STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

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Full support-plus-Fourier projection: unconditional recognition upper bound

2026-09-30。RH OPEN。固定された derivative family についての限定補題。 actual Weil form、sharp support、既存の $$P_N$$ 、標準 $$L^2(dt)$$ を使う。旧ファイルは変更しない。新規性・leading asymptotic・ground selection を主張しない。

1. 主張と量化

既存の規約で actual even log kernel を $$k(t)$$ と書く：

\widehat k(z)=\int_{\mathbb R}k(t)e^{-izt}dt=\Xi(z)/4,\qquad \Xi(z)=\xi(1/2+iz).

固定 $m\ge0$ に対して

f_j=k^{(2j)},\quad 0\le j\le m,\qquad a=\log\lambda\ge1,\quad \omega_n=\pi n/a,\quad \Omega=\pi(N+1)/a\ge1,\quad N\ge1,

p_j=T_{a,N}f_j =P_N(f_j|_{[-a,a]})\quad\text{を区間外 0 として延長する}.

Fourier basis は $V_n(t)=(2a)^{-1/2}e^{i\omega_n(t+a)}$ 。以下の定数は固定 $$m$$ と actual kernel に依存してよいが、 $$a,N$$ には依存しない。

\boxed{\quad |Q_W(p_i,p_j)| \le C_m\left[ a(1+\Omega)^{4m+8} e^{\,a-\pi\Omega/2} +\lambda^{8m+24}e^{-2\pi\lambda^2} \right],\qquad 0\le i,j\le m . \quad} \tag{1}

多項式指数は便宜的に大きく取った上界であり、最適性はない。未知定数 $$C_m$$ の数値的 interval certificate を今回生成したわけではない。構成する $$p_j$$ に個別零点の位置を入力しない。

したがって実験の二経路

N=\max(4,\lceil a^2\rceil),\qquad N=\max(4,\lceil a^3\rceil) \tag{2}

のどちらでも、固定 $$m$$ の全 recognition matrix $M_{ij}=Q_W(p_i,p_j)$ は無条件に 0 へ行く。これは signed recognition の絶対上界であり、 energy の符号、first nonzero term、最速方向を同定しない。

2. 実軸 Fourier decay と actual theta tail

\widehat f_j(\omega)=(-1)^j\omega^{2j}\Xi(\omega)/4.

Gamma の vertical Stirling formula DLMF 5.11.9 は

|\Gamma(1/4+i\omega/2)| \le C(1+|\omega|)^{-1/4}e^{-\pi|\omega|/4} \tag{3}

を与える。ここで必要な zeta bound は無条件の粗い多項式 bound だけ。実際、Euler summation から $\Re s>0,\ s\ne1$ で

\zeta(s)=\frac{s}{s-1} -s\int_1^\infty\{x\}x^{-s-1}dx \tag{4}

となり、 $\Re s=1/2$ では $|\zeta(s)|\le C(1+|\Im s|)$ 。 (4) は $\Re s>1$ の $\lfloor x\rfloor=x-\{x\}$ による部分積分を右半平面へ解析接続した恒等式である。 $\xi(s)=s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)/2$ と合わせて

|\widehat f_j(\omega)| \le C_m(1+|\omega|)^d e^{-c|\omega|},\qquad d=2m+3,\quad c=\pi/4. \tag{5}

RH、subconvexity、零点密度の改良は使用しない。

actual theta expansion の各導関数は、 $t\ge1$ で polynomial in $n^2e^{2t}$ を掛けた $e^{-\pi n^2e^{2t}}$ の和である。例えば最高 power の粗い評価として、 $j\le m,\ r=0,1,2$ なら

|f_j^{(r)}(t)| \le C_m e^{(4m+2r+9/2)t}e^{-\pi e^{2t}}. \tag{6}

$n\ge2$ の和は $e^{-\pi(n^2-1)e^{2t}}$ で一様に抑えられる。偶性から左端にも同じ bound がある。従って

B_j(a):=2\left(|f_j'(a)|+\int_a^\infty|f_j''(t)|dt\right) \le C_m\lambda^{4m+9}e^{-\pi\lambda^2}, \tag{7}

また $$|f_j(a)|$$ と $\int_{|t|>a}e^{|t|/2}(|f_j(t)|+|f_j'(t)|)dt$ にも polynomial in $\lambda$ times $e^{-\pi\lambda^2}$ の上界がある。固定 normalization の定数は $$C_m$$ に含める。

Fourier/actual radical の既知入力は CCM 2310.18423v2, §3.6 Proposition 3.6 の polynomial-times- $\Xi$ framework と、 Connes–Consani, 公刊版 §3 p.118 の summation-range radical。今回の scalar $$1/4$$ と log-coordinate は既存の独立 domain 検算 §7 に固定する。原著が本稿 (1) を既に述べているとの主張ではない。

3. Grid 上の二回積分が cutoff tail を制御する

まず固定 $$f=f_j$$ と書く。periodic Fourier coefficient は exact に

c_n=\langle f|_{[-a,a]},V_n\rangle =\frac{(-1)^n}{\sqrt{2a}}\left(\widehat f(\omega_n)-T_a(\omega_n)\right), \qquad T_a(\omega)=2\int_a^\infty f(t)\cos(\omega t)\,dt. \tag{8}

$n\ne0$ では $\sin(\omega_na)=0,\ \cos(\omega_na)=(-1)^n$ 。二回の積分部分積分で

T_a(\omega_n) =-\frac{2}{\omega_n^2} \left((-1)^n f'(a)+\int_a^\infty f''(t)\cos(\omega_nt)\,dt\right), \qquad |T_a(\omega_n)|\le B_j(a)/\omega_n^2. \tag{9}

この $1/\omega_n^2$ は grid と偶性によるもので、任意の real frequency の sharp tail に同じ bound を課したのではない。

$$e=p-f$$ を区間の内側で定義する。 $$f(a)=f(-a)$$ なので restriction は periodic $$H^1$$ に入り、

\|e\|_{H^1(-a,a)}^2 =\sum_{|n|>N}(1+\omega_n^2)|c_n|^2. \tag{10}

spacing $h=\pi/a$ 、 $\Omega=h(N+1)$ の elementary sum bounds より

\begin{split} \|e\|_{H^1(-a,a)} &\le C_m(1+\Omega)^{d+1}e^{-c\Omega} +C B_j(a)\Omega^{-1/2},\\ |e(a)|=|e(-a)| &\le C_m(1+\Omega)^d e^{-c\Omega} +C B_j(a)\Omega^{-1}. \end{split} \tag{11}

例えば $a^{-1}\sum_{n>N}\omega_n^{-2}\le C/\Omega$ 、 $a^{-1}\sum_{n>N}\omega_n^{-4}\le C/\Omega^3$ 、および

\frac1a\sum_{n>N}(1+\omega_n)^q e^{-b\omega_n} \le C_{q,b}(1+\Omega)^q e^{-b\Omega} \tag{12}

を使う。 $a,\Omega\ge1,\ N\ge1$ で定数を一様にできる。 trace bound は $\sum|c_n|<\infty$ による一様収束から取る。 sharp zero extension が全実線の $$H^1$$ に入るとは主張しない。

4. Weighted BV norm と strip 全体の Fourier bound

全実線上で $\delta=p-f$ とし、distributional derivative の全変動を含めて

\mathcal B(\delta)= \int_{\mathbb R}e^{|t|/2}|\delta(t)|dt +\int_{\mathbb R}e^{|t|/2}\,d|D\delta|(t). \tag{13}

内側の derivative は $$e'$$ 、外側は $$-f'$$ 。境界の jump の絶対値は $$|p(a)|,|p(-a)|$$ であり、 $$|e(a)|$$ だけではない。従って

\begin{split} \mathcal B(\delta)\le{}& e^{a/2}\bigl(\sqrt{2a}(\|e\|_2+\|e'\|_2) +2|e(a)|+2|f(a)|\bigr)\\ &+\int_{|t|>a}e^{|t|/2}(|f(t)|+|f'(t)|)dt\\ \le{}& C_m\sqrt a(1+\Omega)^{2m+4} e^{\,a/2-\pi\Omega/4} +C_m\lambda^{4m+12}e^{-\pi\lambda^2}. \end{split} \tag{14}

$\Omega\ge1$ 、 $\sqrt a\le e^{a/2}$ を使い tail powers を緩く吸収した。

$z=x+iy,\ |y|\le1/2$ なら、weighted $$L^1$$ bound と distributional integration by parts の二つを合わせて

|\widehat\delta(z)| \le \frac{\mathcal B(\delta)}{1+|x|}. \tag{15}

詳細には $A=\int e^{|t|/2}|\delta|$ 、 $V=\int e^{|t|/2}d|D\delta|$ とすると $|\widehat\delta(z)|\le A$ 、また $x\ne0$ で $|\widehat\delta(z)|\le V/|z|\le V/|x|$ 。 $\min(A,V/|x|)\le(A+V)/(1+|x|)$ である。低い $$|x|$$ や $$x=0$$ もこの式で処理し、最低零点の数値情報を使わない。

5. Compact BV に対する actual explicit formula

使用する Weil pairing は

Q_W(p,q)=\sum_\rho \widehat p(z_\rho)\overline{\widehat q(\overline{z_\rho})}, \qquad z_\rho=(\rho-1/2)/i . \tag{16}

零点は全て重複度付き。 $\overline{z_\rho}$ を $z_\rho$ に置換しない。無条件で $|\Im z_\rho|<1/2$ であり、 Riemann–von Mangoldt の $N(T)=O(T\log(T+2))$ から

C_\zeta=\sum_\rho(1+|\Im\rho|)^{-2}<\infty. \tag{17}

これは既知の零点計数 bound で、RH の仮定ではない。

本稿の $$p,q$$ は compact piecewise smooth BV なので (16) の延長を検査できる。非負 even smooth approximate identity $\eta_\epsilon$ で $p_\epsilon=p*\eta_\epsilon$ とする。次が成立する：

$p_\epsilon\to p$ in $$L^2$$ 。support は固定された少し大きい compact 区間内。
strip $|\Im z|\le1/2$ で Fourier transform は点毎収束し、 weighted BV の一様 bound により $C/(1+|\Re z|)$ で抑えられる。従って零点側は (17) により dominated convergence。
Gamma 側は $|\widehat p(\omega)|=O((1+|\omega|)^{-1})$ と $h_\Gamma(\omega)=O(\log(2+|\omega|))$ により可積分。実軸で $|\widehat\eta_\epsilon|\le1$ なので dominated convergence。
pole 側は複素点での Fourier 値の収束。 prime 側は共通 compact support により有限和であり、 correlation は $$L^2$$ convergence から shift に一様に収束する。 threshold ちょうどの shift でも correlation が連続である。

smooth test に対する actual explicit formula をこの極限で移せる。従って (16) は零点側だけで定義した別形式ではなく、有限行列に使う Gamma・pole・prime 側と同じ $$Q_W$$ である。非 compact $\delta$ の form domain を無説明に仮定する必要はない。

6. Radical factor と recognition bound

$\widehat f_j(z)=(-1)^jz^{2j}\Xi(z)/4$ は $z_\rho$ と $\overline{z_\rho}$ の双方で 0。後者も functional equation と conjugation の零点対称性によるもので、RH ではない。 (16) に代入すると

Q_W(p_i,p_j) =\sum_\rho\widehat\delta_i(z_\rho) \overline{\widehat\delta_j(\overline{z_\rho})},\qquad |Q_W(p_i,p_j)|\le C_\zeta\mathcal B(\delta_i)\mathcal B(\delta_j). \tag{18}

(14) を平方し mixed term を $2uv\le u^2+v^2$ で処理すれば (1) を得る。これが support と Fourier projection を同時に含む full $T_{a,N}$ の上界である。 sharp support-only asymptotic として解釈しない。

二経路の exponent は

a-\pi\Omega/2=a-\frac{\pi^2(N+1)}{2a}. \tag{19}

$N\sim a^2$ なら $-( \pi^2/2-1)a+o(a)$ 、 $N\sim a^3$ なら $-\pi^2a^2/2+a+o(a^2)$ で、どちらも (1) の polynomial factor に勝つ。より一般には $N\sim C a^2,\ C>2/\pi^2$ でも十分。任意の $N/a\to\infty$ に対して (1) が消失するとは主張しない。

固定 $$m$$ の Gram が正定値極限を持つことは trajectory note §4 (11)–(12) の直接評価による。したがって raw $$M$$ だけでなく、その span の全 generalized Ritz values の絶対値にも、十分大きい $$a$$ で定数を変えた同じ上界がある。固定 finite span での係数の一様性であり、 $m\to\infty$ は含まない。

結論の境界。 recognition の消失は両経路で無条件に定量化できた。この上界から、実際の decay の leading rate、unique fastest state、 ground excess/gap ratio、global positivity、ground の $$k$$ への収束は出ない。特に full $$e_0$$ が未知の負方向にある可能性を除かず、小さい signed energy を ground と同一視しない。 Rate A の upper estimate を追加しただけで、Track B/C の selection verdict は変えない。

公開版の参照案内（編集注）

本文中のsource-relative pathは原記録の識別子です。収録先: