STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN

Dated auxiliary research snapshot, 2026-09-30. Priority 2 only: fixed finite heads, not full-ground capture or RH. Public credit: @ykbballer91 · AI-assisted · Original text: CC BY 4.0. Source: research/full_ground_capture/priority2/finite_even_head_spanning.md; original SHA-256: b5af4c2a73f0388a401b99533191258ec5f47a4744ed71c71ce3b7b3a3dc60e5. Publication formatting does not constitute a new mathematical audit.

PRIORITY 2 — 有限偶 Fourier head の spanning と conditioning

2026-09-30。STATUS: RIEMANN HYPOTHESIS OPEN.

FINITE EVEN HEAD SPANNING: PROVED. この判定の範囲は、各固定有限 head の有限 prefix による exact spanning と、以下に明示した範囲の最小 prefix $$m=N$$ による spanning である。全 $$(a,N)$$ で最小次数を明示した、または一様に安定な lift を得た、という意味ではない。 Priority 3（growing-m）、Priority 4（full-ground capture）、parity は開始していない。新規性を主張せず、既存 CY1 と通常の有限次元解析から得た auxiliary theorem として保存する。

結論となる定理

$\widehat k(x)=\Xi(x)/4$ 、 $\Xi(x)=\xi(1/2+ix)$ 、 $R_af=\mathbf1_{[-a,a]}f$ とする。 $$E_N^+$$ は周波数 $\pi n/a$ 、 $0\le n\le N$ の偶 cosine head、 $$P_N$$ は実際の区間 Fourier 射影。

任意の固定 $a>0,N\ge0$ に対し、有限 $$m(a,N)$$ が存在して

\operatorname{span}\{P_NR_ak^{(2j)}:0\le j\le m(a,N)\}=E_N^+.

これは密度だけの表現ではなく、有限次元の像における exact equality。ただしこの存在証明から明示的な $$m(a,N)$$ は出ない。 2. 各固定 $$N$$ では、十分大きい $$a$$ で最小本数 $$N+1$$ 、すなわち $$m=N$$ が十分。さらに $$m=N$$ が失敗し得る正の $$a$$ の集合は有限。その集合の空性・個数・位置は未確定。 $$N=0$$ ならすべての $$a>0$$ で $$m=0$$ 。 3. $$m=N$$ の十分条件は、明示的に計算する ideal inverse bound $$L$$ と sharp-tail bound $\tau$ に対する $L\tau<1$ 。これにより $\sigma_{\min}(B)\ge L^{-1}-\tau>0$ 。実際に次の連続範囲を Arb 区間演算で認証した：

a\in[1.499999,1.500001],\ N=m=4; \qquad a\in[1.999999,2.000001],\ N=m=6.

固定 $$N=m$$ 、 $a\to\infty$ では raw 最小特異値は $\Theta_N(a^{-2N-1/2})$ 、raw 条件数は $\Theta_N(a^{2N})$ 。 global physical Gram で正規化した最小特異値も同じ次数で小さくなる。 exact spanning は一様な良条件性を意味しない。

証明は algebraic_rank.md AR4–AR6、 tail_conditioning.md TC1–TC5。

A. $\dim E_N^+$ は何か

b_0(t)=\frac{\mathbf1_{[-a,a]}(t)}{\sqrt{2a}},\qquad b_n(t)=\frac{(-1)^n}{\sqrt a}\cos(\pi nt/a)\mathbf1_{[-a,a]}(t),\quad1\le n\le N.

これが既存 shifted Fourier convention に対応する正規直交基底。 次元は $$N+1$$ 。 $$+n,-n$$ を別方向として二重計上しない。

B. Ideal no-tail model の最小 $$m$$ は何か

A_{nj}=D_n(-1)^j\omega_n^{2j},\quad D_0=\frac{\Xi(0)}{4\sqrt{2a}},\quad D_n=\frac{(-1)^n\Xi(\omega_n)}{4\sqrt a},\quad\omega_n=\pi n/a.

従って $A=D_\Xi VJ$ 、 $V_{nj}=(\omega_n^2)^j$ 、 $J_{jj}=(-1)^j$ 。非零対角行の個数を $$r$$ とすると

\boxed{\operatorname{rank}A=\min(m+1,r).}

grid hit がなければ最小 $$m=N$$ 。 $$m<N$$ は列数不足。

ここで ideal は全線 Fourier 標本であり、実際の $$P_N$$ ではない。実際の区間射影には $$P_N(1-R_a)=0$$ が成り立つため、 tail 比較は別記号 $S_{a,N}$ を用い $S_{a,N}R_af=S_{a,N}f-S_{a,N}(1-R_a)f$ と固定した。詳細は TC0。

C. Xi grid zeros は正確にいつ rank を落とすか

$\Xi(\pi n/a)=0$ の各非負 index は ideal の一行を全列について零にする。 $m\ge N$ なら欠損次元は hit 数に等しい。一般の $$m$$ では hit があっても $r\ge m+1$ なら column rank は落ちない。

一つの多重零点が消すのは一行であり、零点重複度の分だけ追加方向を失うわけではない。 $$n=0$$ は $\Xi(0)>0$ なので hit しない。 $a=\pi n/\gamma$ を実零点 $\gamma$ から選べば hit は実際に起こり得る。 RH・零点単純性は使わない。confluent 補間への置換は異なる観測問題になる。

D. Actual sharp support は rank を保存するか

$$B=A-E$$ という exact perturbation があり、

B_{nj}=-(\pi n/a)^2B_{n,j-1}+d_nk^{(2j-1)}(a),\quad d_0=\sqrt{2/a},\quad d_n=2/\sqrt a\ (n\ge1).

端点項があるため、ideal の grid-zero 行が actual でも零とは限らない。対象は $R_aD^{2j}k$ であり、端点 delta を含む $D^{2j}R_ak$ ではない。

最小 prefix の rank 保存は TC7 が保証し、上記の区間で認証済み。全 $$a,N$$ について $$m=N$$ を証明したわけではない。しかし列数を十分増やせば 任意の固定 head の欠損は0、という定理は成立する。

E. 定量的 conditioning は何が得られたか

$t_n=\omega_n^2$ 、

\beta_n=\prod_{r\ne n}\frac{1+t_r}{|t_n-t_r|},\qquad L=\left[\sum_n(\beta_n/|D_n|)^2\right]^{1/2}

とすると $\sigma_{\min}(A)\ge L^{-1}$ 。 $\tau$ は theta の微分多項式と incomplete Gamma による明示上界。 $L\tau<1$ なら $\sigma_{\min}(B)\ge L^{-1}-\tau$ 。 sharper な $\|EA^{-1}\|<1$ も有効。

原典の inverse-Vandermonde norm、discrete orthogonal polynomial/Arnoldi、 Christoffel leverage を監査した。文献・適用範囲。基底変換は span を保持するが、head Gram による whitening は物理的な lift cost を消さない。

global physical Gram $$G_m$$ を用いると、固定 head に対して

B_mG_m^{-1}B_m^*=P_NR_a\Pi_{\mathcal R_m}R_aP_N\longrightarrow I_{E_N^+}

が operator norm で成立する。十分多い列を使えば physical にも安定化できるという固定 head の存在定理。必要次数の定量評価は未取得で、窓や $$N$$ を変えるときの一様性はない。

数値診断では raw 条件数と physical 最小特異値が大きく異なる。例えば $$(a,N,m)=(1,4,4)$$ は raw 条件数約 $1.33\cdot10^7$ 、physical 最小特異値約0.297。一方 $$(2,6,6)$$ の physical 最小特異値は約 $8.10\cdot10^{-5}$ で、座標だけでは解消しない損失もある。診断と再現手順。

F. Actual finite even ground は derivative hierarchy 内にあるか

固定有限 head の射影済み hierarchy という意味では yes。 そこに住む任意の even ground vector $$v$$ は、十分な有限 $$m$$ に対し

v=P_NR_a\sum_{j=0}^m c_j k^{(2j)}

と exact に書ける。上記の認証範囲では $$m=N$$ でよい。これは ground を計算・選択した結論ではなく、head 全体の spanning の帰結。 $$v$$ 自体が global radical に属する、global ground を捕捉した、または係数 $$c_j$$ が小さいとは主張していない。

G. Hierarchical selector を使う前に何が残るか

$$(a,N)$$ に依存する ground を近似する際の必要次数・係数・physical lift cost と、既存 fixed-m 階層定理の全定数の次数依存を同時に制御する必要がある。さらにその近似を実際の Weil energy の誤差へ運ぶ評価が必要。密度や固定 head の exact equality はこれらの代わりにならない。これが Priority 3 以降の別の義務であり、今回は開始していない。

保存・監査

独立監査：full_ground_finite_head_adversarial.md。
機械可読 state：state.json。
既存318研究・監査ファイルの不変更検算：preservation_check.json (historical source identifier, not exported: research/full_ground_capture/priority2/preservation_check.json)。
旧 state、proof graph、公開用repositoryは編集・自動mergeしていない。

FINITE EVEN HEAD SPANNING: PROVED — 固定有限 head と明示認証範囲に限定。 STATUS: RH OPEN.