STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

公開用に整形した研究原資料の履歴snapshotです。本文の「現在」「完了」「PASS」は原記録の対象・時点に限定され、RH証明や公開環境での再実行を意味しません。 Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted research log · Text: CC BY 4.0. Source: research/weighted_prime_halfspace.md · Original SHA-256: 06dafdd010fa75265f64c78b132fb24199accbb73d7ac3ab3189678a14f73b85. 原資料パスと公開パスの対応・書換え・export hashは公開source manifestを参照。本文のコード・検証ログは履歴であり、このexportでは再実行していません。

Weighted Prime Half-space / Boolean Parity Correlation

2026-09-30。RH は OPEN。既存の全 track、state、proof graph は保持し、本トラックから自動 merge しない。

判定：三つの主要試行を終了。今回の success ladder では Level 0。 正確な構造・反例・既知定理の適用範囲を明確化したが、新しい算術固有 identity、新しい相殺機構、固定 power saving は得られていない。前トラックでの「exact bridge＝Level 1」と今回の基準は違うため、その水準を引き継がない。

最も明確になったのは、平方自由生成族の $$z=-1$$ で Selberg–Delange の全局所漸近係数が消えることと、それでも Mertens 和全体が剰余として残ることの区別である。これは有限状態の exact bulk cancellation や低次元化を証明しない。以下は三系統の比較・直接計算・独立監査の記録である。

1. Actual threshold と正規化

$X\ge2,\ P_X=\{p\le X\},\ m=\pi(X),\ L=\log X$ とする。Boolean vector $\epsilon$ について

W(\epsilon)=\sum_{p\le X}\epsilon_p\log p,\qquad \chi(\epsilon)=(-1)^{\sum_p\epsilon_p},\qquad f_X(\epsilon)=1_{W(\epsilon)\le L}.

素因数分解の一意性により

\boxed{M(X)=\sum_{\epsilon\in\{0,1\}^m}\chi(\epsilon)f_X(\epsilon) =2^m\widehat f_X([m]).} \tag{1}

empty vector は $n=1,\mu(1)=1$ 。squarefree でない整数の係数は0。以下では常に counting scale に戻す。uniform cube 上で極端に小さい coefficient であること自体を成果と数えない。

前トラックの phase law だけではこの値を制御できないという反例を保持する。本トラックで対象を rectangular cutoff に置き換えず、state-count matching、random signs、人工的な norm へは移らない。

2. 優先 Track B： $$z=-1$$ で何が消えるか

S_z(X)=\sum_{n\le X}\mu(n)^2z^{\omega(n)},\qquad \mathcal F(s,z)=\sum_n\mu(n)^2z^{\omega(n)}n^{-s}.

$\Re s>1$ で絶対収束する恒等式は

\mathcal F(s,z)=\prod_p(1+zp^{-s})=\zeta(s)^zG(s,z),\quad G(s,z)=\prod_p(1+zp^{-s})(1-p^{-s})^z. \tag{2}

大素数の因子は $1+O_R(p^{-2\Re s})$ なので、 $$G$$ は $\Re s>1/2$ へ正則に拡張する。これは $\zeta(s)^z$ の大域的一価性や、元の Euler 積の critical strip での収束を意味しない。

端点では因子ごとに厳密に

\boxed{G(s,-1)=1,\qquad \mathcal F(s,-1)=1/\zeta(s),\qquad S_{-1}(X)=M(X).} \tag{3}

ここで $\sum z^{\omega(n)}$ の全整数版や $z^{\Omega(n)}$ に変更しない。

2.1. 全局所係数の消失

$Z(s)=(s-1)\zeta(s)$ は $$s=1$$ の近くで正則・非零、 $$Z(1)=1$$ 。同近傍で

\frac{Z(s)^zG(s,z)}s=\sum_{j\ge0}h_j(z)(s-1)^j

と展開すると、Selberg–Delange の局所漸近項は

X(\log X)^{z-1} \sum_{j=0}^J\frac{h_j(z)}{\Gamma(z-j)(\log X)^j}. \tag{4}

$$h_j(-1)$$ は有限、 $1/\Gamma(-1-j)=0$ なので、全ての有限次数の係数が厳密に0となる。

これは既知である。de la Bretèche–Tenenbaum の原典 p.3、式(1.9)–(1.10)直後にも非正整数で全係数が消えることが明記されている。Remarks on the Selberg–Delange method

2.2. 剰余は何を与え、何を与えないか

同原典 Theorem 1.2 に $\varrho=-1,r=1,f=\mu$ を適用できる。素数上の差 $g(p)=f(p)-\varrho$ は0、高素数冪係数も0。固定パラメータの誤差評価から、任意の固定 $$K>0$$ に

M(X)=O_K\!\left(\frac{X}{(\log X)^K}\right) \tag{5}

という既知の評価を回収できる。定数の $$K$$ 依存を無視して $$K=K(X)$$ にしてはいけない。古典的な零点自由領域を含む強い定理からの既知の $Xe^{-c\sqrt{\log X}}$ 型評価も、固定 $\delta>0$ の $X^{1-\delta}$ とは異なる。

特にこの原典の証明は、 $\zeta(s)^\varrho$ の係数 $\tau_\varrho$ の既存漸近に依存する。 $\tau_{-1}=\mu$ なので、(5) をこの方法からの独立な新しい PNT 証明とは数えない。RH を仮定した循環ではないが、既知の難しい入力を再使用している。

Granville–Koukoulopoulos の Theorem 1 は有界な複素 $$z$$ 集合で適用可能な加法誤差を与える。零になる主係数で割った相対誤差の一様性は別である。Beyond the LSD method

$z=-1+\delta$ では

\frac{G(1,-1+\delta)}{\Gamma(-1+\delta)} =-\delta+O(\delta^2).

従って先頭局所項は

\frac{X}{(\log X)^2}\,e^{\delta\log\log X} [-\delta+O(\delta^2)]. \tag{6}

縮む $\delta$ ではこの主項が加法誤差以下になり得る。端点に近づく main term の見かけだけを外挿して $$M(X)$$ を評価できない。

2.3. 「bulk 消失」の正確な意味

$1/\zeta(s)=(s-1)/Z(s)$ は $$s=1$$ で正則な零点を持つ。その局所 Hankel 主項が消える一方、他の $\zeta$ 零点での $1/\zeta$ の極は残る。局所情報は大域的な Perron 輪郭や remainder を制御しない。

このことを synthetic Dirichlet series でも検査した。固定 $\beta\in(1/2,1)$ に対し

D_\beta(s)=\zeta(s+1-\beta) -\frac{\zeta(2-\beta)}{\zeta(2)}\zeta(s+1)

は $$s=1$$ で正則で値0だが、その係数和は

\frac{X^\beta}{\beta} -\frac{\zeta(2-\beta)}{\zeta(2)}\log X+O_\beta(1).

これは actual Euler factors を保持しないので RH の反例・候補理論には採用しない。「局所的な零点だけで平方根 remainder が出る」という推論だけを反証する。

したがって「RH は bulk main term が消えた後の remainder の問題」と読むことは可能だが、その remainder が低次元である、別の易しい既知量に支配される、という新定理は得ていない。

2.4. $\omega(n)$ の分布と parity 周波数

標準化された Erdős–Kac の CLT の固定周波数と、元の $(-1)^{\omega(n)}$ の周波数 $\pi$ は異なる。後者は標準化座標で $\pi\sqrt{\log\log X}$ へ発散する。局所個数を近似しても、交代和の誤差を別途制御しなければならない。

ただし全ての強化分布定理が $\pi$ を扱えないわけではない。Kowalski–Nikeghbali §4 の mod-Poisson theorem は全整数版でこの周波数を扱う。対象が平方自由版の $$M(X)$$ と違うこと、精度が固定 power saving を自動的に与えないことを分けた。Mod-Poisson convergence

詳細な定理の仮定・版・remainder は Track B note。

3. Track A：有限差分・境界の構造

$\tau_a f(u)=f(u-a),\ J(u)=1_{u\ge0}$ とすれば

F_m(L)=\left[\prod_{p\le X}(I-\tau_{\log p})J\right](L). \tag{7}

$H_L(u)=1_{u\le L}$ を0で評価する別表記では $\tau_{-\log p}$ が必要。元の符号のまま $\tau_{+\log p}$ を $$H_L(0)$$ に使うと目的の subset sum にならない。

順序によらず

F_k(L)=F_{k-1}(L)-F_{k-1}(L-\log p_k). \tag{8}

block も全 subset shifts を残した signed convolution となる。これは exact self-similarity だが、contraction ではない。

正の重み $a_1,\ldots,a_m$ について

\prod_j(I-\tau_{a_j})f(L) =\int_0^{a_1}\cdots\int_0^{a_m} f^{(m)}(L-u_1-\cdots-u_m)\,du. \tag{9}

箱関数の畳み込み $B=\mathbf1_{[0,a_1]}*\cdots*\mathbf1_{[0,a_m]}$ は非負だが、目的量は分布として $D^{m-1}B$ 。非負 spline 自体ではない。smooth step を幅 $$h$$ で使う直接評価は

\left(\prod_j a_j\right)h^{-m}\|\psi^{(m-1)}\|_\infty

を支払い、 $m=\pi(X)$ と共に微分次数が増大する。

$$F_m$$ の support は $[0,\sum a_j]$ に含まれるだけ。actual prime logs では右端 $\vartheta(X)\sim X$ に対し readout は $\log X$ であり、「狭い境界帯」ではない。distinct subset sums により全変動は正確に $$2^m$$ 。標準 $L^\infty$ operator norm も $$2^m$$ で、一般の収縮を与えない。

3.1. 一般 threshold の sharp bound と失敗例

任意の downset $D\subset\{0,1\}^m$ に対し

\boxed{\left|\sum_{\epsilon\in D}(-1)^{|\epsilon|}\right| \le {m-1\choose\lfloor(m-1)/2\rfloor}.} \tag{10}

normalized layer densities の単調性から直接証明し、既知の convex-hull theorem と照合した。equal-weight threshold で等号。normalized coefficient では $O(m^{-1/2})$ だが、counting scale では $2^m/\sqrt m$ である。 $m=\pi(X)$ への代入は自明界 $$O(X)$$ さえ改善しない。

equal weights では

\sum_{k=0}^r(-1)^k{m\choose k}=(-1)^r{m-1\choose r} \quad(0\le r<m).

threshold の margin を保つ任意小の rationally independent perturbation でもこの値は変わらない。distinct subset sums や generic irrationality 自体は利得にならない。

Kozlov の原論文 Theorem 4.1 と §5 を確認した。Convex Hulls of f- and β-Vectors。noise、influence、Littlewood–Offord、hypercontractivity は一般 bound として監査し、counting normalization、unsigned shell、 $\rho^{-m}$ の noise 復元費用を保持した。martingale/permutation averaging も最終的に同じ parity coefficient を返し、追加の算術相関は与えない。

3.2. 大素数 block と共有 parent

$Y=\sqrt X$ 、 $A_{\le Y}(X)=\sum_{n\le X,\ P^+(n)\le Y}\mu(n)$ とすると

\boxed{M(X)=A_{\le Y}(X)-\sum_{Y<p\le X}M(X/p) =A_{\le Y}(X)-\sum_{r\le X/Y}\mu(r)[\pi(X/r)-\pi(Y)].} \tag{11}

平方根は一つの $n\le X$ が $$Y$$ より大きい素因数を高々一つ持つことから現れる。共有 parent の multiplicity を $\pi(X/r)-\pi(Y)$ のまま残した。PNT でこの係数の平均密度を近似しても、 $\mu(r)$ との signed correlation は未評価。これは既知の prime-factor decomposition の再構成であり、新 identity とは数えない。

詳細と sharp-bound proof は Track A note。

4. Track C：境界に適応した傾斜測度

有限 $$P_X$$ 上で任意の実 $\sigma$ に

Z_\sigma=\prod_{p\le X}(1+p^{-\sigma}),\quad \mathbb P_\sigma(S)=Z_\sigma^{-1}e^{-\sigma W(S)}

と置く。独立 Bernoulli の選択確率は $1/(1+p^\sigma)$ 。exact reconstruction は

\boxed{M(X)=Z_\sigma\, \mathbb E_\sigma[\chi e^{\sigma W}1_{W\le L}].} \tag{12}

積で計算できる $\mathbb E_\sigma\chi=\prod(1-p^{-\sigma})/(1+p^{-\sigma})$ は、この readout correlation と異なる。

$G_\sigma=e^{\sigma W}1_{W\le L}$ 、 $N_X=\sum_{n\le X}\mu(n)^2$ とすれば

M(X)=N_X\,\mathbb E_\sigma\chi +Z_\sigma\operatorname{Cov}_\sigma(\chi,G_\sigma). \tag{13}

$X=3,\sigma=1$ の exact countertest は

Z=2,\quad \mathbb E\chi=1/6,\quad \mathbb EG=3/2,\quad \mathbb E(\chi G)=-1/2.

よって $$M(3)=-1=1/2-3/2$$ 。相関を捨てると符号まで誤る。

4.1. Saddle の存在と非Gaussianな揺らぎ

平均 $\sum_{p\le X}\log p/(1+p^\sigma)$ は $\sigma$ に関して厳密に減少。その値を $$L$$ に合わせる有限 saddle が存在する条件は $0<L<\vartheta(X)$ 、positive saddle の条件は $L<\vartheta(X)/2$ 。大きい $$X$$ では PNT により成立するが、 $$X=2$$ には有限解がなく、 $$X=3$$ の解は負である。

PNT と部分和分から $\sigma=1$ に

\mathbb EW\sim L,\quad \operatorname{Var}W\sim L^2/2,\quad \mathbb E e^{-tW/L}\longrightarrow \exp\left(\int_0^1\frac{e^{-tu}-1}{u}\,du\right). \tag{14}

この極限は非Gaussian。saddle も $(\sigma_X-1)L\to0$ なので同じ極限が残る。単に平均を境界へ合わせても、相対的に狭い正規分布へ集中するわけではない。これらは既知の確率的構造と整合する直接導出であり、新規性や RH への利得を主張しない。

全素数の probability interpretation では $\sigma>1$ が別途必要。その域で

Z_\sigma^{(\infty)}=\zeta(\sigma)/\zeta(2\sigma),\qquad \mathbb E_\sigma\chi=\zeta(2\sigma)/\zeta(\sigma)^2.

$\sigma\le1$ では almost surely 無限個の素数を選び $W=\infty$ となるので、通常の finite parity variable は定義されない。有限積の値が0に近づく場合も、それを $$M(X)=0$$ へ転用できない。有限 $$P_X$$ の (12) 自体は問題なく、残る障害は covariance の評価である。

4.2. Sieve parity barrier の限定監査

非負列 $\mu(n)^2+\mu(n)$ と $\mu(n)^2-\mu(n)$ は反対の squarefree parity に支えられるが、各固定 divisor $$d$$ に対して同じ leading density を持つ。符号付き誤差を捨てた local density だけでは parity を決定できない。全ての正確な divisor data は別であり、それを与えれば逆変換できる。

有限差分の積は inclusion–exclusion の alternating product と同じ代数を持つ。しかし本対象は cutoff を選んだ squarefree divisor weight であり、通常の sifted count の $\lfloor X/d\rfloor$ 重みとは同一ではない。どちらも exact expansion を知ることと、残る signed sum を評価することは別である。

Tao の原著者解説を確認し、divisor-sum の誤差を明記した補題として保存した。広い意味の parity barrier には informal な範囲があるため「あらゆる篩手法が不可能」とは主張しない。2007 parity problem、2015 notes §5

詳細は Track C note。

5. Ordered squarefree readout と有限実験

ordered signed process は $\sum_{n\ {\rm sf}}\mu(n)\delta_{\log n}$ 。整数性は $|\log a-\log b|\ge1/\max(a,b)$ を与えるが、隣接符号は強制しない。例えば squarefree な 2,3 は共に負、13,14 は負・正、14,15 は共に正。spacing だけから deterministic alternation は出ない。反証にはこの有限例で十分で、random sign model は使わない。

実験コードと結果を保存した。

actual prime recursion： $$X=30,100,1000$$ 。差分 recurrence と Möbius sieve の一致。
equal weights：次元1〜20の全 rank cutoff を整数で検算。全 downsets の総当たりは次元1〜4。
最初の6素数の全720順序： $$X=100$$ の最終値は4で不変、途中の最大振幅は順序により4または5。これは6素数 subsystem で、actual $$M(100)=1$$ とは区別。
各素数の pivotal shell の符号付き和、 $$X=30,100,1000,10000$$ の大素数分解と parent multiplicity。
7種類の重み：actual prime logs、equal、等間隔、乱数サンプル、微小摂動、nonprime logs、有理関係を持つ重み。同一総重み・同一 cutoff で比較した。乱数は診断用だけ。
$\omega$ 別個数、 $$z=-1$$ 近傍の exact rational polynomial values、有限 Gibbs identity、saddle の数値診断。

例として $$S_z(100)=1+25z+30z^2+5z^3$$ なので $S_{-1}(100)=1$ 。全局所漸近係数が0でも有限の値は0にならない。近似 equal-weight の次元12・rank5では、rationally independent な重みでも discrepancy $$-462$$ を保持する。

全 assertion は通過。有限計算・saddle の数値値は一般定理の証明や growth fit に使用しない。証明は上記の直接恒等式、反例、原典の適用条件による。

6. Strategy review

Track	保存した構造	終了理由
A finite difference / Boolean	正しい符号、spline derivative、sharp downset bound、actual block recursion	一般 bound は counting scale で改善せず、derivative/noise の費用を打ち消す算術内容なし
B Selberg–Delange endpoint	$$G(s,-1)=1$$ 、全局所係数消失、端点を含む加法誤差	Mertens 全体が既知の remainder に残り、独立の新評価なし
C tilt / saddle / readout	exact Gibbs・covariance、saddle 条件、非Gaussian極限、限定 parity barrier	covariance を評価できず、unsigned 分布・local densities では不足

今回新しく固定 $\theta<1$ の $M(X)=O(X^\theta)$ を得ていないため、Dyadic Reduction へ新しい exponent bridge は作成しない。既存の $2^{(\theta-1/2)n}$ の条件付き関係も変更しない。

第4候補へ移らず終了する。再開には、actual arithmetic cutoff の signed correlation または $$z=-1$$ の remainder に対する、既知算術からの具体的な新評価が必要。その評価自体を仮定することは再開条件を満たさない。

公開版の参照案内（編集注）

本文中のsource-relative pathは原記録の識別子です。収録先:

以下は原記録のprovenanceで、公開版には含めていません（非リンク）。第三者原著は本文の外部引用URLを参照してください。

experiments/check_halfspace.py — SOURCE REFERENCE NOT INCLUDED
experiments/results.json — SOURCE REFERENCE NOT INCLUDED