STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

公開用に整形した研究原資料の履歴snapshotです。本文の「現在」「完了」「PASS」は原記録の対象・時点に限定され、RH証明や公開環境での再実行を意味しません。 Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted research log · Text: CC BY 4.0. Source: research/arithmetic_restoring_force/notes/diagnostics_and_scope.md · Original SHA-256: 14582cd8e7a52c5415faa4ff83e5ce6151e0bda320c097409a1d74e7f77c3055. 原資料パスと公開パスの対応・書換え・export hashは公開source manifestを参照。本文のコード・検証ログは履歴であり、このexportでは再実行していません。

Scalar / theta診断の規約と適用限界

2026-09-30。有限数値は式と反例の点検だけに使う。RHや全域の符号の証明には使わない。

1. 数値結果

再現スクリプトと全結果を保存した。mpmath 50桁、一部を80桁で照合。interval certificationではない。

零点から離れた点も含む $a=\sigma-1/2\ne0$ 、 $0\le t\le100$ の128点では、 $a\Re(\xi'/\xi)>0$ に反する点は見つからなかった。この有限事実から全域への主張はしない。
中心 $$a=0$$ の16個のregularな標本では曲率は正だった。全 $$t$$ の符号の証明ではない。
第一の既知critical-line零点のordinate近傍では、水平log曲率に負値が現れた。例えば $a=0.1,t\approx14.1347251417$ で約 $$-99.9323338541$$ 。これは一般の零点局所展開による解析的反証と整合する。零点の単純性は一般証明の前提にしていない。
theta二積分とcompleted $\xi$ を5点で比較し、最大差は約 $8.61\times10^{-52}$ 。有限n和・有限積分域による診断であり、一般の積分恒等式の証明はthetaノートを参照する。
$\sigma=8$ で、prime-side対数微分は $$t=0$$ で約 $$-0.00289016830805$$ 、 $t=\pi/\log2$ で約 $$+0.00265101738134$$ 。

数値でfirst-derivative lawを反証できなかったことと、独立な復元法則が証明されたことは別である。全域lawがRH同値であることが主要な終了理由。

2. Prime-sideの反対符号は解析的にも証明できる

$\sigma>1$ では絶対収束で

\partial_\sigma\log|\zeta(\sigma+it)| =-\sum_{n\ge2}\frac{\Lambda(n)}{n^\sigma}\cos(t\log n).

$\sigma=8,t=0$ なら全非零項が負である。 $\sigma=8,t=\pi/\log2$ なら $$n=2$$ 項は $\log2/2^8>1/512$ 。他の全項の絶対値は

\sum_{n\ge3}\frac{\log n}{n^8} \le \frac{\log3}{3^8} +3^{-7}\left(\frac{\log3}{7}+\frac1{49}\right) <\frac2{3^8}+3^{-7}\left(\frac27+\frac1{49}\right).

ここでは減少関数のsum–integral比較、 $\Lambda(n)\le\log n$ 、 $\log2>1/2,\log3<2$ だけを用いた。主項下界から尾の上界を引くとexact rational number

\frac{248273}{164602368}>0

となる。従ってprime-side符号の不定性は有限数値に依存しない。completed $\xi$ について同じ反例が成立するとはいわない。Gamma・pole-removal項を落としてはならない。

独立scalar監査には別に $\sigma=4$ のより強い例も記録される。二つの例は同じ不足を示すもので、別候補へ数えない。

3. Horizontal curvatureと二次元potentialは別

零点のない近傍で $\log|\xi(\sigma+it)|$ はharmonic:

\partial_\sigma^2 V+\partial_t^2 V=0.

従って水平曲率が正でも、二次元でpositive-definiteなHessianを得たことにならない。特に $$s=1/2$$ は対称性でgradientが0、actual theta kernelから水平曲率が正なので、二次元Hessianは正負一つずつのsaddleである。一般の $$1/2+it$$ では水平微分0でも垂直微分は0とは限らず、二次元のcritical pointだと呼べない。

単純な水平復元力を定義してgradient flowを新たに置くことも、actual zerosがそのflowに従うこととは異なる。今回そのような人工的なdynamicsは導入しない。

4. Energy / Gaussian observableの再開条件

前トラックで固定した

A(u)=e^{-u/2}\sum_n\mu(n)e^{-(u-\log n)^2}

をそのまま保持する。全域scalar符号から全零点実部 $$1/2$$ が出れば、既存Gaussian criterionを介して準指数成長が出る。しかしその全域符号自体がRH同値で、新しい独立算術入力ではない。

既存 Gaussianノート G7 はactual $A\notin L^2(\mathbb R)$ を無条件に確認している。従ってunweighted有限energyを再仮定しない。任意のweightを付ければ発散を隠せても、全zero modesの検出と必要なgrowth評価を保存したことにはならない。

$\log|\xi(\sigma+it)|$ は $(\sigma,t)$ の関数であり、それをそのまま $$u$$ -energyのpotentialへ挿入する算術恒等式は得ていない。新しいpositive metric、self-adjoint generator、weighted completion、Weil形式への置換は実施しない。

「電子の束縛」「重力」「復元力」は着想上の説明であり、数式の根拠・仮定・引用証拠として使用しない。

公開版の参照案内（編集注）

本文中のsource-relative pathは原記録の識別子です。収録先:

以下は原記録のprovenanceで、公開版には含めていません（非リンク）。第三者原著は本文の外部引用URLを参照してください。

experiments/check_scalar_theta.py — SOURCE REFERENCE NOT INCLUDED
experiments/results.json — SOURCE REFERENCE NOT INCLUDED