STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

公開用に整形した研究原資料の履歴snapshotです。本文の「現在」「完了」「PASS」は原記録の対象・時点に限定され、RH証明や公開環境での再実行を意味しません。 Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted research log · Text: CC BY 4.0. Source: research/higher_order_gamma_selection.md · Original SHA-256: d8c937dbd2d49c3da5e167b29fcbf6429675241d2acdac8dffecf42f5121b29a. 原資料パスと公開パスの対応・書換え・export hashは公開source manifestを参照。本文のコード・検証ログは履歴であり、このexportでは再実行していません。

Higher-order selection：support-only fixed $$m$$ の決着

2026-09-30。RH OPEN。既存ファイルは不変更。本担当は support-only に限る。Fourier resolution、prime-event flow、Sonine は他担当の独立 gate。

1. 得られた定理

$f_j=k^{(2j)}$ 、 $\widehat k=\Xi/4$ 、 $Y=\pi e^{2a}$ 、 $R_a=1_{[-a,a]}$ とする。任意の固定有限 $$m$$ について、実際の Weil 形式を $\operatorname{span}\{R_ak,\ldots,R_ak^{(2m)}\}$ へ制限した standard $$L^2$$ 一般化固有値問題は、十分大きい $$a$$ で正定値かつ最小固有値が単純。位相を選んだ単位最小固有関数は

u_{a,m}\longrightarrow k/\|k\|_2.

その最小値は

\boxed{\mu_{a,m}\sim \frac{a(m!)^2}{\sqrt\pi\,\|k\|_2^2} Y^{7/2-2m}e^{-2Y}.} \tag{HG1}

$$m$$	$\mu_{a,m}\sqrt\pi\\|k\\|_2^2/(ae^{-2Y})$
1	$Y^{3/2}$
2	$4Y^{-1/2}$
3	$36Y^{-5/2}$

表は漸近式。有限窓の数値 fit ではない。切る前の最小関数の raw 係数は

\frac{c_j}{c_0}\sim \frac{(-1)^j\binom mj}{4^jY^{2j}},\qquad c_0\to1/\|k\|_2. \tag{HG2}

有限 $$a$$ の関数が $$R_ak$$ そのものだとは言わない。

完全な証明と domain は support_hierarchy.md SH1–SH7。旧 $$m=1$$ 定理に名前を付けただけではなく、高次消去後の全 profile 空間で relative coercivity を証明した。

2. 高次消去後にも実際の素数項を残した理由

第1 theta 項の多項式 $P_0,P_2,\ldots,P_{2m}$ について、境界 $$Y$$ の Taylor jet を exact な座標に取る。この基底は profile 空間全体で

\frac{Q(R_af)}{2a\kappa_Y}=z^*H_Yz,\qquad H_Y\to H>0,\quad H_{rs}=\frac{(r+s)!}{2^{r+s+1}},\quad \kappa_Y=\pi^{-1/2}Y^{-1/2}e^{-2Y} \tag{HG3}

を満たす。全整数 theta tail は exponentially small。 polar と全 prime-power 和は、同じ座標で $O_m(\kappa_Y\log Y/\sqrt Y)|z|^2$ 。 archimedean 主項は $2a\kappa_Yz^*Hz$ 。従って相殺する raw 係数にも一様な relative error となる。 raw 行列の絶対誤差を小さい Schur pivot へそのまま流用する危険を、この評価で避けた。

3. Exact Schur と Gram を同時に運ぶ

actual $$Q$$ の高階方向を逆順に直交化する exact congruence $U_Y\to I$ により

U_Y^*MU_Y=\operatorname{diag}(d_0,\ldots,d_m),\quad U_Y^*GU_Y\to G_\infty>0,

d_j\sim a\kappa_Y16^j((m-j)!)^2Y^{6j+4-2m}. \tag{HG4}

Schur pivot を一般化固有値そのものと同一視しない。同じ合同変換で physical Gram も運ぶ。最小化後の境界多項式は weighted $L^2(e^{-2v}dv)$ の Laguerre polynomial であり、係数の大小だけからの選択ではない。

4. Anzellotti–Baldo 原典と適用前件

一次原版：G. Anzellotti and S. Baldo, Asymptotic Development by Γ-Convergence, Applied Mathematics and Optimization 27 (1993), 105–123, DOI、大学公開の原版 PDF。取得 PDF の SHA-256 は 677062924535a6c25540780f08f9b4a14ab91cb594a3d382b11fb31eb3b5dca0。 §1 の本文 pp.106–112 を読み、pp.108–109 の式と証明は原版画像でも照合した。

Definition 1.1 (p.107)：位相を固定した liminf と recovery sequence。
Definition 1.3 (p.108)：前の limit の minimum を引き、再尺度化して minimizer set 上で次の Γ-limit を取る。
Theorem 1.2 と直後の remark (p.109)：収束する minimizer 列への選択・最小値展開。compactness を欠けば全列の最小値展開は従わない。
反復の定義 (pp.109–110)、Example 1.4 と尺度についての remark (pp.111–112)：尺度の選び方は実質的条件。

このノートの定理を原論文から直接引用したのではない。今回の前件は次の通り内部で満たした：

前件	今回の実現
固定位相	raw coefficient の $G_\infty$ -unit sphere、通常の有限次元位相
compactness	sphere が compact、phase quotient も compact
第1尺度	actual formula から $s_m=a\kappa_Y16^mY^{4m+4}$
successive scale	$\varepsilon=Y^{-6}$
liminf	exact positive Schur diagonal の各項から導出
recovery	$U_Y\to I$ により高い座標を exact に消し、元の Gram で正規化
余項	jet 空間全体で (HG3)、固定 $$m$$ に一様

最初に $$s_m$$ で割らず、raw の exponentially small $$Q$$ を単に $Y^{-1}$ のべきで展開すれば、各有限次数で零が残る。外部理論は正しい尺度を自動で供給しない。

5. 実際の Γ hierarchy

$S=\{c:c^*G_\infty c=1\}$ 上で

\mathcal F_Y(c)=\frac{c^*Mc}{s_m c^*G(a)c},\qquad\varepsilon=Y^{-6}

と置く。 $r=0,\ldots,m$ に対し、 $\varepsilon^{-r}\mathcal F_Y$ の Γ-limit は

\frac{(r!)^2}{16^r}|c_{m-r}|^2 \quad\text{on }\{c_m=\cdots=c_{m-r+1}=0\}, \tag{HG5}

それ以外で $+\infty$ 。 $$r<m$$ の各 minimum は0。最高階から順に零成分が増え、最後に projective $\operatorname{span}k$ が残る。 $$m=1$$ の方向選択は最初の rank-one limit だけで足りる普通の行列摂動でもある。 $$m=2,3$$ と一般 fixed $$m$$ は、exact Schur と recovery を含むこの有限 hierarchy で整理できる。

6. Positive transfer lemma の範囲

別の実現 $$T_a$$ でも、同じ exact jet 座標で $c(2a\kappa_Y)|z|^2\le Q(T_af_c)\le C(2a\kappa_Y)|z|^2$ が fixed $$m$$ に一様で、raw physical Gram が $G_\infty>0$ に収束するなら、同じ有限次元 rank-one metric argument は raw coefficient line $\to\operatorname{span}e_0$ を与える。物理関数の restricted lowest direction $\to k$ には、さらに各固定列 $T_af_j\to f_j$ in $$L^2$$ が必要である。 Gram convergence だけなら等長回転が残り、物理関数の収束までは従わない。この補題と、可変係数に対する physical Gram 誤差の一様性は詳細 SH8 で証明した。極限 profile 行列が存在する場合、その行列を (HG3) の $$H$$ に代えればよい。ただし本担当は $$P_NR_a$$ についてこの前件を証明した扱いにしない。 full transfer は root の別担当ノートで actual 誤差を確認する必要がある。

HIERARCHICAL SELECTION IDENTIFIED: actual Weil form の support-only regularization は、任意の fixed finite $$m$$ で一意な restricted lowest eigenline を $\operatorname{span}k$ へ選ぶ。

全 $$H_a$$ の ground 比較、 $m\to\infty$ 、任意の Fourier cofinal path、G*、RH は未証明。

独立監査：DESTROYER が詳細ノート SH1–SH9 の内部証明を再計算し PASS。高次相殺後にも使える一様誤差、Gram の同時変換、recovery sequence を監査対象に含む。

公開版の参照案内（編集注）

本文中のsource-relative pathは原記録の識別子です。収録先:

research/hierarchical_selection/notes/support_hierarchy.md