STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

公開用に整形した研究原資料の履歴snapshotです。本文の「現在」「完了」「PASS」は原記録の対象・時点に限定され、RH証明や公開環境での再実行を意味しません。 Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted research log · Text: CC BY 4.0. Source: research/common_parent/notes/rayleigh_calculation.md · Original SHA-256: 774d1a240a39482303220fb7a72a2b4f71cf227e35afb089dec9b260acc86b09. 原資料パスと公開パスの対応・書換え・export hashは公開source manifestを参照。本文のコード・検証ログは履歴であり、このexportでは再実行していません。

Step 31: actual scoring と、得られた量の限界

2026-09-30。RH OPEN。有限データは証明ではない。

1. 算術から計算する式

dictionary の $Q=Q_{\lambda,N}$ と $b=P_Nk_\lambda/\|P_Nk_\lambda\|$ を用いた。同じmatrixにするために必要な射影を明示し、raw $k_\lambda$ を偶化しなかった。

R_B=b^*Qb=R_{\rm pole}+R_\Gamma+R_{\rm prime},\qquad \varepsilon=R_B-e_0,\quad \Delta=e_1-e_0,\quad \eta=\varepsilon/\Delta.

有限matrixの厳密なentriesはCCM §4および旧repoで既に監査された prime-power finite sumとarchimedean積分で与えられる。新scriptはその三成分を別々に組み立て、旧 $$c=13,N=4$$ Arb行列と照合した。

oldの $$c$$ は $\lambda^2$ というprime-power cutoffであり、 prolateのparameter $c_{\rm prolate}=2\pi\lambda^2$ とは違う。

2. 再現手順と数値の意味

seed：orthonormal Legendre基底で $$P_c=-((1-y^2)h')'+c^2y^2h$$ のeven blockをRitz近似。
even block内のindex0,2がprolate次数0,4。各積分はLegendre定数係数から計算。
mean-zero方向 $$h_4-(I_4/I_0)h_0$$ を使う。各modeの任意スカラー変更に不変。
seedを $x=\lambda y$ へ戻し、有限整数和で $k_\lambda$ を生成。
log座標のjumpとその反転位置を全て積分分割点に含める。
Legendre次数80→128、各segmentのGauss次数32→64、 archimedean積分次数256→512で診断上の変動を確認。
$\lambda^2=2,3,5,9,13,25$ 、 $$N=4,8,16$$ の18例。
gapがdouble精度を下回るため9例を288-bit Arb assembly、75桁mpmathで再計算。そのtrial係数はdouble計算からの丸め値。proxy近似全体をinterval認証したわけではない。 Arb行列もmidpointをmpmathへ渡すので、固有値・gap・score自体も区間認証ではない。

再実行は bundled Python（NumPyあり）で research/common_parent/experiments/rayleigh_probe.py、次に .venv-cert/bin/python で research/common_parent/experiments/high_precision_scores.py を実行する。旧scriptは関数をread-onlyでimportし、旧結果を上書きしない。 high-precision側はbytecode書込も無効にした。

3. 診断結果

次は高精度matrixと丸めtrialの値。掲載桁は比較の尺度を示すだけで誤差保証ではない。

$\lambda^2$	$$N$$	$$e_0$$	$$R_B$$	$\Delta$	$\varepsilon/\Delta$	ground overlap squared
2	4	$1.73553\,10^{-3}$	$1.95493\,10^{-3}$	$1.03506\,10^{-1}$	$2.11972\,10^{-3}$	0.99978990
3	4	$3.05582\,10^{-7}$	$3.07328\,10^{-7}$	$5.32075\,10^{-5}$	$3.28082\,10^{-5}$	0.99999995
5	4	$9.04246\,10^{-11}$	$6.00467\,10^{-7}$	$1.58783\,10^{-8}$	37.8112	0.99548421
5	8	$4.57014\,10^{-15}$	$5.60528\,10^{-13}$	$2.20320\,10^{-12}$	0.252341	0.99988509
9	8	$1.78802\,10^{-20}$	$2.76804\,10^{-11}$	$8.69688\,10^{-18}$	$3.18280\,10^6$	0.99470913
13	8	$7.67439\,10^{-23}$	$8.19928\,10^{-10}$	$3.90717\,10^{-20}$	$2.09852\,10^{10}$	0.98487843

掲載 $$R_B$$ の正確な表示値は high_precision_results.json を正本とする。いくつかの $$R_B$$ は極小でもgapはそれ以上に小さい。低いenergyだけでground proximityを認証できない。

大きな $\eta$ は「距離が大きい」の下界ではない。たとえば最後の行でもoverlap squaredは約0.985である。それはこのgapを用いた一般上界が弱いことを意味する。固定 $$N$$ の悪化や有限パラメータの非単調性から、適切な同時極限の失敗を結論しない。

precision gate

doubleのみの $$c=9,N=8$$ では、gapがroundoffに埋もれground overlapの値まで壊れた。これらは最初のJSONに gap_resolved_in_float64=false として残し、結論にはhigh-precision再計算の方だけを用いた。小さな負のdouble固有値をWeil不正値性やRH反例と扱っていない。

4. exact gap lemma

$$Q=Q^*$$ 、単位ground $$v_0$$ 、単純最小固有値 $$e_0$$ 、 $e_1-e_0=\Delta>0$ 、単位trial $$b$$ とする。固有vector展開 $b=\sum c_jv_j$ から

\varepsilon=\sum_{j\ge1}(e_j-e_0)|c_j|^2 \ge\Delta(1-|c_0|^2).

従って

\operatorname{dist}(b,\mathbb Cv_0)^2\le\eta,\qquad \min_{|\omega|=1}\|b-\omega v_0\|^2 =2(1-|c_0|)\le2\eta. \tag{R}

この補題は有限次元で完全であり、下に有界な自己共役作用素なら form domainと孤立単純groundを指定して同じspectral measure証明が使える。

残差 $$r=(Q-R_B)b$$ については、 $$R_B<e_1$$ の同定があれば

\|(I-P_0)b\|\le\frac{\|r\|}{e_1-R_B}.

残差が0でもexcited stateであり得るため、lowest clusterへの同定を省略しない。認証下界 $\beta\le e_1$ 、 $\beta>R_B$ があれば分母を $\beta-R_B$ に弱められる。

5. $\eta\to0$ と G* は同じではない

$p=P_Nk_\lambda$ 、 $c=\langle v_0,p\rangle$ とする。投影scalarを許せば(R)から

\|cv_0-k_\lambda\|_2\le d_{\lambda,N}:=\|p\|_2\sqrt{\eta}+\|(I-P_N)k_\lambda\|_2. \tag{R2}

既知のscalar規格化で $\widehat k_\lambda\to\mathscr X/4$ を用いる。任意 $$r>0$$ について

\sup_{|\Im z|\le r}|c\widehat v_0(z)-\widehat k_\lambda(z)| \le \left(\frac{\lambda^{2r}-1}{r}\right)^{1/2}d_{\lambda,N}. \tag{R3}

証明は $$[-a,a]$$ 上のCauchy–Schwarzと $\int e^{2r|t|}dt=(\lambda^{2r}-1)/r$ 。従って $$0<r<1/2$$ 全てで右辺が0へ行けば、 $$z_*=i/4$$ の非零極限も使ってG*が出る。単なる $\eta\to0$ にはこの窓依存率もprojection tailも含まれない。共通有限support内の $$L^2$$ 収束を、増大するsupportでの複素一様収束と同一視しない。

raw proxyは小さいjumpを持ち得るので、根拠なく $$H^1$$ Fourier-tail評価を使わない。周期端点jumpを含めた全変動 $V_\lambda$ を用いれば

\|(I-P_N)k_\lambda\|_2 \le \frac{\sqrt{\log\lambda}}{\pi\sqrt N}V_\lambda

が安全なBV評価。これを実際に(R3)の必要率まで評価する義務は残る。

6. 判定

Step31の有限代入とgap比較は実行した。無条件の全パラメータalmost-minimizer bound、gap比の極限、残差の算術的なrateは取得していない。粗い下界、有限例のoverlap、prolate自身のleakageではこの不足を埋められない。数値表を増やすだけの延長は行わない。

公開版の参照案内（編集注）

本文中のsource-relative pathは原記録の識別子です。収録先:

以下は原記録のprovenanceで、公開版には含めていません（非リンク）。第三者原著は本文の外部引用URLを参照してください。

experiments/high_precision_results.json — SOURCE REFERENCE NOT INCLUDED