STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

公開用に整形した研究原資料の履歴snapshotです。本文の「現在」「完了」「PASS」は原記録の対象・時点に限定され、RH証明や公開環境での再実行を意味しません。 Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted research log · Text: CC BY 4.0. Source: research/ground_state_trajectory.md · Original SHA-256: b956c37e70555f93670f4fc4947c6cf28e5b53d2c6579b10e5ec075463a3634b. 原資料パスと公開パスの対応・書換え・export hashは公開source manifestを参照。本文のコード・検証ログは履歴であり、このexportでは再実行していません。

Ground-state trajectory, rate selection, and probability gate

2026-09-30。RH OPEN。今回の Track B/C の限定監査。既存の 375 ファイル・旧 state・proof graph は変更しない。本稿の恒等式は既存の actual Weil form からの直接計算であり、新規性を主張しない。数値結果の所有者は main の Track A。本稿は数値的な branch 選択を証明済みと扱わない。

1. 固定する行列と二つの空間識別

a=\log\lambda,\quad L=2a,\quad V_{j,L}(t)=L^{-1/2}e^{2\pi ij(t/L+1/2)},\quad |t|\le L/2, \qquad |j|\le N .

区間外では 0 とし、周期 convolution に置換しない。 $Q_{L,N}=(Q_W(V_{j,L},V_{\ell,L}))$ は Gamma・pole・全 prime-power 項を含む Hermitian 行列である。規約は既存 dictionary (A1)–(A2) と CCM 原典 §§3–5 に固定する。標準 norm は $$dt$$ の $$L^2$$ norm。正値性、ground の偶性・単純性は仮定しない。

有限 $$L$$ を動かすときは

U_L:L^2([-L/2,L/2])\longrightarrow L^2([-1/2,1/2]),\qquad (U_Lf)(x)=\sqrt L f(Lx) \tag{1}

が unitary で、 $U_LV_{j,L}=\phi_j=e^{2\pi ij(x+1/2)}$ 。これで固定 $$N$$ の行列を同じ係数空間で比較できる。ただし prime shift は $\log n/L$ 、Gamma multiplier は $h_\Gamma(\omega/L)$ 、pole test は $e^{\pm Lx/2}$ に変わる。したがって dilation は異なる $$L$$ の形式を同一にする intertwiner ではない。

固定 $$L$$ 、 $M\ge N$ では係数を 0 で延長する $J_{N,M}$ により

Q_{L,N}=J_{N,M}^*Q_{L,M}J_{N,M}. \tag{2}

従って $e_0(L,M)\le e_0(L,N)$ 。gap の単調性は従わない。この包含と (1) は基底の識別として整合するが、異なる窓の零延長とは別の map。大きい窓への零延長は一般に小さい Fourier span を大きい有限 Fourier span へ送らない。

global limit の座標注意。 固定された非零の rapidly decreasing $$f(t)$$ の normalized cut は、元の $\mathbb R_t$ 上の零延長で $f/\|f\|_2$ に強収束する。一方、その $$U_L$$ 像は $$x=0$$ へ集中して弱収束 0、norm は 1。例えば bounded test に対する pairing は $O(L^{-1/2}\|f\|_1)$ であり、 density により全 $$L^2$$ test でも弱収束 0。対応する rank-one projector は strong operator topology で 0 に収束しても operator norm は 1 のままである。これは座標による集中であり、履歴依存・算術核の消滅を意味しない。有限 $$L$$ の微分には (1)、global kernel の同定には元の log-space の零延長を使い分ける。

2. Prime-power event は jump でなく derivative corner

$$n=p^k$$ 、 $h=\log n$ 、 $c_n=\Lambda(n)/\sqrt n=\log p/\sqrt n$ とする。内積は第 1 変数で線形、 $\tau_hf(t)=f(t-h)$ とし、

C_{j\ell}(L,h)=\langle\tau_h V_{j,L},V_{\ell,L}\rangle.

$L\le h$ では overlap は測度 0 なので $$C=0$$ 。 $$L>h$$ では直接積分により

C_{j\ell}(L,h)=e^{-2\pi ijh/L}e^{\pi i(j-\ell)} \int_{-1/2+h/L}^{1/2}e^{2\pi i(j-\ell)x}\,dx . \tag{3}

この項の Hermitian form は $$-c_n(C+C^*)$$ である。 $L=h+\delta,\ \delta\downarrow0$ において、固定 $j,\ell,h$ なら

C_{j\ell}(h+\delta,h)=\frac{\delta}{h}+O_{j,\ell,h}(\delta^2). \tag{4}

両端の全基底値が $L^{-1/2}$ なので、先頭係数は index に依存しない。従って、 ${\bf1}=(1,\ldots,1)^T$ として

[\partial_L Q_{L,N}]_{L=h+}-[\partial_L Q_{L,N}]_{L=h-} =-\frac{2\Lambda(n)}{\sqrt n\log n}{\bf1}{\bf1}^* . \tag{5}

$\lambda=\sqrt n$ 座標なら

[\partial_\lambda Q_{\lambda,N}]_+ -[\partial_\lambda Q_{\lambda,N}]_- =-\frac{4}{kn}{\bf1}{\bf1}^* . \tag{6}

別の位相規約の基底では同じ rank-one form を unitary conjugation する。 prime-power でない整数の閾値にはこの項はない。

Gamma 項も固定 $$N$$ で $$L>0$$ に関して smooth：

Q^\Gamma_{j\ell}(L) =\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}h_\Gamma(\omega/L) \widehat\phi_j(\omega)\overline{\widehat\phi_\ell(\omega)}\,d\omega .

零延長された $\phi_j$ の Fourier transform は $O((1+|\omega|)^{-1})$ 。 $$L$$ の compact subinterval 上で multiplier の微分を積分内へ移せる。 pole 項は固定有限区間の exponential integrals なので smooth。局所的に入る prime powers は有限個である。

以上より actual $Q_{L,N}$ は連続・局所 Lipschitz、prime-power event 間では smooth。和の cutoff を $n<\lambda^2$ としても $n\le\lambda^2$ としても、等号の項自体が 0 なので行列値は一致する。偶奇分解の odd block では係数和が 0 であり、(5) の一次 corner は消える。これは global ground の偶性を証明しない。

3. Projector の変化と有限 endpoint の一意性

固定 $$N$$ 、ある区間で ground が単純、 $\Delta(L)=e_1(L)-e_0(L)>0$ と仮定する。固有値を囲む局所 contour により

P_0(L)=\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma(z-Q_{L,N})^{-1}\,dz. \tag{7}

これは現在の行列だけで決まる。smooth な点で

S=(Q-e_0)^{-1}(I-P_0),\qquad P_0'=-S Q'P_0-P_0Q'S,\qquad \|P_0'\|\le \frac{2\|Q'\|}{\Delta}. \tag{8}

右辺の定数 2 は十分な上界で、最適性を主張しない。 compact 区間で gap に正の下界があれば、prime corner を越えても

\|P_0(L_2)-P_0(L_1)\| \le 2\int_{L_1}^{L_2}\frac{\|Q'(L)\|}{\Delta(L)}\,dL . \tag{9}

微分は almost everywhere でよい。corner で射影そのものが跳ぶという結論は出ない。

Hellmann–Feynman により、event で ground が単純なら one-sided derivative の差は

e_{0,L}'(h+)-e_{0,L}'(h-) =-\frac{2\Lambda(n)}{\sqrt n\log n} \left|\sum_{j=-N}^N v_j(h)\right|^2 . \tag{10}

従って有限の算術 event は傾きへ exact に現れる。これは全区間の $$e_0(L,N)$$ 単調性を意味しない。固定 $$N$$ の scaled Fourier spaces は窓について nested ではないからである。

一次資料は Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, 1980 edition の reprint, 原著 PDF： II §1.4、printed pp.67–68、(1.16)–(1.19) が contour projection。 VII Thm.1.8、p.370 は holomorphic family の isolated finite eigenvalue system の結果。 (8)–(10) の有限 Hermitian・piecewise smooth 版は本稿で直接微分したもの。 prime event 全体を holomorphic family として定理を無条件適用しない。 gap が 0 へ落ちる場所の個々の projector の連続性もこの議論の結論ではない。

履歴の判定。

同じ有限 $(\lambda,N)$ の単純 ground line は、そこへ来た path に依存しない。 vector の符号・複素位相の違いは line の違いではない。
degeneracy では ground subspace の projector は一意だが、その中の vector は一意でない。 continuation rule が異なる vector を選んでも、新しい算術的履歴法則にはならない。
overlap 最大で追跡する branch は、crossing 後に instantaneous ground でなくなり得る。数値 branch tracking を ground の定義に代用しない。
$$N$$ の増加は次元を変えるので (8) をそのまま微分として使わない。 (2) の埋込み、残差 $(I-JJ^*)Q_{L,M}Jv_N$ 、大きい行列の spectral separation で比較する必要がある。
異なる cofinal paths が異なる limiting lines を与える可能性は一般論では排除されない。しかし actual $$Q$$ についてその二つの極限を証明するまでは HISTORY-DEPENDENT SELECTION と判定できない。

4. 固定 radical span の Gram は何を制御できるか

f_j=k^{(2j)},\quad 0\le j\le m,\qquad T_{L,N}f=P_N(1_{[-L/2,L/2]}f).

各 $$f_j$$ は actual kernel の偶な rapidly decreasing function。周期 Fourier 投影の境界項は $$f_j(L/2)=f_j(-L/2)$$ により消えるので

\|T_{L,N}f_j-f_j\|_{L^2(\mathbb R)} \le \|1_{|t|>L/2}f_j\|_2 +\frac{L}{2\pi(N+1)}\|f_j'\|_2 . \tag{11}

左辺の有限像は零延長で比較している。 sharp cutoff の全実線 weak derivative に jump がないと仮定したのではなく、区間上の periodic integration by parts を使った。

従って固定 $$m$$ 、 $L\to\infty,\ N/L\to\infty$ なら

G_{ij}^{L,N}=\langle T_{L,N}f_i,T_{L,N}f_j\rangle \longrightarrow G_{ij}^{\infty}=\langle f_i,f_j\rangle. \tag{12}

$\widehat f_j(z)=(-1)^jz^{2j}\Xi(z)/4$ で $\Xi\not\equiv0$ だから、有限個の $$f_j$$ は独立で $G^\infty>0$ 。各列の unit normalization 後の Gram にも対応する正定値極限がある。これは固定 $$m$$ の結果であり、 $m\to\infty$ や数値上の小さい最小 Gram eigenvalue に一様な良条件性を与えない。energy の convergence rate も (11) からは出ない。

診断用の $N=\max(4,\lceil a^2\rceil)$ と $N=\max(4,\lceil a^3\rceil)$ はともに $N/a\to\infty$ 。有限の sample 点は cofinal limit を実証せず、この二経路を canonical と主張しない。

5. 次次数による選択の必要条件

正規化を線形 map と扱わず、有限像の raw columns から

M_{ij}=Q_W(Tf_i,Tf_j),\qquad G_{ij}=\langle Tf_i,Tf_j\rangle

を作り、 $Mc=\mu Gc$ を解く。固定 $$m$$ の restricted span で選択が成立する十分条件の一つは、実際に証明された $r_\nu>0,\ r_\nu\to0$ 、baseline $b_\nu$ 、Hermitian matrix $K_{\rm eff}$ に対し

G_\nu^{-1/2}\frac{M_\nu-b_\nu G_\nu}{r_\nu}G_\nu^{-1/2} \longrightarrow K_{\rm eff} \quad\text{in operator norm}, \tag{13}

かつ $K_{\rm eff}$ の最小固有値が単純であること。このとき whitened coefficients の minimizing line はその固有lineへ収束する。選ばれた physical function が $$k$$ かは別の同定である。 full ground の結論には radical span の補空間と coupling の制御がさらに必要。 restricted Ritz gap を actual full gap の下界として使えない。

(13) は条件付きの有限次元補題であり、今回の actual $M_\nu$ について $r_\nu,K_{\rm eff}$ 、path に一様な remainder を得たという主張ではない。全列の energy が 0 へ行くことや、finite score の大小だけでは (13) を満たさない。特に signed $$Q(Tf,Tf)$$ 、その絶対値、 $Q(Tf,Tf)/\|Tf\|^2-e_0$ 、後者を full gap で割った量は異なる。

一次資料の範囲： Braides–Truskinovsky, author draft (2007)、 Asymptotic expansions by Γ-convergence, §1.1、draft pp.6–7、(10)–(17)、Remarks 1.5,1.7 は rescaled functional・minimizing sequences の compactness・適切な scale を要求する。 §1.2 の locking と §3 の parameter nonuniformity も、一般の Γ-limit が一意の次次数 selector を自動提供しないことを明示する。 published version は Continuum Mech. Thermodyn. 20 (2008), 21–62。上の locator は取得した draft のページで、published pagination とは区別する。

また Kuwae–Shioya (2003), 原著 PDF Defs.2.8,2.11–2.13、pp.622,626–627、Thm.2.4、pp.627–628、 Thm.2.6、p.632、Cor.2.5、p.634 の Mosco/compact spectral convergence は非負閉形式と空間識別・liminf/recovery・compactness を前件とする。固有値・部分列固有vector の収束と next-order rate selection は別問題。 actual expanding Weil form にこれらの前件を証明せず適用しない。

6. Canonical probability が selector を追加するか

新しい確率モデルは導入しない。既存有限 self-adjoint matrix に標準的に付随する候補が何を必要とするかだけを点検する。

spectral projection-valued measure $$E_Q$$ は $$Q$$ から決まるが、scalar probability

\mu_f(B)=\langle f,E_Q(B)f\rangle/\|f\|^2 \tag{14}

には非零 input vector $$f$$ が必要。 $$f=k$$ を入力すればその方向の選択を独立に説明したことにならない。 $(2N+1)^{-1}\operatorname{Tr}E_Q(B)$ は finite counting probability だが、全 eigenspaces を数えるもので、指定された kernel direction を選ばない。

仮に有限 heat state

\rho_\beta=\frac{e^{-\beta(Q-e_0)}}{\operatorname{Tr}e^{-\beta(Q-e_0)}} \tag{15}

を検査するなら、 $\beta$ は別に指定する scale。単純 ground、 $$d=2N+1$$ では

1-\operatorname{Tr}(P_0\rho_\beta) =\frac{\sum_{j\ge1}e^{-\beta(e_j-e_0)}} {1+\sum_{j\ge1}e^{-\beta(e_j-e_0)}} \le(d-1)e^{-\beta\Delta}. \tag{16}

従って増大する系で $\beta\Delta-\log d\to+\infty$ は十分条件。 gap が潰れるとき、固定 $\beta$ で ground を選べるとは言えない。 ground multiplicity が $$g>1$$ なら fixed finite system の $\beta\to\infty$ limit は $$P_0/g$$ で、個々の vector を選ばない。 normalized vector heat flow にも初期 vector、非零 ground overlap、time が必要。無限系の heat trace の存在は、本稿の有限行列計算からは従わない。各有限系で先に $\beta\to\infty$ とすれば既存の ground projector を回収するが、これは同じ finite ground の別表現であり、その cofinal limit が $$k$$ になるという追加入力ではない。

以上は heat/Gibbs を新しい研究 route として採用したものではない。現在の arithmetic input には、外部 scale や input vector を不要にして $$k$$ を一意に選ぶ probability law は同定されていない。

7. 限定 verdict

NO FINITE-SCALE SELECTION PRINCIPLE IDENTIFIED（Track B/C の範囲）。

証明できたことは actual prime event の連続性と derivative corner、 gap のある有限 ground projector の制御、固定 radical span の Gram convergence、および probability 候補の追加入力である。これらは無条件の limited calculations で、RH の進展や全域正値性ではない。

有限 scores の違い・消失速度・最速方向が $$k$$ かという実測判断は Track A の出力に委ねる。有限 endpoint には intrinsic history は入らない。 cofinal paths の共通 limit も異なる limit も、ここでは actual arithmetic から証明されていない。従って path-independent selection の証明不足を history-dependent selection の証明へ反転しない。一般変分・摂動定理の全文再証明、文献網羅、新規性判定はこの bounded audit の対象外。

公開版の参照案内（編集注）

本文中のsource-relative pathは原記録の識別子です。収録先:

research/common_variational_dictionary.md