STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

公開用に整形した研究原資料の履歴snapshotです。本文の「現在」「完了」「PASS」は原記録の対象・時点に限定され、RH証明や公開環境での再実行を意味しません。 Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted research log · Text: CC BY 4.0. Source: research/full_ground_capture/notes/moment_asymptotic.md · Original SHA-256: f633625f109e913be7f21dc91e7df35b69a3405e94b314191a164e9126a7c6ec. 原資料パスと公開パスの対応・書換え・export hashは公開source manifestを参照。本文のコード・検証ログは履歴であり、このexportでは再実行していません。

Actual ξ-weight の偶数モーメントと cyclicity

STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

2026-09-30。Priority 1（cyclicity）のみ。新規性を主張しない。旧研究・公開監査snapshotは読み取りのみ。有限head、増大する微分次数の uniform selection、全ground captureは本ノートの対象外である。

MA1. 規約と結論

既存SH1と同じく

\xi(s)=\tfrac12s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s),\qquad \mathscr X(x)=\xi(\tfrac12+ix),\qquad \widehat k(x)=\mathscr X(x)/4,\quad k=\Phi/4. \tag{MA1}

Fourier変換は $\widehat f(x)=\int_{\mathbb R}f(t)e^{-ixt}\,dt$ 。偶数階微分には反対符号のFourier規約でも同じ式が成り立つ。以下のモーメントは確率規格化せず、両半直線を含む

d\mu(x)=|\mathscr X(x)|^2dx,\qquad m_{2n}=\int_{\mathbb R}x^{2n}\,d\mu(x),\qquad n\ge0 \tag{MA2}

である。 $\mu$ は有限・偶・正測度で、全モーメントを持つ。 $a=\pi/2$ 、 $$v=2n+9/2$$ 、 $\psi=\Gamma'/\Gamma$ とすると、無条件に

\boxed{ m_{2n}=\sqrt{2\pi}\,\frac{\Gamma(v)}{a^v} \left\{\psi(v)+2\gamma-\log(\pi^2)+O(v^{-1/12})\right\}.} \tag{MA3}

従って特に

m_{2n}\sim \sqrt{2\pi}\, \frac{\Gamma(2n+9/2)}{(\pi/2)^{2n+9/2}}\log n, \qquad m_{2n}^{-1/(2n)}\sim\frac{e\pi}{4n}. \tag{MA4}

最初の漸近式は $n\to\infty$ の意味であり、 $$n=0,1$$ へ代入する近似ではない。さらに括弧内は $\log n+\log2+2\gamma-2\log\pi+o(1)$ 。

依存の分離。 MA3の鋭い係数と加法定数には、既知の無条件平均二乗誤差を使う。全モーメント、Carleman条件、モーメント決定性、偶多項式の密度、 $\overline{\operatorname{span}\{k^{(2j)}:j\ge0\}}=L^2_{\rm even}(\mathbb R)$ にはその強い平均二乗入力は不要である。MA2以降の正測度は actual Weil形式の正値性を仮定したものではない。

MA2. 初等上界だけで全モーメントとCarleman

整数 $N\ge1$ 、 $\Re s>0$ 、 $s\ne1$ に対するEuler summationは

\zeta(s)=\sum_{n\le N}n^{-s}+\frac{N^{1-s}}{s-1} -s\int_N^\infty\{u\}u^{-s-1}\,du. \tag{MA5}

まず $\Re s>1$ で部分積分し、右辺の正則性により指定領域へ延長できる。 $$s=1/2+it$$ 、 $N=\lceil1+|t|\rceil$ とすれば

|\zeta(1/2+it)|\ll(1+|t|)^{1/2}. \tag{MA6}

ここでは三項を絶対値で抑えるだけでよく、convexity、RH、Lindelöfは不要。 $$N=1$$ のさらに粗い $$O(1+|t|)$$ でも以下の目的には十分である。

Stirlingから、 $t\ge1$ において

\begin{aligned} |\mathscr X(t)|^2 &=\frac{(t^2+1/4)^2}{4\sqrt\pi} |\Gamma(1/4+it/2)|^2|\zeta(1/2+it)|^2,\\ |\Gamma(1/4+it/2)|^2 &=2\pi(t/2)^{-1/2}e^{-\pi t/2}\{1+O(t^{-1})\},\\ |\mathscr X(t)|^2 &=\sqrt{\pi/2}\,t^{7/2}e^{-at} |\zeta(1/2+it)|^2\{1+O(t^{-1})\}. \end{aligned} \tag{MA7}

定数には $$s(s-1)$$ 、 $$t/2$$ 、最後の両半直線の因子2を全て保持した。 Stirlingの規約はDLMF 5.11.1, 5.11.3, 5.11.9 と照合した。相対誤差 $O(t^{-1})$ で十分であり、より細かい展開は不要。

従って

|\mathscr X(t)|^2\le C(1+|t|)^{9/2}e^{-a|t|},\qquad \int e^{b|t|}\,d\mu(t)<\infty\quad(0\le b<a), \tag{MA8}

および、 $$C$$ を調整して全 $n\ge1$ に

m_{2n}\le C\left(1+a^{-2n-11/2}\Gamma(2n+11/2)\right). \tag{MA9}

実軸のStirlingを右辺へ適用すれば $m_{2n}^{1/(2n)}\le C'(n+1)$ 。ゆえに

\sum_{n\ge1}m_{2n}^{-1/(2n)}=\infty. \tag{MA10}

これは $\mu$ に対するHamburger Carleman条件である。 MA3/MA4を使わずに成立する点が重要。

MA3. 鋭い平均式に使う既知入力と帰属

M(T)=\int_0^T|\zeta(1/2+it)|^2dt =T\log(T/(2\pi))+(2\gamma-1)T+E(T). \tag{MA11}

採用する一次文献はAleksander Simonič and Valeriia V. Starichkova, Atkinson's formula for the mean square of ζ(s) with an explicit error term, arXiv:2105.06821v3（2022-12-13）、 J. Number Theory 244 (2023), 111–168。同v3の式(1)、Corollary 1・式(15)（PDF p.4）、 §7 Theorem 3（PDF p.41）とその直後の証明を照合した。同定理は、固定した十分大きい $$T_0$$ と $T\ge1.1T_0$ で

|E(T)|\le J(T_0)T^{1/3}(\log T)^{5/3} \tag{MA12}

を与える。有限区間では定数を拡大できるので、本ノートで使う弱い帰結は

E(T)=O((1+T)^{5/12}). \tag{MA13}

原著の全42頁を再証明・機械検証したという意味ではなく、既知定理を入力として使う。当該一次原著の版と定理、必要な帰結を固定したものである。

帰属訂正。 $T^{1/3}\log^2T$ をInghamに帰属させない。同v3の序論・式(2)はInghamに $\sqrt T\log T$ を、式(12)は $T^{1/3}\log^2T$ をMotohashiに帰属する。今回は未取得のIngham原版や Motohashi原版を直接確認済みとは記載せず、MA12を採用する。

MA4. 集中するLaplace重みへの誤差転送

必要な一般補題を示す。 $0\le\theta<1/2$ とし、MA11の誤差が $|E(t)|\le C(1+t)^\theta$ を満たすとする。固定 $$a>0$$ 、 $v\to\infty$ に対し

J_v:=\int_0^\infty t^{v-1}e^{-at}|\zeta(1/2+it)|^2dt =\frac{\Gamma(v)}{a^v} \left\{\psi(v)-\log(2\pi a)+2\gamma +O(v^{\theta-1/2})\right\}. \tag{MA14}

証明： $w_v(t)=t^{v-1}e^{-at}$ とする。MA11の主項を微分すれば $\log(t/(2\pi))+2\gamma$ であり、Gamma積分とその $$v$$ 微分から MA14の主項が正確に得られる。誤差はStieltjes部分積分により

\int_0^\infty w_v(t)\,dE(t)=-\int_0^\infty w_v'(t)E(t)\,dt. \tag{MA15}

$$v>2$$ なら0での境界項は消え、無限大ではexponential重みが消す。 $$X$$ をshape $$v$$ 、rate $$a$$ のGamma分布とすれば、正規化した誤差は

\left|\frac{a^v}{\Gamma(v)}\int w_v\,dE\right| \le C\,\mathbb E\left[ \left|\frac{v-1}{X}-a\right|(1+X)^\theta\right]. \tag{MA16}

負モーメントを直接積分すると

\mathbb E(X^{-1})=\frac a{v-1},\quad \mathbb E(X^{-2})=\frac{a^2}{(v-1)(v-2)},\quad \mathbb E\left[\left(\frac{v-1}{X}-a\right)^2\right]=\frac{a^2}{v-2}. \tag{MA17}

またGamma比または $0\le2\theta<1$ の凹性により $\mathbb E(1+X)^{2\theta}=O(v^{2\theta})$ 。Cauchy–Schwarzで MA16は $O(v^{\theta-1/2})$ 、従ってMA14が成立する。 MA13により $\theta=5/12$ を取れば誤差は $O(v^{-1/12})=o(1)$ 。

この一段が必要な理由は、重みの中心が $t\asymp v$ 、幅が $\asymp\sqrt v$ だからである。全域平均 $M(T)\sim T\log T$ だけからこの集中幅で正しい係数を取り出せると推論していない。誤差を絶対積分してもよいが、 $$w_v'$$ の $v^{-1/2}$ のgainを失わない評価が必要である。

MA5. MA3の完成と正規化

MA7の相対 $O(t^{-1})$ を使い、 $$v=2n+9/2$$ とすると

m_{2n}=\sqrt{2\pi}\,J_v+O(J_{v-1})+O(1). \tag{MA18}

最後の有界項は $0\le t\le1$ を分離したもの。 MA14を $$v-1$$ にも適用すれば

\frac{J_{v-1}}{\Gamma(v)a^{-v}}=O(\log v/v). \tag{MA19}

$O(1)/(\Gamma(v)a^{-v})$ も無視できる。 $2\pi a=\pi^2$ を代入してMA3が得られる。 $\psi(v)=\log v+O(v^{-1})$ と実StirlingからMA4も従う。

本ノートの $m_{2n}$ と物理側のSobolev normには

\int x^{2n}|\widehat k(x)|^2dx=\frac{m_{2n}}{16},\qquad \|k^{(j)}\|_2^2=\frac{m_{2j}}{32\pi},\qquad \|k^{(2j)}\|_2^2=\frac{m_{4j}}{32\pi} \tag{MA20}

という関係がある。 $$1/16$$ とPlancherelの $1/(2\pi)$ を混同しない。

MA6. 決定性と偶多項式の密度を直接確認する

Carlemanという名称だけに依存しない短い証明を付す。 MA8から任意 $$0<b<a$$ について指数momentが有限。もし正測度 $\widetilde\mu$ が $\mu$ と全モーメントを共有すれば、単調収束により

\int\cosh(bx)\,d\widetilde\mu =\sum_{n\ge0}\frac{b^{2n}m_{2n}}{(2n)!} =\int\cosh(bx)\,d\mu<\infty. \tag{MA21}

両測度のFourier–Laplace変換は $|\Im z|<b$ に正則で、0での全Taylor係数が一致。一致定理と有限測度のFourier変換の一意性から $\widetilde\mu=\mu$ 。すなわちHamburger moment problemはdeterminateである。

次に $h\in L^2(\mu)$ が全多項式に直交するとする。 $$0<r<a/2$$ ならCauchy–Schwarzにより

\int |h(x)|e^{r|x|}\,d\mu(x) \le\|h\|_{L^2(\mu)} \left(\int e^{2r|x|}\,d\mu(x)\right)^{1/2}<\infty. \tag{MA22}

従って $F_h(z)=\int h(x)e^{-izx}\,d\mu(x)$ は $|\Im z|<r$ に正則。全導関数が0で消えるため $$F_h=0$$ 、Fourier一意性で $$h=0$$ $\mu$ -a.e.。これは全多項式が $L^2(\mu)$ に稠密であることの直接証明である。 $\mu$ が偶なので、偶関数への有界射影により

\overline{\{p(x^2):p\text{ polynomial}\}}^{L^2(\mu)} =L^2_{\rm even}(\mu). \tag{MA23}

$$y=x^2$$ によるpushforwardは

d\nu(y)=\frac{|\mathscr X(\sqrt y)|^2}{\sqrt y}\,dy\quad(y>0), \qquad \nu_n=m_{2n}. \tag{MA24}

これはStieltjes問題であり、適用するCarleman和は $\sum\nu_n^{-1/(2n)}=\infty$ 。対称square-root liftを用いれば $\mu$ のHamburger決定性から $\nu$ のStieltjes決定性も直接従う。一方、 $\nu$ にHamburger型の $\sum\nu_{2n}^{-1/(2n)}$ を代入すると項は $O(n^{-2})$ で和は収束する。これはその十分条件の不成立にすぎず、 $\nu$ の不定性を意味しない。

MA7. Priority 1への帰結と停止範囲

$\mathscr X$ は非零entire関数なので、実軸の零点集合はLebesgue null。従って $h\mapsto\mathscr X h$ は $L^2(\mu)$ から $$L^2(dx)$$ へのonto isometryである。逆は零点集合以外で $g\mapsto g/\mathscr X$ と定義する。 $\mathscr X$ は偶なので、この写像はeven sectorも保つ。 MA23とPlancherel、 $\widehat{k^{(2j)}}=(-1)^jx^{2j}\mathscr X/4$ から

\boxed{\overline{\operatorname{span}\{k^{(2j)}:j\ge0\}}^{L^2(dx)} =L^2_{\rm even}(\mathbb R).} \tag{MA25}

実零点が存在しても、その点集合はnullなのでこの密度を妨げない。複素零点の位置については一切仮定していない。

これは無条件のL² cyclicityである。Weil form normでのdensity、 cutoffとの一様交換、次数 $$m$$ を増やすときの安定性、finite-head capture、全groundとのgap比較、ES、G*、RHを証明したものではない。 Priority 2以降へ移らず、ここで停止する。

独立検算：別担当はMA7の係数、MA14の主項、MA17のGamma score恒等式、 MA4のCarleman定数を確認した。平均二乗入力の原典自体の独立再監査とは区別する。

STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

公開版の参照案内（編集注）

本文中のsource-relative pathは原記録の識別子です。収録先:

research/hierarchical_selection/notes/support_hierarchy.md