STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

Dated auxiliary research snapshot, 2026-09-30. Priority 2 only: fixed finite heads, not full-ground capture or RH. Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted · Original text: CC BY 4.0. Source: research/full_ground_capture/priority2/notes/tail_conditioning.md; original SHA-256: d1ebde4f59a381a6bdaefb76fe89e2e23355b4421a85b1e2d1225eaa63c73fe8. Publication formatting does not constitute a new mathematical audit.

Priority 2 — sharp tail と有限 head の定量的条件数

2026-09-30。RH OPEN。固定有限 head のみ。旧ファイルを変更しない。記号・基底は algebraic_rank.md の AR1–AR9 と同じ。以下の証明は RH、Weil positivity、零点単純性を使わない。

TC0. 射影と全線標本を区別する

区間の正規直交基底を零延長した実際の射影では $$P_NR_a=P_N$$ 、 $$P_N(1-R_a)=0$$ である。従って依頼中の「no-tail $$P_Nf$$ 」を文字通りこの射影として扱うと、tail の比較にならない。

本ノートでは、偶 $$L^1$$ 関数の全線 Fourier 標本写像を

(S_{a,N}f)_n=\kappa_n\widehat f(\omega_n),\quad \kappa_0=(2a)^{-1/2},\quad \kappa_n=(-1)^n a^{-1/2}\ (n\ge1)

と明記する。これは新しい算術対象ではなく積分の記法であり、global $$L^2$$ 上の有界射影ではない。実際の区間係数に対する正しい exact identity は

B_{\cdot j}=S_{a,N}(R_af_j) =S_{a,N}f_j-S_{a,N}((1-R_a)f_j)=A_{\cdot j}-E_{\cdot j}. \tag{TC1}

すべての積分はこの関数族について絶対収束する。

TC1. 完全に明示した tail majorant

$Y=\pi e^{2a}$ 、 $$P_0(y)=y^2-3y/2$$ 、

P_{r+1}=2yP_r'+(1/2-2y)P_r,\qquad P_{2j}(y)=\sum_{\ell=1}^{2j+2}c_{j\ell}y^\ell. \tag{TC2}

係数は有限回の有理数演算で得る。 theta 表示を絶対値で項別評価し、 $y=\pi q^2e^{2t}$ と変数変換すると

T_j(a):=\int_{|t|>a}|k^{(2j)}(t)|dt \le\pi^{-1/4}\sum_\ell|c_{j\ell}| \sum_{q\ge1}q^{-1/2}\Gamma(\ell+1/4,q^2Y). \tag{TC3}

ここで $\Gamma(\nu,x)=\int_x^\infty y^{\nu-1}e^{-y}dy$ 。

有限和だけの上界として、 $j\le m$ 、 $Y\ge4m+4$ なら

\boxed{T_j(a)\le\mathcal T_j(a):= \frac{2\pi^{-1/4}e^{-Y}}{1-e^{-Y/2}} \sum_{\ell=1}^{2j+2}|c_{j\ell}|Y^{\ell-3/4}.} \tag{TC4}

証明： $x\ge2(\nu-1)$ なら $$y=x+v$$ と $(1+v/x)^{\nu-1}\le e^{v/2}$ より $\Gamma(\nu,x)\le2x^{\nu-1}e^{-x}$ 。残る和は $q^{2\ell-2}e^{-q^2Y}$ である。 $\log q\le(q^2-1)/2$ 、 $Y\ge2(\ell-1)$ より

\sum_{q\ge1}q^{2\ell-2}e^{-q^2Y} \le e^{-Y}\sum_{q\ge1}e^{-(Y/2)(q^2-1)} \le\frac{e^{-Y}}{1-e^{-Y/2}}.

指定した $$Y$$ の条件は全 $j\le m$ の両条件を満たす。

$|E_{nj}|\le|\kappa_n|\mathcal T_j$ なので

\boxed{\|E\|_2\le\|E\|_F\le \tau(a,N,m):= \left(\frac{2N+1}{2a}\sum_{j=0}^m\mathcal T_j(a)^2\right)^{1/2}.} \tag{TC5}

これは raw derivative 座標の評価であり、Gram 正規化後の評価ではない。

TC2. Vandermonde の明示下界と rank certificate

ここでは $$m=N$$ 。 $t_n=(\pi n/a)^2$ 、 $D_n=\kappa_n\Xi(\omega_n)/4$ 、 $J_{jj}=(-1)^j$ として

A=D_\Xi VJ,\quad V_{nj}=t_n^j.

全 $D_n\ne0$ とする。 Lagrange cardinal 多項式の係数絶対値和は

\beta_n=\prod_{r\ne n}\frac{1+t_r}{|t_n-t_r|}.

従って原典と直接証明の通り

\|A^{-1}\|_2\le L(a,N):= \left[\sum_{n=0}^N(\beta_n/|D_n|)^2\right]^{1/2}, \qquad \sigma_{\min}(A)\ge L^{-1}. \tag{TC6}

特に

\boxed{Y\ge4N+4,\quad D_n\ne0\ (0\le n\le N),\quad L\tau<1} \tag{TC7}

は、actual 最小 prefix $$m=N$$ の full rank を保証し、

\sigma_{\min}(B)\ge L^{-1}-\tau>0. \tag{TC8}

数値 determinant の非零判定を証明の代用にしていない。

より鋭い十分条件は $\|A^{-1}E\|_2<1$ または $\|EA^{-1}\|_2<1$ 。後者は ideal cardinal basis への右変換で $BA^{-1}=I-EA^{-1}$ となることによる。 $D_\Xi$ を落として $\|V^{-1}E\|<1$ だけを使うことはできない。 TC7 の失敗は rank loss を意味しない。上界が粗いだけの場合がある。

TC3. 認証した具体的な範囲

certify_tail_criterion.py は有理係数 TC2 と Arb/acb の包含演算で TC7 を評価する。 256 bit と384 bitで同じ結論を得た。 $\Xi$ は completed-zeta の定義から acb で計算し、実性を確認したうえで実部の enclosure を用いる。ゼロ位置表や RH を入力しない。詳細は tail_certificates.json。

範囲	$$N=m$$	認証 $L\tau$ 上界	認証 $\sigma_{\min}(B)$ 下界（raw）
$a\in[1.499999,1.500001]$	4	$<4.529\cdot10^{-7}$	$$>0.0517$$
$a\in[1.999999,2.000001]$	6	$<7.135\cdot10^{-40}$	$$>0.0340$$

各区間は単一点の近傍を推測したものではない。 $$a$$ 自体をその区間を含む Arb ball にし、同時に全値を包含した計算である。これは有限範囲の計算機援用 certificate。抽象的な全窓定理とは区別する。単一点 $$(a,N)=(1.5,4),(2,4),(2,6),(3,6)$$ も認証済み。 $$(1,2),(1,4)$$ ではこの粗い十分条件は不成立、 $$(0.5,2)$$ では TC4 の前件が不成立。これらを非可逆の反例と分類しない。

TC4. 三種類の conditioning

raw 座標： $\sigma_{\min}(B)$ 、 $\kappa_2(B)$ 。微分列の単位・倍率に依存する。
head の pullback Gram： $$B^*B$$ で whitening すると、独立列について特異値が1になる。これは射影後の norm を選んだ恒等式で、元の関数の大きさを評価していない。
physical Gram： $G_m=(\langle f_i,f_j\rangle_{L^2(\mathbb R)})$ または $G_{a,m}=(\langle R_af_i,R_af_j\rangle)$ を使う。元の norm を保持した写像は $BG_m^{-1/2}$ または $BG_{a,m}^{-1/2}$ 。

$$G_m>0$$ は $p(x^2)\Xi(x)=0$ a.e. が多項式 $$p=0$$ を強いることによる。 $G_{a,m}>0$ は同じ有限線形結合が区間で零なら、解析性から全実線で零になることによる。両方とも RH 不要。

physical norm での摂動評価は

\sigma_{\min}(BG_m^{-1/2}) \ge\sigma_{\min}(AG_m^{-1/2})-\|EG_m^{-1/2}\|_2, \tag{TC9}

であり、例えば square case では

\sigma_{\min}(BG_m^{-1/2})\ge \frac{L^{-1}-\tau}{\sqrt{\lambda_{\max}(G_m)}}. \tag{TC10}

Gautschi 下界を得ただけで physical 条件数が良いとは言わない。離散直交多項式・Arnoldi は同じ span の基底変更として採用できるが、その基底に変換した tail と physical Gram を一緒に運ぶ必要がある。

さらに固定 $$N$$ 、 $$m=N$$ 、 $a\to\infty$ では

\sigma_{\max}(B)=\Theta_N(a^{-1/2}),\quad \sigma_{\min}(B)=\Theta_N(a^{-2N-1/2}),\quad \kappa_2(B)=\Theta_N(a^{2N}). \tag{TC11}

最小特異値は AR5、最大特異値は最初の列による下界と有限成分の上界から従う。 global $$G_N$$ は $$a$$ に依存しない正定値行列なので $\sigma_{\min}(BG_N^{-1/2})=\Theta_N(a^{-2N-1/2})$ でもある。最悪方向の最小 global- $$L^2$$ lift cost はその逆数で増える。この極限では不安定さの全部を単項式座標のせいにはできない。

TC5. 固定 head に限る physical approximation theorem

$\mathcal R_m=\operatorname{span}\{f_0,\ldots,f_m\}$ 、 $\Pi_m$ をその global $$L^2$$ 射影、 $$T=P_NR_a$$ を head への写像とする。 $$TT^*=I$$ で、正確に

K_m:=B_mG_m^{-1}B_m^*=T\Pi_mT^*. \tag{TC12}

CY1 より $\Pi_m\to I$ strongly。対象 head は固定有限次元なので

0\le K_m\uparrow I,\qquad\|K_m-I\|\to0. \tag{TC13}

証明：固定有限基底上の行列成分がすべて収束するため、有限行列の operator norm でも収束する。従って任意固定 $$a,N$$ と $0<\epsilon<1$ に対し、ある有限 $$m$$ 以降 $(1-\epsilon)I\le K_m\le I$ 。full row rank と、最小 norm right inverse の $\|J_m\|\le(1-\epsilon)^{-1/2}$ が従う。これは存在定理であり、必要 $m(a,N,\epsilon)$ の評価は与えない。

$BG_m^{-1/2}$ の非零特異値は、 $$E_N^+$$ と 射影前 $\mathcal R_m$ の principal-angle cosines。一方、射影後 span が $$E_N^+$$ になった時の角度は全部0であり、lift cost の証拠にならない。 TC11 と TC13 は矛盾しない。前者は $$N=m$$ を固定して窓を増やし、後者は窓・headを固定して列を増やす。窓・head・次数を同時に増やす定量評価は本監査の対象外。

TC6. 数値の正当な範囲

実験では Cholesky $$G=LL^*$$ を使い $B(L^*)^{-1}$ の特異値を求める。これは $BG^{-1/2}$ と同じ特異値を持つ。 monomial 条件数、physical Gram、tail、projected span を混ぜない。全線 Fourier 標本評価は global $$L^2$$ 上の有界写像ではないので、 fixed-column tail が小さいという事実を、無制限の次数で一様に小さい operator と読み替えない。

実験・認証・一般証明を分けた結果は diagnostics.md を参照。 Priority 3 の定数抽出、growing-m、ground/parity/Weil-energy convergence は開始しない。

範囲	$\(N=m\)$	認証 $L\tau$ 上界	認証 $\sigma_{\min}(B)$ 下界（raw）
$a\in[1.499999,1.500001]$	4	$<4.529\cdot10^{-7}$	$\(>0.0517\)$
$a\in[1.999999,2.000001]$	6	$<7.135\cdot10^{-40}$	$\(>0.0340\)$