STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

公開用に整形した研究原資料の履歴snapshotです。本文の「現在」「完了」「PASS」は原記録の対象・時点に限定され、RH証明や公開環境での再実行を意味しません。 Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted research log · Text: CC BY 4.0. Source: research/full_ground_capture/notes/moment_problem_sources.md · Original SHA-256: c9979e20369490291872eb777965d65ae80aaefb33b48df7f456454d0211ce98. 原資料パスと公開パスの対応・書換え・export hashは公開source manifestを参照。本文のコード・検証ログは履歴であり、このexportでは再実行していません。

偶数階微分族の L²-cyclicity：moment criterion と直接証明

STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

2026-09-30。今回の範囲は cyclicity のみ。既存ファイル・公開用 audit は変更しない。新規性を主張しない。既知の指数 moment / polynomial-density 原理を actual kernel に適用する。 Priority 2 以降の ground capture、form domain、gap、選択の一様性へは進まない。

M1. 結論と規約

既存の actual normalization を固定する：

\widehat k(x)=\int_{\mathbb R}k(t)e^{-ixt}dt=\frac14\Xi(x), \qquad \Xi(x)=\xi(1/2+ix). \tag{M1}

すると無条件に

\boxed{\overline{\operatorname{span}_{\mathbb C} \{k^{(2j)}:j=0,1,\ldots\}}^{\,L^2(\mathbb R)} =L^2_{\mathrm{even}}(\mathbb R).} \tag{M2}

real even 空間でも real span が稠密である。これは全次数を取った閉包についての定理であり、固定有限 $$m$$ の誤差、係数の大きさ、 $$a,N,m$$ の joint rate を与えない。

既存 normalization の出所は read-only の full projection bound §1–2。その無条件 Fourier decay は以下でも独立に確認する。

M2. 一次・標準資料の照合範囲

Marcel de Jeu

Determinate multidimensional measures, the extended Carleman theorem and quasi-analytic weights。 arXiv:math/0111019v2 原文、版日 2002-06-17。刊行書誌は Annals of Probability 31 (2003), 1205–1227、 DOI。 arXiv の書誌も確認した。 DOI 本文取得は今回 tool error のため、以下の頁は v2 原稿頁。

Theorem 2.3、p.5、式 (2.1)： finite positive measure、全 absolute moments 有限、各座標の $\sum_{n\ge1}s(2n)^{-1/(2n)}=\infty$ の下で、 determinacy に加え、polynomials が全 $1\le p<\infty$ の $$L^p$$ で稠密。本稿では一次元・ $$p=2$$ だけを使う。
Theorem 1.1 p.2 と p.3 冒頭：正の指数 moment は上の結論の既知の十分条件。
Theorem 5.1、p.15、式 (5.1)：正半直線での Stieltjes 条件は $\sum s(n)^{-1/(2n)}=\infty$ 。原定理の結論は cone 内の determinacy。これを無断で $$L^p$$ -density の一般 cone 定理と読み替えない。

使用 statement と証明の該当箇所を確認した。論文の全証明を独立再検証したとはしない。以下の指数 moment 特殊例は文献定理を使わずにも証明する。

NIST DLMF

5.11.9： bounded real part に一様な Gamma の vertical Stirling asymptotic。
25.9.2–25.9.3： critical line の approximate functional equation。 25.9.3 の原典 locator は Titchmarsh (1986), (4.12.4), p.79。今回 Titchmarsh 原書全文は取得せず、公式 DLMF の式を確認した。
25.4.3–25.4.4： completed $\xi$ の規約と functional equation。

これらは標準入力であり、RH や新しい算術的評価を仮定しない。

M3. Actual weight の指数 moment

$q(x)=\Xi(x)$ と置く。 DLMF 25.9.3 で $m=\lfloor\sqrt{x/(2\pi)}\rfloor$ 、 $x\to+\infty$ とすれば、 critical line の $|\chi|=1$ と $\sum_{n\le m}n^{-1/2}\le2\sqrt m$ により

|\zeta(1/2+ix)|=O(x^{1/4}). \tag{M3}

negative $$x$$ は共役対称性で同じ。これは coarse classical upper bound であり、 RH や Lindelöf を使わない。 Gamma の式は

|\Gamma(1/4+ix/2)| \le C(1+|x|)^{-1/4}e^{-\pi|x|/4}. \tag{M4}

completed factors $$s(s-1)/2$$ 、 $\pi^{-s/2}$ を含めて

|q(x)|\le C(1+|x|)^2 e^{-\pi|x|/4}. \tag{M5}

小さい $$x$$ は連続性で定数へ吸収する。さらに粗い既存 Euler-summation bound $\zeta=O(1+|x|)$ を使って polynomial exponent を 3 にしても以下は変わらない。

従って finite positive Borel measure

d\mu(x)=|q(x)|^2\,dx \tag{M6}

は全 $0<\eta<\pi/2$ について

K_\eta:=\int_{\mathbb R}e^{\eta|x|}\,d\mu(x)<\infty. \tag{M7}

$\mu$ は even である。 $$q$$ は非零 entire function なので、実軸の零点集合は discrete、従って Lebesgue measure 0。ここで必要なのは 実軸上で nonzero almost everywhere だけであり、全 complex zeros が実軸にあるという RH は一切用いない。

M4. Hamburger Carleman と even symmetrization

$m_n=\int x^n\,d\mu(x)$ と置く。任意の固定 $\eta\in(0,\pi/2)$ に対し

m_{2n}\le K_\eta(2n)!\eta^{-2n}. \tag{M8}

よって、 $(2n)!\le(2n)^{2n}$ から

m_{2n}^{-1/(2n)} \ge\frac{\eta K_\eta^{-1/(2n)}}{2n},\qquad \sum_{n=1}^{\infty}m_{2n}^{-1/(2n)}=\infty. \tag{M9}

de Jeu Theorem 2.3 は polynomials の $L^2(\mu)$ -density を与える。 determinacy という語だけを density の証明の代わりにしない。

even $F\in L^2(\mu)$ に対し polynomial $P_n\to F$ を取り、

P_n^{\rm ev}(x)=\frac{P_n(x)+P_n(-x)}2 \tag{M10}

とすると、reflection が unitary だから $\|P_n^{\rm ev}-F\|_{L^2(\mu)}\le\|P_n-F\|_{L^2(\mu)}$ 。従って even polynomials $\operatorname{span}\{x^{2j}\}$ は $L^2_{\rm even}(\mu)$ で稠密。

さらに

U:L^2_{\rm even}(\mu)\to L^2_{\rm even}(dx),\qquad UF=qF \tag{M11}

は onto isometry。onto 性は、任意の $G\in L^2_{\rm even}(dx)$ に対し $$F=G/q$$ を $q\ne0$ 上で定義すれば $\int|F|^2\,d\mu=\int|G|^2dx$ となることから従う。 real zeros での割り算は null set を除くだけであり、pointwise lower bound は不要。

(M1) と $\widehat{k^{(2j)}}=(-1)^jx^{2j}q(x)/4$ 、 Plancherel により (M2) が従う。 Fourier の $2\pi$ normalization と定数 $$1/4$$ は閉包に影響しない。

M5. $$x^2$$ pushforward の正しい criterion

$\nu=(x\mapsto x^2)_*\mu$ と置くと、 $[0,\infty)$ 上の measure で

s_n:=\int_0^\infty y^n\,d\nu(y)=m_{2n}. \tag{M12}

また

d\nu(y)=\frac{|q(\sqrt y)|^2}{\sqrt y}\,dy\quad(y>0), \tag{M13}

原点 atom はない。正しい Stieltjes Carleman sum は

\sum_{n\ge1}s_n^{-1/(2n)} =\sum_{n\ge1}m_{2n}^{-1/(2n)}=\infty. \tag{M14}

de Jeu Theorem 5.1 の一次元版と一致する。この $\nu$ の polynomial density 自体は $F(y)\mapsto F(x^2)$ の onto isometry と M4 の even density から既に従う。

一方、 $\nu$ に Hamburger criterion を直接掛けると別の sum

\sum_{n\ge1}s_{2n}^{-1/(2n)} =\sum_{n\ge1}m_{4n}^{-1/(2n)} \tag{M15}

になる。これを (M14) と同一視してはならない。指数 moment の上界だけでは (M15) の発散を証明できない。例えば比較模型 $d\mu_0=e^{-|x|}dx$ では $m_{4n}=2(4n)!$ だから (M15) は $n^{-2}$ 型で収束するが、 (M14) は $n^{-1}$ 型で発散する。これは criterion の十分性と変数変換の違いであり、actual $\mu$ の (M15) の収束を証明したという意味ではない。

M6. 指数 moment だけによる直接証明

文献の polynomial-density theorem を使わずに同じ結論を得る。 $G\in L^2_{\rm even}(dx)$ が全 $x^{2j}q(x)$ に直交すると仮定し、

h(x)=G(x)\overline{q(x)}

と置く。Cauchy–Schwarz と (M7) から、全 $0<b<\pi/4$ について

\int|h(x)|e^{b|x|}dx \le\|G\|_2 \left(\int |q(x)|^2e^{2b|x|}dx\right)^{1/2}<\infty. \tag{M16}

従って

H(z)=\int_{\mathbb R}h(x)e^{izx}dx \tag{M17}

は connected strip $|\operatorname{Im}z|<\pi/4$ で holomorphic。 compact substrip ごとに少し大きい $$b$$ を選べば、全導関数の積分交換も正当化できる。

直交条件で even moments はすべて 0、 $$h$$ が even なので odd moments も 0。よって $H^{(n)}(0)=0$ が全 $n\ge0$ で成立する。 holomorphic identity theorem で $H\equiv0$ 。 $h\in L^1$ の Fourier uniqueness から $$h=0$$ almost everywhere、 $q\ne0$ almost everywhere から $$G=0$$ となる。これで直交補空間が零、従って (M2) が証明される。

有限個の moments だけを使った議論ではない。同じ全 analytic jet が零であることを確認してから identity theorem を使った。

M7. 採用できる結論と今回の停止点

採用可能なのは無条件の $L^2_{\rm even}$ -cyclicity。指数 moment を持つ非零 a.e. multiplier の標準的な density 原理であり、新規性なし。

これは $k,k'',\ldots$ の既知 Weil-radical 関係と矛盾しない。 radical を支配する form topology と ambient $$L^2$$ topology が同じだとは証明していない。 $$L^2$$ -dense であることから未証明の boundedness / closability を補ってはならない。

本ノートは form-core density、finite-cutoff uniform approximation、 actual full ground の捕捉、 $m\to\infty$ と cutoff 極限の交換、 ES、 $$G^*$$ 、RH を主張しない。それらの追加探索も行わない。当面の判定：cyclicity YES、RH OPEN、Priority 1 のみ完了。

公開版の参照案内（編集注）

本文中のsource-relative pathは原記録の識別子です。収録先:

research/rate_history/notes/full_projection_upper_bound.md