalized layer inequality は正負 parity の状態を対応させる議論ではない。

$q_{m+1}=0$ 、 $p_j=q_j-q_{j+1}\ge0$ を $j=0,\ldots,m$ で定める。 $\sum_{j=0}^m p_j=q_0\le1$ 。有限和を入れ替えると

\begin{split} \sum_{x\in D}(-1)^{|x|} &=\sum_{r=0}^m(-1)^r\binom mr q_r\\ &=\sum_{j=0}^m p_j\sum_{r=0}^j(-1)^r\binom mr\\ &=\sum_{j=0}^{m-1}p_j(-1)^j\binom{m-1}{j}. \end{split} \tag{10}

最後の恒等式は Pascal identity、 $$j=m$$ の交代和は0。注意すべき mass は $\sum_{j<m}p_j=q_0-q_m\le1$ であり、一般には $$q_0$$ と等しくない。

従って

\boxed{\left|\sum_{x\in D}(-1)^{|x|}\right| \le\binom{m-1}{\lfloor(m-1)/2\rfloor}.} \tag{11}

これは sharp。 $D=\{|x|\le j\}$ 、 $j=\lfloor(m-1)/2\rfloor$ では (10) の一項だけが残り等号となる。equal weights $\lambda_i=1$ 、 $$L=j+1/2$$ がこの threshold を実現する。

uniform Boolean probability measure と $\chi_S(x)=(-1)^{\sum_{i\in S}x_i}$ を使うと、 $f=\mathbf1_D$ の Fourier coefficient は

\widehat f([m])=2^{-m}F_m(L),\qquad |\widehat f([m])|\le2^{-m}\binom{m-1}{\lfloor(m-1)/2\rfloor} \sim\frac1{\sqrt{2\pi m}}. \tag{12}

これは normalized coefficient の減衰である。未正規化和は $2^m/\sqrt m$ の規模を達成する。factor $$2^m$$ を失って算術和の改善と呼ばない。 $$m=0$$ は別に $$F_0=J$$ と扱う。

FD5. 固定 $$m$$ の例と irrational perturbation

equal weights 1 のとき、 $L\in[j,j+1)$ 、 $0\le j<m$ で $F_m(L)=(-1)^j\binom{m-1}{j}$ 。 $$L<0$$ と $L\ge m$ では0。小例は

$$m$$	$[0,1),[1,2),\ldots,[m-1,m)$ 上の値	最大絶対値
1	$$1$$	1
2	$$1,-1$$	1
3	$$1,-2,1$$	2
4	$$1,-3,3,-1$$	3

equal weights の衝突を除いても extremum は残る。 $\tau\in(0,1)$ を transcendental、 $\varepsilon>0$ を rational かつ $m\varepsilon<1/2$ とし

\lambda_i=1+\varepsilon\tau^i\quad(1\le i\le m),\qquad L=j+1/2. \tag{13}

$|S|\le j$ なら $\lambda(S)<j+1/2$ 、 $|S|\ge j+1$ なら $\lambda(S)>j+1/2$ 。従って Boolean function は同じ cardinality threshold で、(11) の等号がそのまま成立する。

また $\sum_i c_i\lambda_i=0$ 、 $c_i\in\mathbb Q$ は $\sum_i c_i+\varepsilon\sum_i c_i\tau^i=0$ を与える。transcendence から全 $$c_i=0$$ 。従って rational independence、distinct subset sums、任意に小さい equal-weight perturbation を同時に満たす。irrationality だけでは (11) を改善できない。 これは一般重みの反例であり、actual prime logs がこの等号配置を持つと主張したものではない。

FD6. Influence・noise・hypercontractivity の係数監査

$f:\{0,1\}^m\to\{0,1\}$ に対し

I_i=\Pr(f(x)\ne f(x\oplus e_i)),\qquad \delta_i f(x_{-i})=\tfrac12(f(x_i=0)-f(x_i=1)).

uniform Fourier normalization では

I_i=4\sum_{S\ni i}|\widehat f(S)|^2,\qquad \widehat f([m])=\mathbb E_{x_{-i}}\delta_i f(x_{-i})\chi_{[m]\setminus i}(x). \tag{14}

$\{0,1\}$ -valued のため factor4が必要。decreasing monotone $$f$$ なら $\delta_i f\ge0$ 、 $\mathbb E\delta_i f=I_i/2$ なので

|\widehat f([m])|\le I_i/2,\qquad |F_m(L)|\le2^{m-1}\min_i I_i. \tag{15}

cardinality threshold $|x|\le j$ では全 $$i$$ に対し $I_i=2^{-(m-1)}\binom{m-1}{j}$ で (15) は等号。小 influence だけから未正規化和の余分な指数利得は出ない。

standard noise operator は $T_\rho f=\sum_S\rho^{|S|}\widehat f(S)\chi_S$ 、 $0\le\rho\le1$ 。従って

\widehat{T_\rho f}([m])=\rho^m\widehat f([m]). \tag{16}

Bonami の hypercontractivity は uniform probability norms で

\|T_\rho f\|_q\le\|f\|_p, \qquad1<p\le q<\infty,\quad(q-1)\rho^2\le p-1. \tag{17}

例えば $q=2,p=1+\rho^2$ 、 $\alpha=\mathbb Ef$ なら

|F_m(L)|\le2^m\rho^{-m}\alpha^{1/(1+\rho^2)}\quad(\rho>0). \tag{18}

小さな $\rho^m$ を gain として用いる場合、original coefficient へ戻す $\rho^{-m}$ を省けない。noise は observable を変更し、(17) だけで original parity sum の新しい bound は出ない。

FD7. Martingale と order averaging の gate

座標順序 $\pi$ に対し $M_j=\mathbb E[f\mid x_{\pi(1)},\ldots,x_{\pi(j)}]$ 、 $D_j=M_j-M_{j-1}$ とする。Fourier 展開では $$M_j$$ に現れるのは revealed coordinates の subsets だけ。従って

\mathbb E[D_j\chi_{[m]}]=0\ (j<m),\qquad \widehat f([m])=\mathbb E[D_m\chi_{[m]}] \tag{19}

である。全次数の coefficient は最後まで現れない。順序を平均しても、全ての順序が同じ coefficient を返す。

最後の座標を平均する形では (14) から

\widehat f([m])=\frac1m\sum_{i=1}^m \mathbb E_{x_{-i}}\delta_i f\chi_{[m]\setminus i},\qquad |F_m(L)|\le\frac{2^{m-1}}m\sum_i I_i. \tag{20}

cardinality threshold では右の全 $$m$$ 項が同符号・同絶対値を持ち、(20) も等号。順序平均を独立標本平均とみなして $m^{-1/2}$ や $(m!)^{-1/2}$ を追加する推論は、この threshold と (13) の independent-weight 例で反証される。martingale の分散分解は有効だが、全次数への算術固有の追加条件を供給しない。

FD7.1. 反集中・threshold degree・spline から移せない結論

Littlewood–Offord 型の反集中は、短い区間へ入る 符号を付ける前の個数または確率 を評価する。例えば Erdős の Theorem 1 は、実数 $|a_i|\ge1$ に対し $\sum_i\varepsilon_i a_i$ （ $\varepsilon_i\in\{-1,1\}$ ）が長さ2の 開区間 に入る個数を $\binom m{\lfloor m/2\rfloor}$ で抑える。必要な重みの下限、区間幅、端点規約を保たねばならない。この種の unsigned shell bound を (14) に使うことはできるが、shell 内の parity に新しい cancellation を生まない。FD4 の central-binomial bound も一般 downset の次元依存評価であって、actual prime logs の signed arithmetic estimate ではない。

weighted threshold の threshold degree が1という意味は「一次多項式の符号で表現できる」であり、Boolean Fourier degree が1という意味ではない。FD5 の equal-weight 例では最高次数係数が (12) の等号を達成する。symmetric functions を Krawtchouk basis へ落とす方法も、equal-weight cardinality threshold には適用できるが、一般の異なる重みでは関数が座標交換に不変ではない。従って同じ一変数化を actual prime weights に適用する追加根拠はない。

spline の total positivity または variation-diminishing theorem は、各定理の仮定を満たす場合でも、それだけで $D^{m-1}B_{\boldsymbol\lambda}$ の振幅や $$m$$ に一様な評価定数を与えない。ここでは任意の unequal-box convolution を $PF_\infty$ と仮定せず、(6) の明示式と (8) の variation を使う。正の spline の存在と目的の高階導関数の小ささを同一視しない。

FD8. Actual large-prime block：multiplicity を保持する

$A_{\le Y}(L)=\sum_{n\ { m squarefree},\,p\mid n\Rightarrow p\le Y} \mu(n)\mathbf1_{n\le e^L}$ とする。 $X\ge1$ 、 $\sqrt X\le Y\le X$ なら、 $n\le X$ は $$Y$$ より大きい素因数を高々一つ持つ。従って exact block decomposition は

\boxed{M(X)=A_{\le Y}(\log X) -\sum_{Y<p\le X}A_{\le Y}(\log(X/p)).} \tag{21}

$$p>Y$$ では $X/p<X/Y\le Y$ なので内側 cutoff は full $$M(X/p)$$ に一致する。cofactor ごとに有限和を交換すれば

\boxed{M(X)=A_{\le Y}(\log X) -\sum_{r\le X/Y}\mu(r)\bigl(\pi(X/r)-\pi(Y)\bigr).} \tag{22}

endpoint $$r=X/Y$$ では括弧は0。重複係数 $\pi(X/r)-\pi(Y)$ は同じ cofactor に付く大素数の個数であり、各 cofactor を一回だけに数え直してはいけない。 $Y<\sqrt X$ では二個以上の large primes の項も存在し、(21) の二項形式は一般に偽；その場合は (3) の全 block subsets を保持する。

例として $X=10,Y=\sqrt{10}$ では $A_{\le Y}(\log X)=1-1-1+1=0$ 。 $$r=1$$ の multiplicity は2（素数5,7）、 $$r=2$$ は1（素数5）、 $$r=3$$ は0。従って (22) は $$M(10)=0-(2-1)=-1$$ 。multiplicity を全部1へ潰した式ではこの計算を保持できない。

この再帰は actual prime logs と Möbius 係数を保持するが、 $\mu(r)$ と prime-count weight の相関評価を自動的に与えない。nonnegative な multiplicity を得たこと自体は、その signed sum の平方根 cancellation の証明ではない。

FD9. 一次照合、独立検算、判定

D. N. Kozlov, Convex Hulls of f- and β-Vectors (1997), DOI, Theorem 4.1 と §5, pp.429–430：normalized layer densities の単調性と skeleton vectors の convex hull。FD4 は同じ既知構造から parity functional の extremum を直接計算したもの。原論文 PDF の転載で本文を確認した。
Paul Erdős, On a Lemma of Littlewood and Offord (1945), Theorem 1, p.898：実重みの下限と開区間の幅を指定した unsigned concentration bound。FD7.1 ではこの範囲だけを使う。
Aline Bonami, Étude des coefficients de Fourier des fonctions de Lᵖ(G) (1970), chapitre III, Théorème 2 と Théorème 3, pp.374–376：tensorization と $(q-1)\rho^2\le p-1$ の二点群 noise multiplier。原文を確認した。
Ryan O’Donnell, Analysis of Boolean Functions, 著者公開版, Chapters 2, 5, 9–10、特に Chapter 5 の linear threshold functions と §10.1 p.284 の uniform noise normalization。本文の一般 product-space 版を、別の確率測度へ無条件に適用していない。
DESTROYER は FD4 の全 downset bound、 $$p_m$$ の mass に関する例外、FD5 の transcendental perturbation を独立検算して PASS。有限差分・prime block は本ノートに直接導出を記載した。原論文全体の再検証は主張しない。

Decision: exact finite-difference / spline identities、sharp universal parity bound、actual large-prime recursion を保持する。一般重みの irrationality、positive spline、noise contraction、martingale order averaging だけでより強い arithmetic cancellation を得る候補は、上記の係数・extremizer・復元費用により止める。actual prime-log weights に特有の追加評価は未証明であり、一般重みの反例をその不可能性と呼ばない。RH は OPEN。

$\(m\)$	$[0,1),[1,2),\ldots,[m-1,m)$ 上の値	最大絶対値
1	$\(1\)$	1
2	$\(1,-1\)$	1
3	$\(1,-2,1\)$	2
4	$\(1,-3,3,-1\)$	3