STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

公開用に整形した研究原資料の履歴snapshotです。本文の「現在」「完了」「PASS」は原記録の対象・時点に限定され、RH証明や公開環境での再実行を意味しません。 Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted research log · Text: CC BY 4.0. Source: research/radical_degeneracy_lifting.md · Original SHA-256: 31791fff51d87e2e80fe6e9dc04a4b76d4ed7dc407642a1dd6ea3a0c42b81c25. 原資料パスと公開パスの対応・書換え・export hashは公開source manifestを参照。本文のコード・検証ログは履歴であり、このexportでは再実行していません。

Actual radical の有限分裂

2026-09-30。RH OPEN。旧375ファイルは読取専用。有限数値は漸近・正値性・RHの証明ではない。

1. 三種類のrateと線形化

$\mathscr X(z)=\xi(1/2+iz)$ 、 $\widehat f(z)=\int f(t)e^{-izt}dt$ 。固定familyは

f_j=k^{(2j)},\quad 0\le j\le m,\qquad \widehat f_j(z)=(-1)^jz^{2j}\mathscr X(z)/4.

actual global Weil形式の適切なtest-space拡張上で $$Q_W(f_j,g)=0$$ 。RHを仮定せず、旧監査のradical事実を用いる。今回の有限実現は

a=\log\lambda,\quad R_a=1_{[-a,a]},\quad L_{a,N}=P_NR_a,\quad b_j=L_{a,N}f_j/\|L_{a,N}f_j\|_2 .

正規化前の $L_{a,N}$ は線形だが、unit normalizationは線形でない。正規化した列を $S=(b_0,\ldots,b_m)$ と書き

G=S^*S,\quad M=S^*Q_{\lambda,N}S,\quad \mathcal R(c)=\frac{c^*Mc}{c^*Gc}. \tag{1}

個々の列のunit normalizationを行ってもspanは同じ。 generalized eigenproblemは $Mc=\mu Gc$ 。元のraw derivative basisでの係数は $c_j/\|L_{a,N}f_j\|$ であり、正規化後の係数をそのままglobal組合せの係数にしない。

Rate Aは $D(f)=Q_W(Lf,Lf)/\|Lf\|^2$ のradical recognition。 Rate Bは $$D(f)-e_0$$ と、ground proximityならさらにfull gapで割った量。 Rate Cは規格化Fourier transformの $\mathscr X$ への接近。 signed energy、absolute energy、ground excessを同一視しない。 indefinite形式ではRayleigh値0の組合せが連続的に存在し得るので、「絶対値が最も小さい固有値」を最速absolute-score状態と定義しても一般には誤る。

2. actual kernelからの直接計算

$t\ge0,\ y_n=\pi n^2e^{2t}$ として

k(t)=e^{t/2}\sum_{n\ge1}(y_n^2-\tfrac32y_n)e^{-y_n},\qquad k(-t)=k(t). \tag{2}

多項式を

P_0(y)=y^2-\tfrac32y,\quad P_{r+1}(y)=(\tfrac12-2y)P_r(y)+2yP_r'(y)

とすれば $f_j(t)=e^{t/2}\sum P_{2j}(y_n)e^{-y_n}$ 。 zero ordinatesや零点位置は計算入力に使わない。

有限基底

V_n(t)=(-1)^n e^{i\pi nt/a}/\sqrt{2a}

に対する列係数を偶性から

B_{nj}=\frac{2(-1)^n}{\sqrt{2a}}\int_0^a f_j(t)\cos(\pi nt/a)\,dt \tag{3}

として計算した。Qは既存の独立Arb prime/Gamma/pole組立てをread-onlyで利用する。 GramをCholesky $$G=LL^*$$ でwhitenし、 $L^{-1}ML^{-*}$ を対角化、係数を $L^{-*}$ で戻す。 Gを無視した通常のM固有vectorは使わない。

3. Step31を実行した範囲

$$m=1,2,3$$ 。
$\lambda^2=9,25,49,81,121,169$ 。
二経路 $N_2(a)=\max(4,\lceil a^2\rceil)$ 、 $N_3(a)=\max(4,\lceil a^3\rceil)$ 。双方 $N/a\to\infty$ 。
重複を除き11組、restricted problemsは33組。
Q：448-bit Arb assemblyのmidpoint。固有解析：mpmath100桁。
theta積分：Gauss 144点と192点を比較。
global方向の診断用Gram：区間 $$[-4,4]$$ 、192点と256点を比較。
prolate比較：前trackのraw proxy構成をread-only再利用。 Legendre192→256、区分求積32→48で比較。

これはinterval certificateではない。高精度固有残差は、Q組立て・quadrature・proxy全誤差の保証ではない。 theta列の求積変動は最大約 $6.2\,10^{-51}$ 、global Gram変動は約 $4.0\,10^{-37}$ 。 prolate比較の最大解像度変動はprojective distance約 $1.05\,10^{-5}$ 。 Gram conditionは最大約1936であり、100桁という表示だけを根拠に安全性を主張しない。

再現scriptと全M/Gは splitting_probe.py、 splitting_results.json。既存実験結果は上書きしていない。

4. 同点は有限では分裂する

以下は $$m=3$$ の最低generalized eigenvalue $\mu_0^{(3)}$ 。 overlapは二乗で、global derivative係数から元のlog-spaceで比較した。

$\lambda$	$$N$$	k単独のR	$\mu_0^{(3)}$	選択組合せとglobal k	選択組合せとfinite ground
3	4	$2.44125\,10^{-7}$	$2.33155\,10^{-13}$	0.977842	0.999992
7	8	$5.18907\,10^{-7}$	$1.78213\,10^{-17}$	0.971739	0.980023
13	7	$8.07733\,10^{-5}$	$2.32968\,10^{-17}$	0.892770	0.967642
13	17	$9.53631\,10^{-12}$	$1.41541\,10^{-21}$	0.993463	0.961262

最後の行のglobal単位norm係数はおよそ

7.49151\,k+0.04585997\,k''+ 9.39774\,10^{-5}k^{(4)}+6.44929\,10^{-8}k^{(6)}.

先頭係数を1に揃えると $k+0.00612159\,k''+\cdots$ 。有限の最小方向はkそのものではない。この小さいderivative係数だけから、その極限がkだと証明しない。

同じ最後の例で

\mu_0^{(1)}\simeq4.99940\,10^{-15},\quad \mu_0^{(2)}\simeq1.99334\,10^{-18},\quad \mu_0^{(3)}\simeq1.41541\,10^{-21}.

固定有限問題でspanを広げればRitz最小値は下がる。このm方向の改善を $(\lambda,N)$ のrateや $m\to\infty$ の定理と混同しない。

5. groundとの隔たり

$\lambda=13,N=17$ のfull ground値は約 $9.66\,10^{-59}$ 、full gapは $1.44\,10^{-55}$ 。 restricted最小値とfull groundのexcess/gapは約 $9.80\,10^{33}$ 。したがって小さいrestricted scoreでも、前trackのgap補題によるground認証には届かない。大きい比は距離の下界ではなく、実測overlap約0.961とも矛盾しない。

同例でfull groundの $\mathcal R_3$ 有限像への射影量は約0.999905。 subspaceには非常に近くても、その中のRitz最低方向がgroundに同程度近いとは限らない。極小gapに対する補空間couplingの制御が別に必要である。

prolateとの比較も記録した。最後のrestricted最小方向とのoverlap²は約0.993194。これはraw proxyの有限診断であり、proxy→Xiやground→proxyのrateを証明したものではない。

6. defectの分解と二重計上の防止

$$e=R_af-f$$ 、 $$d=(P_N-I)R_af$$ とする。 global radical identityを使うと正確に

Q_W(P_NR_af)=Q_W(e+d,e+d) =Q_W(e,e)+2\Re Q_W(e,d)+Q_W(d,d). \tag{4}

項間の符号相殺を捨てない。nonnegative error budgetsだと仮定しない。 unit normalizationはこの右辺全体を $\|P_NR_af\|^2$ で割る。

support内の関数の相関は距離 $$2a$$ より外で0なので、 Qのprime cutoff $p^k\le e^{2a}$ はそのsupportに対してexact。「missing primes beyond $\lambda^2$ 」という独立の形式誤差をさらに加えるのは二重計上。 global tailを使う(4)の側では、全prime項とGamma/pole項を保持する。

7. Rate C は独立

固定 $f=\sum c_jf_j$ について

\widehat f(z)=P_c(z)\mathscr X(z)/4,\qquad P_c(z)=\sum c_j(-1)^jz^{2j}.

例えば旧監査と同じ $$z_*=i/4$$ を使い $P_c(z_*)\ne0$ なら

\frac{\widehat f(z)}{\widehat f(z_*)} =\frac{P_c(z)}{P_c(z_*)} \frac{\mathscr X(z)}{\mathscr X(z_*)}.

全radical状態は零点を消すが、同じXi関数を再現するわけではない。固定mで $\mathscr X$ と同じ規格化極限を得るにはpoly factorが定数へ行く必要がある。さらに有限像からglobal transformへは、拡大窓の評価損失を含む比較が要る。 L² normやenergyだけをG*へ読み替えない。

8. 支持切断に対する解析的rate

$Y=\pi e^{2a}=\pi\lambda^2$ 、 $$A_j=f_j(a)$$ と置く。 actual theta展開とWeil形式の全成分から、固定jについて

A_j\sim4^j\pi^{-1/4}Y^{2j+9/4}e^{-Y},\qquad Q_W(R_af_j)=\frac{A_j^2}{2Y}[2a+o(1)].

従って

Q_W(R_af_j)\sim\frac{a16^j}{\sqrt\pi} Y^{4j+7/2}e^{-2Y}. \tag{5}

単位normのscoreではさらに $\|f_j\|_2^{-2}$ を掛ける。共通のsuper-exponential因子は同じだが、polynomial prefactorは異なる。これは単なるtail normでなく、actual Weil scoreの漸近である。 Archimedean項が主項、全prime/pole項はこの精度で下位と評価した。完全な導出とdomain。

しかし組合せを許すと先頭行列はrank one：

\frac{Y}{a}\operatorname{diag}(A_j)^{-1} [Q_W(R_af_i,R_af_j)] \operatorname{diag}(A_j)^{-1} \longrightarrow{\bf1}{\bf1}^*. \tag{6}

先頭の採点対象は境界値であり、零空間が残る。例えば

g_a=k-\frac{k(a)}{k''(a)}k'',\quad \frac{k(a)}{k''(a)}\sim\frac1{4Y^2},\quad g_a\to k\text{ in }L^2

は境界値をexactに消し、

\frac{Q_W(R_ag_a)}{Q_W(R_ak)}\sim\frac2{Y^2}. \tag{7}

有限aでk単独より速く0へ近づくが、その例自体のglobal方向はkへ近づく。「混合状態が勝つ」ことと「kが極限ではない」ことを同一視しない。また(6)から一意な全次次数selectorを導いてはいない。

ただしm=1の二候補については、raw固定basisで

s_a=(a/Y)A_1^2,\quad M_a/s_a\to\operatorname{diag}(0,1),\quad G_a\to G_\infty>0

なので、whitened limitの最低固有値0は単純である。従ってrestricted support-only groundの方向はkへ収束し、 gapは $s_a(G_\infty^{-1})_{11}$ と漸近的に等しい（添字0,1）。この限定選択結果は、上記P_N付き数値problemの極限を証明したものではない。

9. 解析的なrateの範囲

有限Fourier射影まで含むraw matrix全成分には

|M_{ij}|\le C_m\left[ a(1+\Omega)^{4m+8}e^{a-\pi\Omega/2} +\lambda^{8m+24}e^{-2\pi\lambda^2}\right], \qquad \Omega=\pi(N+1)/a

という無条件上界を得た。導出は実軸Fourier decay、 weighted BV、actual明示公式から成り、単なるL²形式連続性の仮定ではない。指定二経路で固定mの全Ritz値が0へ行くことも従う。 support漸近・boundary cancellationと、このfull-system上界を分離して記録する。支持だけの $N\to\infty$ 先行極限と、上記二つのcofinal pathsは同一でない。異なる正規化・m・pathを混ぜたgrowth fitは行わない。

公開版の参照案内（編集注）

本文中のsource-relative pathは原記録の識別子です。収録先:

以下は原記録のprovenanceで、公開版には含めていません（非リンク）。第三者原著は本文の外部引用URLを参照してください。

experiments/splitting_probe.py — SOURCE REFERENCE NOT INCLUDED
experiments/splitting_results.json — SOURCE REFERENCE NOT INCLUDED