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公開用に整形した研究原資料の履歴snapshotです。本文の「現在」「完了」「PASS」は原記録の対象・時点に限定され、RH証明や公開環境での再実行を意味しません。 Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted research log · Text: CC BY 4.0. Source: research/weighted_prime_halfspace/notes/tilt_and_sieve_parity.md · Original SHA-256: 818053b00de34e1093d3f5b414156661954275df3be5461a2fcf0b210c204205. 原資料パスと公開パスの対応・書換え・export hashは公開source manifestを参照。本文のコード・検証ログは履歴であり、このexportでは再実行していません。

Weighted prime halfspace：Gibbs tilt と sieve parity の独立監査

2026-09-30。Track C の限定監査。旧ファイルを変更せず、有限 Gibbs 表示の exactness、復元相関、境界近傍の分布、divisor-density 情報の範囲だけを扱う。RH は未解決。新規性や一般的な sieve / probability methods 全体の不可能性を主張しない。

判定： exponential tilt は正確な変数変換である。しかし cutoff と parity の相関を product expectation に置換することはできない。actual prime weights では平均を境界へ合わせても相対的に狭い Gaussian window にはならず、通常の CLT を前提とする近似はこのままでは使えない。sieve parity については、誤差を明記した divisor-sum 補題と固定 divisor に対する模型を採用し、あらゆる sieve method に対する普遍的不可能性とは区別する。

TP1. 有限 Gibbs 表示：全実数の tilt に対して exact

(X\ge2)、(L=\log X)、(P_X={p:p\le X}) とする。subset (S\subseteq P_X) について

W(S)=\sum_{p\in S}\log p,\qquad \chi(S)=(-1)^{|S|}, \quad Z_\sigma=\prod_{p\le X}(1+p^{-\sigma}).

任意の実 $\sigma$ に対し

\mathbb P_\sigma(S)=Z_\sigma^{-1}e^{-\sigma W(S)}

は有限集合上の probability measure。各 prime の selection indicators (I_p) は独立 Bernoulli で

q_{p,\sigma}:=\mathbb P_\sigma(I_p=1)=\frac1{1+p^\sigma}.

全ての squarefree (n\le X) の prime factors は (P_X) に入るから、

\boxed{M(X)=Z_\sigma\,\mathbb E_\sigma [\chi\,e^{\sigma W}1_{W\le L}].} \tag{TP1.1}

これは近似でなく有限和の恒等式。small / large prime を切り落とした別模型ではない。

積として計算できるのは

\mathbb E_\sigma\chi =\prod_{p\le X}(1-2q_{p,\sigma}) =\prod_{p\le X}\frac{1-p^{-\sigma}}{1+p^{-\sigma}}. \tag{TP1.2}

復元重み $G_\sigma=e^{\sigma W}1_{W\le L}$ は各 prime の独立積ではない。従って (TP1.2) だけでは (TP1.1) を評価できない。

TP2. Bulk と remainder：相関を明示すれば target がそのまま残る

$Q_{\rm sf}(X)=\sum_{n\le X}\mu(n)^2$ とすると $\mathbb E_\sigma G_\sigma=Q_{\rm sf}(X)/Z_\sigma$ 。よって

\boxed{M(X)=Q_{\rm sf}(X)\,\mathbb E_\sigma\chi +Z_\sigma\operatorname{Cov}_\sigma(\chi,G_\sigma).} \tag{TP2.1}

ここで covariance は実確率変数の通常のもの。前半を bulk と呼んでも、後半は元の signed cutoff に関する情報を保持する。独立な見積りなしに remainder を小さいと仮定してはいけない。

Exact finite countertest

(X=3,\sigma=1) では (P_X={2,3})、(Z=2)。

(S)	∅	{2}	{3}	{2,3}
probability	(1/2)	(1/4)	(1/6)	(1/12)
parity $\chi$	(1)	(-1)	(-1)	(1)
$G=e^W1_{W\le\log3}$	(1)	(2)	(3)	(0)

従って

\mathbb E\chi=\frac16,\quad \mathbb EG=\frac32,\quad \mathbb E(\chi G)=-\frac12,\quad \operatorname{Cov}(\chi,G)=-\frac34.

復元値は

M(3)=-1=\underbrace{\tfrac12}_{\text{bulk}} \underbrace{-\tfrac32}_{Z\operatorname{Cov}}.

product of expectations へ置換すると符号まで間違う。これは tilt の exactness の反例ではなく、独立性を失った observable を独立と扱う推論の反例。

TP3. Saddle equation の存在範囲

m_X(\sigma)=\mathbb E_\sigma W =\sum_{p\le X}\frac{\log p}{1+p^\sigma},\qquad v_X(\sigma)=\operatorname{Var}_\sigma W =\sum_{p\le X}\frac{p^\sigma(\log p)^2}{(1+p^\sigma)^2}.

有限 prime set が空でないとき

m_X'(\sigma)=-v_X(\sigma)<0,\quad m_X(-\infty)=\vartheta(X),\quad m_X(+\infty)=0,

ただし $\vartheta(X)=\sum_{p\le X}\log p$ 。従って finite real saddle $m_X(\sigma_X)=L$ が存在する必要十分条件は

0<L<\vartheta(X).

存在すれば一意。さらに $\sigma_X>0$ の必要十分条件は $L<\vartheta(X)/2$ 。例えば (X=2) は (L=\vartheta(X)) なので有限 saddle を持たない。

PNT により $\vartheta(X)\sim X$ なので、十分大きい (X) では positive saddle が存在する。使用する標準入力は PNT のみであり、RH は不要。DLMF §27.12, Eq.(27.12.5) はこれより強い無条件の prime-count estimate を記録している。

TP4. Boundary scale の揺らぎ：Gaussian concentration を仮定できない

PNT と部分和分により、固定 (r>0) について

\sum_{p\le X}\frac{(\log p)^r}{p} \sim\frac{L^r}{r}.

分母 (p+1) と (p) の差は $\sum (\log p)^r/p^2<\infty$ で処理できる。従って

m_X(1)\sim L,\qquad v_X(1)\sim\frac12L^2. \tag{TP4.1}

標準偏差は境界位置 (L) と同じ order。この事実だけでも relative narrow-window approximation の根拠にはならない。

TP4.1. Limiting Laplace transform の直接導出

$u_p=\log p/L$ と置く。固定 (t\ge0) について

\log\mathbb E_1e^{-tW/L} =\sum_{p\le X}\log\left(1+\frac{e^{-tu_p}-1}{p+1}\right).

$|e^{-tu}-1|\le C_tu$ と $q_{p,1}\le1/3$ により、二次誤差は $O_t(L^{-2}\sum_p(\log p)^2/p^2)=o(1)$ 。(1/(p+1)) を (1/p) へ替える誤差も (O_t(L^{-1}\sum_p\log p/p^2)=o(1))。

PNT の部分和分で

\nu_X:=\frac1L\sum_{p\le X}\frac{\log p}{p}\delta_{u_p} \ \Longrightarrow\ du\quad\text{on }[0,1].

実際、固定 (0<a\le1) に対する左辺の $$[0,a]$$ mass は $L^{-1}\sum_{p\le X^a}\log p/p\to a$ 。 $(e^{-tu}-1)/u$ は (u=0) に連続延長できるので

\boxed{\mathbb E_1e^{-tW/L}\longrightarrow \exp\left(\int_0^1\frac{e^{-tu}-1}{u}\,du\right).} \tag{TP4.2}

平均の有界性から (W/L) は tight であり、(TP4.2) と Laplace transform の一意性が極限分布を定める。固定 (z>0) について $\log\mathbb E e^{zW/L}\le\sum_{p\le X}(e^{zu_p}-1)/(p+1)=O_z(1)$ なので moments も一様可積分。従って mean (1)、variance (1/2)、third cumulant (1/3) の非Gaussian極限である。定数・分類の新規性は主張せず、ここではこの明示的 Laplace transform だけを使う。

TP4.2. Actual saddle にも同じ極限が残る

固定 (c\in\mathbb R)、 $\sigma=1+c/L$ とすると同じ部分和分から

\frac{m_X(1+c/L)}L\longrightarrow\int_0^1e^{-cu}du.

右辺は (c=0) で (1)、(c>0) で (1) 未満、(c<0) で (1) より大きい。単調性で saddle を挟めば

(\sigma_X-1)L\longrightarrow0.

従って TP4.2 の積の計算は $\sigma=\sigma_X$ でも同じ極限を与え、 $v_X(\sigma_X)/L^2\to1/2$ 。平均を正確に (L) へ動かすだけでは Gaussian 化しない。

TP4.3. Lindeberg condition の具体的失敗

$Y_p=(\log p)(I_p-q_{p,1})$ 、 $$s_X^2=v_X(1)$$ とする。 prime (p\in[X^{1/2},X]) が selected のとき、十分大きい (X) では $$|Y_p|>s_X/2$$ 。その contribution は

\frac1{s_X^2}\sum_{X^{1/2}<p\le X} q_{p,1}(1-q_{p,1})^2(\log p)^2\longrightarrow\frac34.

従って Lindeberg sum はゼロに向かわない。ordinary Gaussian CLT/LCLT を独立 Bernoulli という語だけで適用することはできない。ただし非Gaussian極限を使う精密な saddle analysis 自体を否定してはいない。

TP5. Infinite product の存在と parity observable

$\sigma>1$ では $\sum_pq_{p,\sigma}<\infty$ 。独立 product measure の selected primes は almost surely 有限、(W<\infty)、 $\chi=(-1)^{\#S}$ は正しく定義できる。この域では

Z_\sigma^{(\infty)}=\frac{\zeta(\sigma)}{\zeta(2\sigma)},\qquad \mathbb E_\sigma\chi=\frac{\zeta(2\sigma)}{\zeta(\sigma)^2}. \tag{TP5.1}

通常の絶対収束 Euler products の計算であり、解析接続による確率解釈ではない。

一方、全実数 $\sigma\le1$ で $\sum_pq_{p,\sigma}=\infty$ 。second Borel–Cantelli により infinitely many primes が selected、従って (W=\infty) almost surely。finite parity products は infinitely many selections のたびに符号を反転するので、 $(-1)^{\#S}$ はこの極限の通常の random variable として定義されない。

特に (0\le\sigma\le1) では finite-prime expectations $\prod_{p\le y}(1-2q_{p,\sigma})\to0$ 。これは arithmetic answer がゼロという意味ではない。存在しない infinite parity を expectation の極限で代用しても、(TP1.1) の weighted cutoff correlation は復元できない。

負の tilt に関する範囲修正： finite expectations がゼロに収束するという statement は、全 $\sigma\le1$ には広げられない。 $-1\le\sigma<0$ では絶対値がゼロに向かうが、 $\sigma<-1$ では $a=-\sigma>1$ として

\prod_{p\le y}(1-2q_{p,\sigma}) =(-1)^{\pi(y)}\prod_{p\le y}\frac{1-p^{-a}}{1+p^{-a}},

絶対値は $\zeta(2a)/\zeta(a)^2>0$ へ、符号は振動する。どちらの場合も (W=\infty) と parity の未定義性は変わらない。

TP6. Sieve parity：誤差を明記した限定補題

原資料の範囲を区別する。Tao 2007 の parity problem 解説は nonnegative weights (1\pm\lambda(n)) による divisor-sum argument を説明する。Tao 2015 Notes 4 §5 は広い parity barrier を informal とし、pseudorandomness input に依存することを明記している。これを「あらゆる篩手法が不可能」という証明済み定理として採用しない。Selberg 原論文そのものの全面的監査も行っていない。

以下は同じ仕組みを有限和と明示的誤差に限定した補題である。 $\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)}$ は multiplicity 込みの Liouville 関数、(I=(N,2N])、 $A\subset I$ 上で $\lambda=-1$ とする。有限 divisor sum

F(n)=\sum_d c_d1_{d\mid n},\quad U:=\sum_{n\in I}F(n),\quad E_\lambda:=\sum_{n\in I}F(n)\lambda(n)

について、

(F\le1_A) なら (0\ge\sum F(1+\lambda)=U+E_\lambda)、従って (U\le|E_\lambda|)。
(F\ge1_A) なら $2|A|\le\sum F(1-\lambda)=U-E_\lambda$ 、従って (U\ge2|A|-|E_\lambda|)。

全て有限の exact inequalities。例えば

U=N\sum_dc_d/d+O\!\left(\sum_d|c_d|\right),\qquad |E_\lambda|\le\sum_d|c_d| \left|\sum_{n\in I,d\mid n}\lambda(n)\right|.

後者が claimed main term より小さいと別途示せる classでは、下限の正の主項や上限の factor (2) 改善が妨げられる。arbitrary weights、arbitrary levels、arbitrary joint correlations でその誤差が小さいとは仮定しない。

TP7. Local divisor densities が parity を識別しない具体模型

まず $a_n^\pm=1\pm\lambda(n)\ge0$ 。prime (p) では (a_p^+=0)、(a_p^-=2) であり、二列は反対の $\Omega$ -parity に支えられる。しかし

\sum_{n\le X,d\mid n}a_n^\pm =\lfloor X/d\rfloor\pm\lambda(d) \sum_{m\le X/d}\lambda(m). \tag{TP7.1}

既知の PNT 同値の $\sum_{m\le Y}\lambda(m)=o(Y)$ により、各固定 (d) に対して両列は同じ leading density (X/d) を持つ。これだけでは (d) が (X) とともに増える sieve level の総誤差を制御したことにならない。

本 track は squarefree weights なので、 $\lambda$ と $\mu$ の区別を残す。対応する非負列は

b_n^\pm=\mu(n)^2(1\pm\lambda(n))=\mu(n)^2\pm\mu(n).

squarefree support 上では parity は $(-1)^{\omega(n)}$ であり、両列は反対の parity に支えられる。固定 squarefree (d) に対して

\sum_{n\le X,d\mid n}b_n^\pm =\sum_{n\le X,d\mid n}\mu(n)^2 \ \pm\mu(d)\sum_{m\le X/d,(m,d)=1}\mu(m). \tag{TP7.2}

前半は

\frac{X}{\zeta(2)d}\prod_{p\mid d}\frac{p}{p+1}+o(X),

後半は固定 (d) で (o(X))。後者は (M(Y)=o(Y)) と、有限集合 (p\mid d) の Euler factors を外す幾何級数から従う： $\sum_{(m,d)=1,m\le Y}\mu(m)=\sum_{a\le Y,\,a\text{ is }d\text{-smooth}}M(Y/a)$ 、 $\sum_{a\text{ is }d\text{-smooth}}1/a=\prod_{p\mid d}(1-1/p)^{-1}<\infty$ に dominated convergence を適用する。nonsquarefree (d) なら両列の divisor sum はともにゼロ。

従って even/odd squarefree parity を完全に分けた列が、同じ固定-divisor leading density を共有する。これは $\mu^2$ の total mass と $\mu$ の signed imbalance を混同する推論への具体的な障害である。正確な全 divisor data が与えられれば逆変換できるため、「全ての divisor 情報でも parity が見えない」とは言わない。

TP8. 結論と未供給の入力

対象	判定
finite Gibbs reconstruction	全実 $\sigma$ で exact
“復元 expectation = expectations の積”	偽、(X=3,\sigma=1) で符号も逆
saddle の finite existence	(0<\log X<\vartheta(X)) に限定、大きい (X) では positive
boundary tilt だけで狭い Gaussian fluctuation	偽、normalized variance (1/2)、非Gaussian極限
infinite $\sigma\le1$ の通常の parity expectation	parity observable が未定義
local leading densities だけで parity bias を決定	できない、二つの非負 parity 列が同じ densities を共有
sieve / saddle / nonGaussian methods 全般	否定対象外

新たに必要なのは、actual cutoff の parity と reconstruction weight の相関に対する具体的な算術評価である。tilt の正性、独立 Bernoulli coordinates、bulk expectation の積表示だけではこの評価を供給しない。本監査に数値実験は用いていない。