STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

公開用に整形した研究原資料の履歴snapshotです。本文の「現在」「完了」「PASS」は原記録の対象・時点に限定され、RH証明や公開環境での再実行を意味しません。 Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted research log · Text: CC BY 4.0. Source: research/common_parent_variational_principle.md · Original SHA-256: ddab318de9b3001d623b713c8459a6bf1e4c0bedcb0a1240e8db6b2a63f730e8. 原資料パスと公開パスの対応・書換え・export hashは公開source manifestを参照。本文のコード・検証ログは履歴であり、このexportでは再実行していません。

Common parent variational principle / dual projections

2026-09-30。RH OPEN。限定監査完了。既存研究・state・proof graphには統合しない。

結論

NO COMMON PARENT IDENTIFIED.

指定されたBを、実際の有限Weil行列Aの目的関数に代入した。小さい例ではほぼ最低点になる。一方、別の有限例ではRayleigh値が小さくても ground gapがさらに小さく、energy excess / gapは大きい。この結果は「BがAから遠い」ことの証明ではなく、小energyだけからgroundへの接近を認証できないことを示す診断である。適切な同時極限での $\varepsilon/\Delta\to0$ は証明していない。

原典と式から、二つの重要な区別も固定した。

Bのseedは最も集中した単一prolate modeではない。 0次・4次modeの積分零の組合せであり、通常のeven mean-zero concentration問題の stationary pointですらない。
極限proxyには、Weil形式のradicalに入るという本当の算術的関係がある。しかしこれは既知であり、無限次元のradicalはunique groundを選ばない。

到達度は本ユーザー指定の Level 1（辞書・明示的な比較式・反証まで）。共通parentの存在、無条件almost-minimizer評価、gap比の極限、G*、RHは未取得。三系統を評価し、同型の第4候補へ移行しない。

1. 対象を固定する

$\lambda>1,\ a=\log\lambda$ とし、Aの空間は

Y_\lambda=L^2([-a,a],dt),\qquad E_N=\operatorname{span}\{(2a)^{-1/2}e^{i\pi j(t+a)/a}:|j|\le N\}.

区間外には0延長する。actual Weil形式をこの空間へ制限したHermitian行列 $Q_{\lambda,N}$ に対して

e_0=\min_{\|v\|_2=1}Q_{\lambda,N}(v,v),\qquad Q_{\lambda,N}v_0=e_0v_0 .

Gamma・pole-removal・全 $p^k\le\lambda^2$ のprime項を含める。有限Fourier次数Nはprime cutoffと別のparameter。 ESは全空間の最小固有値が単純かつgroundがevenという条件であり、 reflection可換性だけからは得られない。

Bのseedはadditive空間 $L^2([-\lambda,\lambda],dx)$ にある。

C_\lambda=P_\lambda\mathcal F^{-1}P_\lambda\mathcal F P_\lambda,\quad J_{\rm leak}(h)=\|h\|_2^2-\langle h,C_\lambda h\rangle.

単位normでleakageを最小化するのはprolate $\psi_0$ 。指定proxyはそれとは異なり

h_\lambda\propto\psi_4-\frac{\int\psi_4}{\int\psi_0}\psi_0,\qquad k_\lambda(u)=\sqrt u\sum_{1\le m\le\lambda/u}h_\lambda(mu), \quad \lambda^{-1}\le u\le\lambda .

有限区間外のseedは0。比較に使うのはlog座標 $k_\lambda(e^t)$ の既存Fourier射影

p=P_N k_\lambda,\qquad b=p/\|p\|_2

である。新しい内積、任意のunitary identification、零点依存の補正は導入しない。 raw proxyのlog-evennessも仮定しない。

全objective、境界、規格化、原典対応は variational dictionary、 BのEuler式に固定した。 CCM §7のBを別のconcentration minimizerへ置換していない。

2. 最初の実験：BをAの採点へ代入

測定量は

R_B=b^*Qb,\quad \varepsilon=R_B-e_0,\quad \Delta=e_1-e_0,\quad \eta=\varepsilon/\Delta .

Qはprime/pole/archimedean成分から組み立てた。 trialはprolateのLegendre Ritz近似から算術和・Fourier射影で作った。 seed次数、求積次数を増やして診断の変動を確認し、微小gapの例は 288-bit Arbによる行列組立てと75桁固有分解で再計算した。 trial係数自体は倍精度近似の丸め値であり、全prolate誤差のinterval certificateではない。 Arb行列もmidpointを渡すため、gapとscore自体についても区間認証とは主張しない。

$\lambda^2$	$$N$$	$$R_B$$	$\Delta$	$\eta$	$\|\langle b,v_0\rangle\|^2$
2	4	$1.95493\,10^{-3}$	$1.03506\,10^{-1}$	0.00211972	0.99978990
3	4	$3.07328\,10^{-7}$	$5.32075\,10^{-5}$	0.0000328082	0.99999995
5	4	$6.00467\,10^{-7}$	$1.58783\,10^{-8}$	37.8112	0.99548421
5	8	$5.60528\,10^{-13}$	$2.20320\,10^{-12}$	0.252341	0.99988509
9	8	$2.76804\,10^{-11}$	$8.69688\,10^{-18}$	$3.18280\,10^6$	0.99470913
13	8	$8.19928\,10^{-10}$	$3.90717\,10^{-20}$	$2.09852\,10^{10}$	0.98487843

大きい比は距離の下界ではない。例えば最後の行のoverlapは依然高い。標準gap上界が弱いことと、実際に近くないことは違う。また固定Nでの有限例から、 $\lambda,N$ の適切な同時極限を反証しない。数値の詳細・再現方法・precision gateは Step31記録、高精度診断JSONに保存した。 ground gapがroundoff以下となった倍精度結果は結論に使わない。

3. Rayleigh法の正しい結論と追加のrate

単純groundと $\Delta>0$ のもとで、固有vector展開により厳密に

\varepsilon =\sum_{j\ge1}(e_j-e_0)|\langle v_j,b\rangle|^2 \ge\Delta\,\operatorname{dist}(b,\mathbb Cv_0)^2 .

従って

\operatorname{dist}(b,\mathbb Cv_0)^2\le\eta,\qquad \min_{|\omega|=1}\|b-\omega v_0\|^2\le2\eta .

一様正gapは不要。 $\varepsilon=o(\Delta)$ で十分である。残差 $$r=(Q-R_B)b$$ なら、別途 $$R_B<e_1$$ が分かる場合に限り

\|(I-P_{v_0})b\|\le\|r\|/(e_1-R_B).

残差0のexcited stateは反例なので、groundの識別を省略しない。これらは標準的な補題であり、以前のLocal-to-Global監査にも現れた。新しい算術的energy estimateとしては数えない。

さらに、ユーザーのLevel 3とLevel 4の間には窓依存の評価損失がある。 $p=P_Nk_\lambda$ 、 $cv_0=P_{v_0}p$ とおくと

d_{\lambda,N}:=\|p\|_2\sqrt{\eta}+\|(I-P_N)k_\lambda\|_2,\qquad \|cv_0-k_\lambda\|_2\le d_{\lambda,N}.

全 $$0<r<1/2$$ について

\sup_{|\Im z|\le r}|c\widehat v_0(z)-\widehat k_\lambda(z)| \le \sqrt{\frac{\lambda^{2r}-1}{r}}\ d_{\lambda,N}. \tag{V*}

従って、この右辺が0へ行くことがG*への明示的な十分評価。既知 $\widehat k_\lambda\to\mathscr X/4$ と、 $$z_*=i/4$$ での非零極限を合わせれば値規格化も処理できる。これは必要最小条件とは主張しない。単なる $\eta\to0$ は、増大support上の複素Fourier評価を自動では制御しない。

raw proxyは小さな内部・端点jumpを持ち得るため、根拠のないperiodic $$H^1$$ boundを使わなかった。全変動 $V_\lambda$ に対する安全なtail boundは

\|(I-P_N)k_\lambda\|_2\le\frac{\sqrt{\log\lambda}}{\pi\sqrt N}V_\lambda .

(V*)に必要な全パラメータrateは未取得である。

4. 本当に共通しているもの：既知のWeil radical

Hermite極限seed

h(x)=\frac\pi2x^2(2\pi x^2-3)e^{-\pi x^2}

の算術和 $k(t)=e^{t/2}\sum_{n\ge1}h(ne^t)$ は両側でsuper-exponentialに減衰し、 $\widehat k(z)=\mathscr X(z)/4$ 。全指数重み付き導関数が可積分なtest-space上でWeil明示公式を連続拡張すると

Q_W(k,g)=0\qquad\text{for every admissible }g . \tag{Z}

証明は明示公式の各零点評価が $\widehat k$ を消すことによる。ここでは零点の実部を仮定していない。実際、Connes–Consaniは算術和の像がWeil形式のradicalに入ることを既に明記している： Spectral triples and ζ-cycles, §3, pp.118–120。

(Z)は単なる見た目の類似より強い、本当の算術的接続である。しかし「最低点へのほぼ到達」とは違う。負の方向が存在すればzero-energy vectorはgroundではない。非負ならzero-energy vectorは最小解だが、 $k,k'',k^{(4)},\ldots$ もradicalに入り線形独立なので一意でない。このtest-spaceの形式を、閉じた大域 $$L^2$$ 正形式と無断に同一視しない。

滑らかなcompact cutoffによる $k_a\to k$ から $Q(k_a,k_a)/\|k_a\|^2\to0$ は得られる。これはactual prolate proxyのWeil energy/gap比を評価したものではない。さらにcontinuum compact-core最小値

e_0(a)=\inf_{\|f\|=1,\ \operatorname{supp}f\subset[-a,a]}Q_W(f,f)

は非増加なので、Weil criterionと合わせると

e_0(a)\to0\quad\Longleftrightarrow\quad\mathrm{RH}.

「ground値も0へ行くはず」を独立な新入力にすることはできない。この同値性は指定continuum coreについてであり、任意の有限joint pathへ未証明のGalerkin収束を挟んだ主張ではない。

5. 共通parentへの持ち上げはどこで止まるか

算術和 $S_\lambda$ 自体はcanonicalで、正半直線のseed空間からYへboundedかつonto。しかし $(0,\lambda^{-1})$ 支持の全関数がkernelに入り、等長写像ではない。自然なpullbackは

J_A(h)=\frac{Q_W(S_\lambda h,S_\lambda h)} {\langle h,S_\lambda^*S_\lambda h\rangle},\qquad S_\lambda^*Q_WS_\lambda h=\mu S_\lambda^*S_\lambda h . \tag{P}

これはAの再表現。Bを選ぶ新しいparent principleではない。

さらに全natural source上の

Q_W(S_\lambda h,S_\lambda h) =\alpha_\lambda J_{\rm leak}(h)+\beta_\lambda\|S_\lambda h\|^2, \qquad \alpha_\lambda\ne0

はkernel上で矛盾する。左辺と最後の項は0、leakageは正になるからである。 concentration作用素もkernelを保たず、単純な $\widetilde C_\lambda S_\lambda=S_\lambda C_\lambda$ は定義できない。非零kernel関数にCを作用させると解析的な非零関数となり、算術和の一項しかない上端領域で消えないためである。

従ってType II/IIIを保証する可換図式や、objective同一性はない。追加制約を持つ全ての未知parentを排除したわけではない。ただし誤差項を「差そのもの」と定義して小ささを仮定することは進展に数えない。

6. Γ-limit と common Euler equation

Γ/Mosco routeにはcanonical空間同定、equi-coercivity、liminf、 recovery sequence、正規化された解の一意性が必要である。本対象ではこれらを満たす共通limit functionalを得ていない。自然なglobal Weil候補には上記radicalの非一意性もある。 Mosco収束・各段階compact resolvent・一様gapだけでgroundが逃走する対角形式の厳密反例を独立監査に記録した。

prolate側は

PW_\lambda\psi_j=\theta_j\psi_j,\qquad (PW_\lambda-\theta_0)(PW_\lambda-\theta_4)h_\lambda=0

であり、Weil側はprime shiftsを持つ非局所の(P)。二つとも固有値問題というだけでは同じEuler式ではない。 known prolate→Hermite limitがWeil側のlimiting equationを供給するわけでもない。共通境界flux・Lagrange multiplier identity・small-commutator estimateは未取得。可換でもgroundが反対になる有限反例があるので可換性だけにも依存しない。

7. 三試行のstrategy review

試行	実行・取得	止まった箇所	判定
A Common Rayleigh	actual finite scoring、gap/residual式、既知radicalの確認	全parameterの $\varepsilon/\Delta$ と(V*)のrateなし	限定監査終了。数値増量だけで続行しない
B Common parent / Γ-limit	canonical pullback、kernel反証、radical非一意性	同じcoercive unique-minimizer limitを取得できない	指定単純parentを棄却。一般不存在の主張なし
C Common Euler	prolate 0/4 annihilatorとWeilの式を比較	自然なintertwining・共通limit equationなし	類比のみでは採用しない

three-direction stopを実行する。新しい主証明ルート、positivity、metricを作らない。再開を正当化するにはactual formでのenergy/residualとfull-gapの定量評価、または追加の独立な状態選択恒等式が必要である。これは新仮定として採用する要求ではなく、現在何が未証明かの記録である。

8. 最終六問

Aは何を最適化するか。 指定log支持・有限Fourier空間・標準 $$L^2$$ 単位球面でactual Weil形式を最小化する。
Bは何を最適化するか。 seedの各prolate modeにはconcentration min–maxがあるが、指定Bは0/4のmean-zero mixtureの算術像。B自体の同じ最小化原理はない。
同じquantityか。 確認できない。通常concentration目的量との単純同一化はkernel検査で偽。
共通parentへ持ち上げられるか。 Aのcanonical pullbackは書けるが、Bも選ぶparentは得られない。
Bの点数はどれほど最低に近いか。 上表の有限診断では非常に近い例がある一方、excess/gapが巨大な例もある。全parameterのalmost-minimizer theoremはない。
1位と2位の差を使いA≈Bを証明できたか。 一般gap lemmaは証明したが、必要な算術的比の極限は未証明。Gにはさらに(V)とprojection tailのrateが要る。

NO COMMON PARENT IDENTIFIED.

保存・監査

candidate matrix
independent adversarial audit
prior art / perturbation / limits
machine state
preservation baseline（原資料参照・公開版未収録: research/common_parent/preservation_baseline.json）

有限数値、既知のradical identity、標準摂動補題はRH進展として誇張しない。

公開版の参照案内（編集注）

本文中のsource-relative pathは原記録の識別子です。収録先:

以下は原記録のprovenanceで、公開版には含めていません（非リンク）。第三者原著は本文の外部引用URLを参照してください。

experiments/high_precision_results.json — SOURCE REFERENCE NOT INCLUDED
research/common_parent/preservation_baseline.json — SOURCE REFERENCE NOT INCLUDED